建筑力學主講人：田寧1位移法基本概念2位移法典型方程及計算步驟3位移法應用示例4應用轉角位移方程計算超靜定結構目錄

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第15章

位移法2位移法典型方程及計算步驟

如圖（a）所示的剛架，桿件31和42有側移發生，這類結構稱為有側移結構。經分析可知該剛架有一個獨立的結點角位移Z1和一個獨立的結點線位移Z2，共有兩個基本未知量。2）位移法的典型方程

在結點1處增加一附加剛臂，在結點2處增加一附加水平支座鏈桿(當然也可在結點1處增加一水平支座鏈桿)，得到如圖（b）所示的位移法基本結構。

令附加剛臂產生與原結構相同的轉角Z1，令附加鏈桿產生與原結構相同的線位移Z2，再將荷載加到基本結構上，便得到位移法基本體系。如（c）圖所示。

根據基本體系與原結構完全等效，即基本體系的變形和內力及反力與原結構完全相同。由于原結構在結點1和2處并無約束，也就沒有反力偶和反力，因此基本結構在結點位移Z1、Z2和荷載共同作用下，附加剛臂的附加反力偶R1和附加支座鏈桿的附加反力R2都應該等于零。2）位移法的典型方程

設基本結構在結點位移Z1單獨作用下引起的附加剛臂上的附加力偶為R11，引起的附加支座鏈桿的反力為R21；在結點位移Z2單獨作用下引起的附加剛臂上的附加力偶為R12，引起的附加支座鏈桿的反力為R22；在荷載單獨作用下引起的附加剛臂上的附加力偶為R1P，引起的附加支座鏈桿的反力為R2P。

根據疊加原理，可得2）位移法的典型方程

再設基本結構在單位結點位移分別單獨作用下所引起的附加剛臂的附加反力偶分別為r11、r12，附加支座鏈桿的附加反力分別為r21、r22，物理意義：基本結構在所有的結點位移和荷載共同作用下，每一個附加約束上的附加反力偶和附加反力都應等于零。因此典型方程實質上反映了原結構的靜力平衡條件。位移法的典型方程則有：2）位移法的典型方程

對于有n個獨立結點位移的超靜定結構，相應地在基本結構中應加入n個附加約束，根據每個附加約束的附加反力偶或附加反力均應等于零的平衡條件，即可建立n個方程：典型方程中，主對角線上的系數rii稱為主系數或主反力，其它系數rij(i≠j)稱為副系數或副反力，RiP稱為自由項。

系數和自由項的正負號規定為：與該附加約束所設的位移方向一致為正，相反則為負。2）位移法的典型方程

根據反力互等定理可知，位于主對角線兩側對稱位置的兩個副系數rij與rji是相等的，即rij=rji。

主反力rii表示基本結構在單位結點位移單獨作用下所引起的第i個附加約束的附加反力偶或附加反力，由于其方向總是與所設位移的方向一致，故主系數恒為正，且不會等于零。

副系數rij表示基本結構在單位結點位移單獨作用下所引起的第j個附加約束的附加反力偶或附加反力，其值可能為正，可能為負，也可能等于零。

自由項RiP表示基本結構在荷載單獨作用下所引起的第i個附加約束的附加反力偶或附加反力，其值可能為正，可能為負，也可能等于零。2）位移法的典型方程

在位移法的典型方程中，由于每個系數都是由單位結點位移所引起的附加約束的反力或反力偶。很明顯，如果結構的剛度越大，那么這些反力或反力偶也就越大，因此這些系數又稱為結構的剛度系數，位移法典型方程也稱為結構的剛度方程，位移法也稱為剛度法。2）位移法的典型方程

繪出基本結構在單位結點位移和荷載分別單獨作用下的彎矩圖，即圖、圖、MP圖:

取結點1為隔離體，由力矩平衡方程可求得附加剛臂上的附加反力偶分別為：2）位移法的典型方程位移法的典型方程：將系數和自由項代入典型方程，得解得:

所得結果為正值，說明結點1、2的實際位移方向與圖(c)中在Z1、Z2所設的方向相同。

用截面截割兩柱頂端，取柱頂端以上水平桿部分為隔離體，并由表查出柱13、24的頂端截面剪力:由投影方程可求得附加支座鏈桿的附加反力分別為：2）位移法的典型方程結構的最后彎矩圖為：結構各桿端最后彎矩可由疊加法求得：2）位移法的典型方程

（1）確定原超靜定結構的基本未知量，即確定原超靜定結構的獨立的結點角位移和線位移，加入附加約束得到基本結構。

（2）令各附加約束產生與原結構相同的結點位移，根據基本結構在所有的結點位移和荷載共同作用下，各附加約束處的附加反力偶或附加反力均應等于零，建立位移法的典型方程。3）位移法的計算步驟由前面的分析討論可知，位移法的計算步驟為：

（6）根據彎矩圖由靜力平衡條件繪出剪力圖，再根據剪力圖由靜力平衡條件繪出軸力圖。（4）求解典型方程，求出基本未知