4.1.1n次方根與分數指數幕

教學設計（人教A版必修第一冊）

教材分析

本節課是新版教材人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學

必修1第四章第4.1節《n次方根與分數指數幕》第1課時。它是“實

數指數幕及運算法則”的基礎和前提，在整章中占有基礎地位，學習

的主要目的是將指數從整數指數塞推廣到實數指數塞，也為指數函數

的研究做好準備。

學情分析

我們知道，初中時學生已經掌握了乘方運算、開平方和開立方運

算，了解了整數指數累的概念及其運算性質；又學習了正整數指數基、

零指數幕、負整數指數塞的概念，以及整數指數嘉的運算法則；并在

上一章學習塞函數的過程中接觸過二次根式的以分數為指數的塞的

符號表示。

有了這些知識作儲備，教科書通過實際問題引入分數指數幕，說明了

擴充指數范圍的必要性。

教學目標與核心素養

課程目標

（一）知識與技能：

1.理解根式的概念和性質，能進行根式的運算；

2.能理解分數指數塞是根式的另一種形式，能將分數指數與根

式進行互化。

(二)過程與方法

1.通過由特殊到一般，由平方根、立方根，采用類比的方法

拓展到n次方根，并通過n次方根的性質導出分數指數幕；

2.利用多媒體等教學手段，節省教學時間，提高課堂教學效

率。

(三)情感態度與價值觀

在平等的教學氛圍中，通過師生之間、生生之間的合作、交流和

互評，拉近學生之間、師生之間的情感距離。

數學學科素養

1.數學抽象：n次方根、根式的概念與分數指數基的概念；

2.邏輯推理：分數指數塞和根式之間的互化；

3.數學運算：利用分數指數幕的運算性質化簡求值；

4.數學建模：通過與初中所學的知識進行類比，得出分數指數幕

的概念和相關性質。

教學重難點

重點：

(1)n次根式概念及性質的理解；

(2)分數指數幕的理解；

(3)掌握并運用分數指數幕的運算性質。

難點：n次根式、分數指數基概念的理解。

課前準備

教學方法：以學生為主體，采用類比發現，引導探究式教學，精講多

練。

教學工具：多媒體。

教學過程

一、復習導入

初中學習了平方根、立方根的概念。

思考1：若x?=3,x=?x叫作3的什么？怎么表示？

思考2：x=8,y=-8,求x、y分別叫作8和-8什么？怎么表示？

那么，x"=a,x又是什么？這正是我們將要一起探究的：將指數的取

值范圍從整數推廣到實數。為此，需要先學習根式的知識。

設計意圖：通過復習方根，導出本節課的研究對象，使學生明確

學習目標，并利用之前學習形成的思維習慣，引導學生進一步觀察、

研探。

二、新知探究

1.〃次方根

問題La的4次方根表示為；16的4次方根表示為,

即16的4次方根有個，分別是o

問題2：a的5次方根表示為；32的5次方根表示為,

-32的5次方根表示為o

設計意圖：小組合作完成，加深了對n次方根的理解。

定

一般地，如果x"=a,那么才叫做a的n次方根,其中〃>1,且〃GN*

義

個a>0x>0X僅有一個值，記

〃是奇數

數a<0x<0為標

X有兩個值，且互為相反數，

a>0

〃是偶數記為土標

a<0*不存在

2.根式

(1)定義：式子標叫做根式，這里〃叫做根指數,a叫做被開

方數。

(2)性質：(/?>1,且〃￡N*)

①”=用②的骨：渭黑

設計意圖：通過由幾個熟悉的特例，加強對根式的理解，引導形

成根式的相關性質。

3.分數指數累

行=

計算并觀察療=

觀察這兩個式子，結果的指數與被開方數中的指數，根式的根指

數有什么關系？

m

正分數

n

指數幕規定：a=y[^(a>0,ni,〃￡N*,且〃>1)

m

〃11

負分數

分數規定：a---m---

a"相

指指數基

數數(5>0,m,〃￡N*,且/7>1)

0的分數

o的正分數指數幕等于」Lo的負分數指數幕沒有意義_________

指數塞

設計意圖：小組合作完成，由特殊到一般，由整數指數擴展到分

數指數，再由其與已遵循的運算性質融合理解中，加深根式與分數指

數幕之間的轉換。

4.有理數指數幕的運算性質

(1)aa=a15(a>0,r,s￡Q).

(2)(a)i=ara(a>0,r,sGQ).

(3)(9)'=讓(&>0,6>0,r￡Q).

四、典例分析、鞏固練習

題型一根式的化簡(求值)

例1求下列各式的值

(1)#(-8)3(2)J(-10)2(3)](3-萬)4(4)d(a-b)2

【答案】

⑴=-8

(2)7(-10)2=1-101=10

(3),(3_萬)4=〃-3

(4)"(。-6)2=ci-b

題型二分數指數嘉的簡單計算問題

例2求值(印.

。oi

【答案】

5=⑵)：=2,彳=22=4饋尸=身""<(|『=y

題型三根式與分數指數嘉的互化

例3用分數指數基的形式表或下列各式(a>0)

/昭；\1訴-

【答案】見解析

【解析】

228

"2.標=/+§二排

yjyfa=Ja.蘇=—（a、），=

五、課堂小結

讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧；口訣巧記。

六、板書設計

4.1.1n次方根與分數指數鬲

l.n次方根與根式定義與性質

2.分數指數鬲

3.有理數指數募運算性質

4.例題精講及鞏固例1例2例3

七、作業

課本107頁練習1.2.30

教學反思

本節課主要采用講練結合與分組探究的教學方法，堅持“以學生

為主體，以教師為主導”的原則，通過類比的思想使學生逐步掌握根

式與分數指數基性質及其應用，為后面學習無理數指數幕性質及其應

用打下理論基礎。

在教學過程中，對任何細節，都應鼓勵學生追根溯源，凡事都去

問為什么，尋找它與其他事物之間的聯系，運用類比聯想去主動的發

現問題、解決問題，從而更系統地掌握所學知識，形成新的認知結構

和知識網絡，讓學生真正地體會到在問題解決中學習，在交流中學習，

使它逐漸成為學生的一種根深蒂固的習慣。這樣，可以增進熱愛數學

的情感，應用數學的自信心和形成新的學習動力。

學情分析

1、學生已有知識

我們知道在初中，學生已經掌握了乘方運算、開平方和開立方運

算，了解了整數指數幕的概念及其運算性質；并在上一章學習事函數

的過程中接觸過二次根式的以分數為指數的塞的符號表示，但是由于

n次方根及有理指數幕比較抽象，學生理解起來還是有困難。

有了這些知識作準備，教科書通過實際問題引入分數指數幕，說

明了擴充指數范圍的必要性，為此先將平方根與立方根的概念擴充到

n次方根，將二次根式的概念擴充到一般根式的概念，然后進一步介

紹了分數指數惠及其運算性質。這樣設計的目的是講清知識發生、形

成的過程及引入根式、分數指數累的必要性，有利于激發學生的學習

興趣。

2、學生能力的要求

在指數募運算的推廣過程中，要注重“整數指數塞的運算性質在

有理數指數幕、實數指數事中仍然成立”的核心思想。對此，學生在

初中學習整數指數塞時，在由正整數指數累到負整數指數幕的推廣過

程中已經有所體會，本節教學中要讓學生進一步體會。

類比能力：教科書是通過復習平方根、立方根的定義，然后類比

出n次方根，歸納類比出n次方根的一般定義與性質。教學時，可以

用平方根、立方根、四次方根為基礎來加以說明，加深對這一性質的

理解。

理解能力：分數指數是指數概念的又一次推廣，教學中應多舉實

例讓學生理解分數指數幕的意義，明確分數指數幕是根式的一種新的

寫法，并通過根式和分數指數事的互化區分負數指數幕與分數指數幕

的不同，鞏固、加深對有理數指數塞的理解。

效果分析

在教學過程中，對任何細節，我們都應鼓勵學生大膽探索，尋找

它與其他事物之間的聯系。運用類比聯想去主動地發現問題、解決問

題，從而更系統地掌握所學知識，讓學生真正地體會到在問題解決中

學習，在交流中學習，使它逐漸成為學生的一種習慣，這樣可以增進

熱愛數學的自信心，進而形成新的學習動力。本節課主要采用講練結

合與分組探究的教學方法，堅持“以學生為主體，以教師為主導”的

原則，通過類比的思想使學生逐步掌握根式與分數指數塞性質及其應

用，為后面學習無理數指數嘉性質及其應用打下理論基礎。

在整節教學過程中，主要環節及效果分析如下：

1、復習導入環節，通過復習方根，導出本節課的研究對象，使

學生明確了學習目標，并利用之前學習形成的思維習慣，引導學生進

一步觀察、研探。

2、新知探究環節，小組合作探究n次方根，增強參與意識，又

加深了對n次方根的理解；通過由幾個熟悉的特例，加強對根式的理

解，引導形成根式的相關性質；分數指數塞學習環節，小組合作完成，

由特殊到一般，由整數指數擴展到分數指數，再由其與己遵循的運算

性質融合理解中，加深了根式與分數指數幕之間的轉換。

3、鞏固練習環節，學生在以上的相關概念、性質、運算法則等

的基礎之上，充分應用于計算、化簡中，加強了數學運算能力與對本

節重難點的理解。

4、課堂小結環節，鑒于本節概念、性質、運算內容繁雜，對于

學生理解記憶方面的要求較高，因此采用口訣巧記的方式，輔助理解

記憶，效果較佳。

教材分析

本節課是新版教材人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學

必修1第四章第4.1節《n次方根與分數指數事》第1課時。從內容

上看它是我們初中學過的乘方運算、開平方和開立方運算的延伸，本

節以此為出發點，引出了n次方根的概念，并將指數由整數推廣到了

分數，本節課是“實數指數基及運算法則”的基礎和前提，在整章中

占有基礎地位，學習的主要目的是將指數運算從整數指數塞進一步推

廣到實數指數塞。

同樣的，為了研究指數函數，需要把指數幕運算的范圍進一步推

廣，類似于先把整數推廣到有理數，然后把有理數推廣到實數一樣,

本節教科書也是將指數嘉由整數指數募推廣到有理數指數塞，然后推

廣到實數指數塞，進而為指數函數的學習奠定基礎。

課程名稱：n次方根與分數指數基

課型：新授課

教學時間：2課時

重點：

(1)根式概念的理解；

(4)分數指數鬲的理解；

(5)掌握并運用分數指數鬲的運算性質。

難點：根式、分數指數募概念的理解。

評測練習

1、求下列各式的值

(1)](-8)3(2)“-10)2(3)#(3-1)4(4)J(a—4)2

2、求值，

83；5

3、用分數指數帚的形式表或下到各式(a>0)

關場；-

【答案及評測解析】

1、答案

(1)=-8

(2)7(-10)2=1-10|=10

(3)](3-萬K="-3

(4)4-6)2=d

評測解析：(根式求值)

(1)化簡府時，首先明確根指數n是奇數還是偶數,然后依據根式

的性質進行化簡；化簡(強)n時，關鍵是明確我是否有意義，只要強

有意義則(強)"=a。

(2)在對根式進行化簡時一,若被開方數中含有字母參數,則要注意字母

參數的取值范圍，即確定a的正負，再結合n的奇偶性給出正確結果。

2、答案?=⑵)；=2嗎=2?=4^嗎4F號尸號

評測解析：(分數指數幕的運算技巧)

(1)對于既含有分數指數基,又含有根式的式子,一般把根式統一化

成分數指數哥的形式，以便于計算。如果根式中的根指數不同，也應化

成分數指數事的形式。

(2)對于計算題的結果,不強求統一用什么形式來表示，但結果不能

同時含有根號和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數。

3、答案23仁2I2+2§

a7a=a-a=a

J-=JaW==面)，=

評測解析：(根式與分數指數嘉的互化)

(1)根指數化為分數指數的分母，被開方數(式)的指數化為分數指

數的分子。

(2)在具體計算時，通常會把根式轉化成分數指數塞的形式，然后

利用有理數指數塞的運算性質解題。

4、學生練習結果分析

(1)組織學生總結解決此類問題的一般方法和步驟。

(2)利用分數指數幕進行根式運算時，先把根式化為分數指數累，

再根據幕的運算性質進行計算。

(3)沒有特別要求，就用分數指數幕的形式來表示，結果不能同時

含有根號和分數指數，也不能既有分母又有負指數。

課后反思

本節課是根式與整數指數基的拓展與延伸，教學中注意與初中所

學知識的類比，如根式與平方根、立方根的類比，分數指數塞與整數

指數幕的類比。從具體的實例出發，和學生共同親歷分數指數幕的指

數從正整數到整數再到有理數的發展過程和推導過程，讓學生能體驗

數域拓展的一般規律和內在邏輯聯系。

在教學過程中由于從問題出發，采取了分數指數幕和整數指數幕

的類比，學生在原有認知的基礎上進行了探究，其學習是主動的、積

極的，知識的形成也是自然的。同時在學習和探究的過程中，從解決

問題到方法使用，讓學生體會到從特殊到一般的數學思想，同時也培

養了學生縝密的數學邏輯思維能力，引導和幫助學生在這樣的數學學

習過程中高效、有序地學習數學，讓學生真正體會到在問題解決中學

習，在交流中學習，使之成為一種學習習慣。

在整個教學過程中，反思如下：

1、課程開始有點緊張，出現一處口誤、磕巴。

2、在講解正分數指數塞轉化為根式形式過程中，對“m、n、a”

的取值范圍闡述有點混亂啰嗦，學生掌握這部分知識有點困難。

3、時間緊張，在知識點講解完后進行“知識小結”過于倉促，

沒有做出解釋。

針對這次課我所暴露出來的教學過程中的幾個問題，我將在今后

的教學過程中認真研究課程標準，深入挖掘教材，充分了解學生學情

及能力儲備，在備課環節上注意細節，把握時間，更加有效地完成教

學工作。

課標分析

數及其運算是推動數學發展的重要源泉和動力之一，是數學的基

石，教科書非常重視指數幕運算和對數運算。指數幕運算和對數運算

是兩類重要的運算，指數幕運算源于數的自稱運算，對數則是指數幕

中指數的等價表示形式，為了在實數范圍內研究指數函數，教科書從

整數