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文檔簡介

4.1.1n次方根與分數指數幕

教學設計(人教A版必修第一冊)

教材分析

本節課是新版教材人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學

必修1第四章第4.1節《n次方根與分數指數幕》第1課時。它是“實

數指數幕及運算法則”的基礎和前提,在整章中占有基礎地位,學習

的主要目的是將指數從整數指數塞推廣到實數指數塞,也為指數函數

的研究做好準備。

學情分析

我們知道,初中時學生已經掌握了乘方運算、開平方和開立方運

算,了解了整數指數累的概念及其運算性質;又學習了正整數指數基、

零指數幕、負整數指數塞的概念,以及整數指數嘉的運算法則;并在

上一章學習塞函數的過程中接觸過二次根式的以分數為指數的塞的

符號表示。

有了這些知識作儲備,教科書通過實際問題引入分數指數幕,說明了

擴充指數范圍的必要性。

教學目標與核心素養

課程目標

(一)知識與技能:

1.理解根式的概念和性質,能進行根式的運算;

2.能理解分數指數塞是根式的另一種形式,能將分數指數與根

式進行互化。

(二)過程與方法

1.通過由特殊到一般,由平方根、立方根,采用類比的方法

拓展到n次方根,并通過n次方根的性質導出分數指數幕;

2.利用多媒體等教學手段,節省教學時間,提高課堂教學效

率。

(三)情感態度與價值觀

在平等的教學氛圍中,通過師生之間、生生之間的合作、交流和

互評,拉近學生之間、師生之間的情感距離。

數學學科素養

1.數學抽象:n次方根、根式的概念與分數指數基的概念;

2.邏輯推理:分數指數塞和根式之間的互化;

3.數學運算:利用分數指數幕的運算性質化簡求值;

4.數學建模:通過與初中所學的知識進行類比,得出分數指數幕

的概念和相關性質。

教學重難點

重點:

(1)n次根式概念及性質的理解;

(2)分數指數幕的理解;

(3)掌握并運用分數指數幕的運算性質。

難點:n次根式、分數指數基概念的理解。

課前準備

教學方法:以學生為主體,采用類比發現,引導探究式教學,精講多

練。

教學工具:多媒體。

教學過程

一、復習導入

初中學習了平方根、立方根的概念。

思考1:若x?=3,x=?x叫作3的什么?怎么表示?

思考2:x=8,y=-8,求x、y分別叫作8和-8什么?怎么表示?

那么,x"=a,x又是什么?這正是我們將要一起探究的:將指數的取

值范圍從整數推廣到實數。為此,需要先學習根式的知識。

設計意圖:通過復習方根,導出本節課的研究對象,使學生明確

學習目標,并利用之前學習形成的思維習慣,引導學生進一步觀察、

研探。

二、新知探究

1.〃次方根

問題La的4次方根表示為;16的4次方根表示為,

即16的4次方根有個,分別是o

問題2:a的5次方根表示為;32的5次方根表示為,

-32的5次方根表示為o

設計意圖:小組合作完成,加深了對n次方根的理解。

一般地,如果x"=a,那么才叫做a的n次方根,其中〃>1,且〃GN*

個a>0x>0X僅有一個值,記

〃是奇數

數a<0x<0為標

X有兩個值,且互為相反數,

a>0

〃是偶數記為土標

a<0*不存在

2.根式

(1)定義:式子標叫做根式,這里〃叫做根指數,a叫做被開

方數。

(2)性質:(/?>1,且〃£N*)

①”=用②的骨:渭黑

設計意圖:通過由幾個熟悉的特例,加強對根式的理解,引導形

成根式的相關性質。

3.分數指數累

行=

計算并觀察療=

觀察這兩個式子,結果的指數與被開方數中的指數,根式的根指

數有什么關系?

m

正分數

n

指數幕規定:a=y[^(a>0,ni,〃£N*,且〃>1)

m

〃11

負分數

分數規定:a---m---

a"相

指指數基

數數(5>0,m,〃£N*,且/7>1)

0的分數

o的正分數指數幕等于」Lo的負分數指數幕沒有意義_________

指數塞

設計意圖:小組合作完成,由特殊到一般,由整數指數擴展到分

數指數,再由其與已遵循的運算性質融合理解中,加深根式與分數指

數幕之間的轉換。

4.有理數指數幕的運算性質

(1)aa=a15(a>0,r,s£Q).

(2)(a)i=ara(a>0,r,sGQ).

(3)(9)'=讓(&>0,6>0,r£Q).

四、典例分析、鞏固練習

題型一根式的化簡(求值)

例1求下列各式的值

(1)#(-8)3(2)J(-10)2(3)](3-萬)4(4)d(a-b)2

【答案】

⑴=-8

(2)7(-10)2=1-101=10

(3),(3_萬)4=〃-3

(4)"(。-6)2=ci-b

題型二分數指數嘉的簡單計算問題

例2求值(印.

。oi

【答案】

5=⑵):=2,彳=22=4饋尸=身""<(|『=y

題型三根式與分數指數嘉的互化

例3用分數指數基的形式表或下列各式(a>0)

/昭;\1訴-

【答案】見解析

【解析】

228

"2.標=/+§二排

yjyfa=Ja.蘇=—(a、),=

五、課堂小結

讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧;口訣巧記。

六、板書設計

4.1.1n次方根與分數指數鬲

l.n次方根與根式定義與性質

2.分數指數鬲

3.有理數指數募運算性質

4.例題精講及鞏固例1例2例3

七、作業

課本107頁練習1.2.30

教學反思

本節課主要采用講練結合與分組探究的教學方法,堅持“以學生

為主體,以教師為主導”的原則,通過類比的思想使學生逐步掌握根

式與分數指數基性質及其應用,為后面學習無理數指數幕性質及其應

用打下理論基礎。

在教學過程中,對任何細節,都應鼓勵學生追根溯源,凡事都去

問為什么,尋找它與其他事物之間的聯系,運用類比聯想去主動的發

現問題、解決問題,從而更系統地掌握所學知識,形成新的認知結構

和知識網絡,讓學生真正地體會到在問題解決中學習,在交流中學習,

使它逐漸成為學生的一種根深蒂固的習慣。這樣,可以增進熱愛數學

的情感,應用數學的自信心和形成新的學習動力。

學情分析

1、學生已有知識

我們知道在初中,學生已經掌握了乘方運算、開平方和開立方運

算,了解了整數指數幕的概念及其運算性質;并在上一章學習事函數

的過程中接觸過二次根式的以分數為指數的塞的符號表示,但是由于

n次方根及有理指數幕比較抽象,學生理解起來還是有困難。

有了這些知識作準備,教科書通過實際問題引入分數指數幕,說

明了擴充指數范圍的必要性,為此先將平方根與立方根的概念擴充到

n次方根,將二次根式的概念擴充到一般根式的概念,然后進一步介

紹了分數指數惠及其運算性質。這樣設計的目的是講清知識發生、形

成的過程及引入根式、分數指數累的必要性,有利于激發學生的學習

興趣。

2、學生能力的要求

在指數募運算的推廣過程中,要注重“整數指數塞的運算性質在

有理數指數幕、實數指數事中仍然成立”的核心思想。對此,學生在

初中學習整數指數塞時,在由正整數指數累到負整數指數幕的推廣過

程中已經有所體會,本節教學中要讓學生進一步體會。

類比能力:教科書是通過復習平方根、立方根的定義,然后類比

出n次方根,歸納類比出n次方根的一般定義與性質。教學時,可以

用平方根、立方根、四次方根為基礎來加以說明,加深對這一性質的

理解。

理解能力:分數指數是指數概念的又一次推廣,教學中應多舉實

例讓學生理解分數指數幕的意義,明確分數指數幕是根式的一種新的

寫法,并通過根式和分數指數事的互化區分負數指數幕與分數指數幕

的不同,鞏固、加深對有理數指數塞的理解。

效果分析

在教學過程中,對任何細節,我們都應鼓勵學生大膽探索,尋找

它與其他事物之間的聯系。運用類比聯想去主動地發現問題、解決問

題,從而更系統地掌握所學知識,讓學生真正地體會到在問題解決中

學習,在交流中學習,使它逐漸成為學生的一種習慣,這樣可以增進

熱愛數學的自信心,進而形成新的學習動力。本節課主要采用講練結

合與分組探究的教學方法,堅持“以學生為主體,以教師為主導”的

原則,通過類比的思想使學生逐步掌握根式與分數指數塞性質及其應

用,為后面學習無理數指數嘉性質及其應用打下理論基礎。

在整節教學過程中,主要環節及效果分析如下:

1、復習導入環節,通過復習方根,導出本節課的研究對象,使

學生明確了學習目標,并利用之前學習形成的思維習慣,引導學生進

一步觀察、研探。

2、新知探究環節,小組合作探究n次方根,增強參與意識,又

加深了對n次方根的理解;通過由幾個熟悉的特例,加強對根式的理

解,引導形成根式的相關性質;分數指數塞學習環節,小組合作完成,

由特殊到一般,由整數指數擴展到分數指數,再由其與己遵循的運算

性質融合理解中,加深了根式與分數指數幕之間的轉換。

3、鞏固練習環節,學生在以上的相關概念、性質、運算法則等

的基礎之上,充分應用于計算、化簡中,加強了數學運算能力與對本

節重難點的理解。

4、課堂小結環節,鑒于本節概念、性質、運算內容繁雜,對于

學生理解記憶方面的要求較高,因此采用口訣巧記的方式,輔助理解

記憶,效果較佳。

教材分析

本節課是新版教材人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學

必修1第四章第4.1節《n次方根與分數指數事》第1課時。從內容

上看它是我們初中學過的乘方運算、開平方和開立方運算的延伸,本

節以此為出發點,引出了n次方根的概念,并將指數由整數推廣到了

分數,本節課是“實數指數基及運算法則”的基礎和前提,在整章中

占有基礎地位,學習的主要目的是將指數運算從整數指數塞進一步推

廣到實數指數塞。

同樣的,為了研究指數函數,需要把指數幕運算的范圍進一步推

廣,類似于先把整數推廣到有理數,然后把有理數推廣到實數一樣,

本節教科書也是將指數嘉由整數指數募推廣到有理數指數塞,然后推

廣到實數指數塞,進而為指數函數的學習奠定基礎。

課程名稱:n次方根與分數指數基

課型:新授課

教學時間:2課時

重點:

(1)根式概念的理解;

(4)分數指數鬲的理解;

(5)掌握并運用分數指數鬲的運算性質。

難點:根式、分數指數募概念的理解。

評測練習

1、求下列各式的值

(1)](-8)3(2)“-10)2(3)#(3-1)4(4)J(a—4)2

2、求值,

83;5

3、用分數指數帚的形式表或下到各式(a>0)

關場;-

【答案及評測解析】

1、答案

(1)=-8

(2)7(-10)2=1-10|=10

(3)](3-萬K="-3

(4)4-6)2=d

評測解析:(根式求值)

(1)化簡府時,首先明確根指數n是奇數還是偶數,然后依據根式

的性質進行化簡;化簡(強)n時,關鍵是明確我是否有意義,只要強

有意義則(強)"=a。

(2)在對根式進行化簡時一,若被開方數中含有字母參數,則要注意字母

參數的取值范圍,即確定a的正負,再結合n的奇偶性給出正確結果。

2、答案?=⑵);=2嗎=2?=4^嗎4F號尸號

評測解析:(分數指數幕的運算技巧)

(1)對于既含有分數指數基,又含有根式的式子,一般把根式統一化

成分數指數哥的形式,以便于計算。如果根式中的根指數不同,也應化

成分數指數事的形式。

(2)對于計算題的結果,不強求統一用什么形式來表示,但結果不能

同時含有根號和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數。

3、答案23仁2I2+2§

a7a=a-a=a

J-=JaW==面),=

評測解析:(根式與分數指數嘉的互化)

(1)根指數化為分數指數的分母,被開方數(式)的指數化為分數指

數的分子。

(2)在具體計算時,通常會把根式轉化成分數指數塞的形式,然后

利用有理數指數塞的運算性質解題。

4、學生練習結果分析

(1)組織學生總結解決此類問題的一般方法和步驟。

(2)利用分數指數幕進行根式運算時,先把根式化為分數指數累,

再根據幕的運算性質進行計算。

(3)沒有特別要求,就用分數指數幕的形式來表示,結果不能同時

含有根號和分數指數,也不能既有分母又有負指數。

課后反思

本節課是根式與整數指數基的拓展與延伸,教學中注意與初中所

學知識的類比,如根式與平方根、立方根的類比,分數指數塞與整數

指數幕的類比。從具體的實例出發,和學生共同親歷分數指數幕的指

數從正整數到整數再到有理數的發展過程和推導過程,讓學生能體驗

數域拓展的一般規律和內在邏輯聯系。

在教學過程中由于從問題出發,采取了分數指數幕和整數指數幕

的類比,學生在原有認知的基礎上進行了探究,其學習是主動的、積

極的,知識的形成也是自然的。同時在學習和探究的過程中,從解決

問題到方法使用,讓學生體會到從特殊到一般的數學思想,同時也培

養了學生縝密的數學邏輯思維能力,引導和幫助學生在這樣的數學學

習過程中高效、有序地學習數學,讓學生真正體會到在問題解決中學

習,在交流中學習,使之成為一種學習習慣。

在整個教學過程中,反思如下:

1、課程開始有點緊張,出現一處口誤、磕巴。

2、在講解正分數指數塞轉化為根式形式過程中,對“m、n、a”

的取值范圍闡述有點混亂啰嗦,學生掌握這部分知識有點困難。

3、時間緊張,在知識點講解完后進行“知識小結”過于倉促,

沒有做出解釋。

針對這次課我所暴露出來的教學過程中的幾個問題,我將在今后

的教學過程中認真研究課程標準,深入挖掘教材,充分了解學生學情

及能力儲備,在備課環節上注意細節,把握時間,更加有效地完成教

學工作。

課標分析

數及其運算是推動數學發展的重要源泉和動力之一,是數學的基

石,教科書非常重視指數幕運算和對數運算。指數幕運算和對數運算

是兩類重要的運算,指數幕運算源于數的自稱運算,對數則是指數幕

中指數的等價表示形式,為了在實數范圍內研究指數函數,教科書從

整數

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