1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

【學習目標】1.通過實例總結含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規律.2.能正

確地對含有一個量詞的命題進行否定.

知識梳理梳理教材夯實基礎

知識點含量詞的命題的否定

P㈱p結論

全稱量詞命題VxGM,夕(x)3xGM,糠0(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題

存在量詞命題mxGM,0(x)VxCM,算夕(x)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題

-思考辨析判斷正誤

1.3x《M,p(x)與㈱p(x)的真假性相反.(V)

2.“任意xGR,/NO”的否定為xGR,x<0n.(V)

3.xGR,|x|=x"是假命題.(X)

題型探究探究重點素養提升

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一、全稱量詞命題的否定

例1寫出下列命題的否定.

⑴所有矩形都是平行四邊形；

⑵每一個素數都是奇數；

(3)VxWR,x—2x+l>0.

解(1)存在一個矩形不是平行四邊形；

⑵存在一個素數不是奇數；

(3)3xGR,x—2x+l〈0.

反思感悟全稱量詞命題0：Vx^M,p(x),它的否定㈱n3x^M,p^x),全稱量詞命

題的否定是存在量詞命題.

跟蹤訓練1寫出下列命題的否定，并判斷其否定的真假：

(1)jO：不論0取何實數，方程￡+〃￡—1=0必有實根；

(2)p：VxGN,2，〉0.

解(1)㈱P：存在一個實數出使方程系十小―1=0沒有實數根.因為該方程的判別式/

=〃2+4>0恒成立，故㈱。為假命題.

⑵㈱0：mXGN,2*WO.。為假命題.

二、存在量詞命題的否定

例2寫出下列命題的否定.

(1)有些四邊形有外接圓；

(2)某些平行四邊形是菱形；

(3)3xWR,f+l<0.

解(1)所有的四邊形都沒有外接圓；

(2)所有平行四邊形都不是菱形；

⑶VxdR,f+lNO.

反思感悟對存在量詞命題進行否定時，首先把存在量詞改為全稱量詞，然后對判斷詞進行

否定，可以結合命題的實際意義進行表述.

跟蹤訓練2寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷其否定的真假：

(1)有些實數的絕對值是正數；

(2)3x,yez,使得弧+y=3.

解(1)命題的否定：“不存在一個實數，它的絕對值是正數”，也即“所有實數的絕對值都

不是正數”.由于I—2|=2,因此命題的否定為假命題.

(2)命題的否定：“7x,HZ,加葉/3”.

當x=0,y=3時，鏡x+y=3,

二命題的否定是假命題.

三、全稱量詞命題、存在量詞命題的綜合應用

例3對于任意實數x,不等式x?+4x—1〉加恒成立.求實數小的取值范圍.

解令/=/+4X-1,xGR,

則尸(x+2)2—5,

因為VxWR,不等式,d+4x—1〉山恒成立，

所以只要冰一5即可.

所以所求必的取值范圍是{引水一5}.

延伸探究

本例條件變為：“存在實數x,使不等式一V+4x—1>/有解"，求實數0的取值范圍.

解令y=-V+4X—1,

因為y=~x+4x—l=—(x—2)?+3.

又因為mxGR,-/+4*一1〉〃有解，

所以只要加小于函數的最大值即可，

所以所求0的取值范圍是{同欣3}.

反思感悟求解含有量詞的命題中參數范圍的策略

(1)對于全稱量詞命題“VxG弘a〉y(或a〈力”為真的問題，實質就是不等式恒成立問題，

通常轉化為求函數y的最大值（或最小值），即a>jU或a<%n）.

⑵對于存在量詞命題'勺x^M,a〉y（或a<y）”為真的問題，實質就是不等式能成立問題，

通常轉化為求函數y的最小值（或最大值），即。>無”（或a<jw）.

跟蹤訓練3若命題夕：3x￡R,f+Zx+aWO是真命題，則實數a的取值范圍是（）

A.己21B.a>lC.a<lD.aWl

答案D

解析命題夕：三x￡R,/+2X+HW0是真命題，則/20,即aWl.故選D.

隨堂演練基礎鞏固學以致用

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1.命題“VxGR,3+第三0”的否定是（）

A.VxdR,|x\+x<0

B.Vx^R,Ixl+fWO

C.3xGR,|x\+/<0

D.3xGR,|x\+/20

答案C

解析條件VxGR的否定是mxGR,結論“Ixl+f/o”的否定是“|x|+f<0”.

2.命題“存在實數x,使x>l”的否定是（）

A.對任意實數x,都有x〉l

B.不存在實數x,使xWl

C.對任意實數x,都有xWl

D.存在實數x,使xWl

答案C

解析利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題求解.

“存在實數X,使x〉l”的否定是“對任意實數X,都有xWl”.故選C.

3.關于命題9"VxGR,f+IWO”的敘述，正確的是（）

A.轆>p：2xWR,f+1。0

B.p：VxdR,Y+1=O

C.。是真命題，㈱。是假命題

D."是假命題，㈱。是真命題

答案C

解析命題"“VxGR,V+1W0”的否定是xGR,x+l=O".所以0是真命題，㈱

P是假命題.

4.命題“同位角相等”的否定為.

答案有的同位角不相等

解析全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故否定為：有的同位角不相等.

5.命題：“有的三角形是直角三角形”的否定是：.

答案所有的三角形都不是直角三角形

解析命題：”有的三角形是直角三角形”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，按照

存在量詞命題改為全稱量詞命題的規則，即可得到該命題的否定.

■課堂小結

1.知識清單：

（1）全稱量詞命題、存在量詞命題的否定.

⑵命題真假的判斷.

2.方法歸納：轉化思想.

3.常見誤區：否定不唯一，命題與其否定的真假性相反.

課時對點練注重雙基強化落實

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g基礎鞏固

1.若p：VxGR,x|Wl,貝|()

A.轆ip；3xGR,x|>l

B.糠p：YxCR,X>1

C.懶p：2xdR,

D.糠p：YxWR,

答案A

解析根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可知，VxGR,|x|Wl的否定為：3xGR,

x|>1,故選A.

2.命題“Vx>0,都有/一不+3/0”的否定（）

A.3x>0,使得/一不+3（0

B.3x>0,使得/-^+3>0

C.Vx>0,都有f-x+3>0

D.VxWO,都有f—x+3>0

答案B

解析命題“Vx〉O,都有￡-x+3W0”的否定是：3x>0,使得f-x+3>0.

3.命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是（）

A.任意一個有理數，它的平方是有理數

B.任意一個無理數，它的平方不是有理數

C.存在一個有理數，它的平方是有理數

D.存在一個無理數，它的平方不是有理數

答案B

解析量詞“存在”改為“任意”，結論“它的平方是有理數”否定后為“它的平方不是有

理數”，故選B.

4.命題0：VxGN,x'>/的否定形式㈱0為（）

A.VxGN,x3W/B.3xCN,xyx

C.3x^N,x<xD.3xGN,x

答案D

解析命題p：VxGN,的否定形式是存在量詞命題；

:.糠P：xdN,xWf”.

故選D.

5.已知命題"實數的平方是非負數，則下列結論正確的是（）

A.命題㈱。是真命題

B.命題0是存在量詞命題

C.命題0是全稱量詞命題

D.命題。既不是全稱量詞命題也不是存在量詞命題

答案C

解析命題口實數的平方是非負數，是真命題，故㈱。是假命題，命題。是全稱量詞命題,

故選C.

6.命題'勺xGN,X>1"的否定是.

答案VXGN,fwi

解析由題意，根據存在量詞命題與全稱量詞命題的關系可得，命題'勺xGN,V〉l”的否

定為“VxCN,VWl”.

7.命題：3xGR,x—x+l=O的否定是.

答案VxGR,x?—x+lWO.

解析因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，

所以mxWR,x—x+l=O的否定是：VxdR,x—x+lWO.

8.命題“任意一個xGR,都有￡—2x+4W0”的否定是.

答案存在xWR,使得2x+4>0

解析原命題為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，所以其否定為：存在xGR,使得

步一2了+4〉0.

9.寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假.

⑴VxGR,/>0；

(2)3xGR,/=1；

(3)2xdR,或是方程3x+2=0的根；

(4)等腰梯形的對角線垂直.

解(1)命題的否定：mxGR,使fwo,因為才=0時，02=0,所以命題的否定為真.

(2)命題的否定：VxGR,使

因為x=l時，/=1,所以命題的否定為假.

(3)命題的否定：VxeR,x不是方程x—3x+2=0的根，因為x=1時，:一3X1+2=0,

即x=l為方程的根，所以命題的否定為假.

(4)命題的否定：存在一個等腰梯形的對角線不垂直，是真命題.

10.命題。是“對某些實數x,若x—a>0,則x—6W0”，其中a,b是常數.

⑴寫出命題。的否定；

⑵當a,力滿足什么條件時，命題。的否定為真？

解(1)命題p的否定：對任意實數x,若x—a>0,則x—6>0.

(2)￡Wa.

%綜合運用

11.下列命題的否定是真命題的是()

A.三角形角平分線上的點到兩邊的距離相等

B.所有平行四邊形都不是菱形

C.任意兩個等邊三角形都是相似的

D.3是方程9=0的一個根

答案B

解析A的否定：存在一個三角形，它的角平分線上的點到兩邊的距離不相等，假命題，

B的否定：有些平行四邊形是菱形，真命題，

C的否定：有些等邊三角形不相似，假命題，

D的否定：3不是方程y―9=0的一個根，假命題，

故選B.

12.已知命題'勺xGR,使4系+(a—2)X+(WO"是假命題，則實數a的取值范圍是()

A.a<0B.0WaW4

C.a》4D.0<a<4

答案D

解析:命題'勺x￡R,使4/+0—2)x+：W0”是假命題，J命題“Vx￡R,使4x+(a

—2)x+/0”是真命題，即判別式/=(a—2)2—4X4X-<0,即A=(a—2)2<4,則一2<a—

2<2,即0<a<4,故選D.

13.命題VxGR,x-x+3〉0的否定是,命題mxWR,￡+1〈0的否定是.

答案2xGR,x—x+3W0VxGR,x~+l，O

14.已知命題p：任意xGR,y+2ax+a〉0.若命題p是假命題，則實數a的取值范圍是

答案{a|aWO,或a三1}

解析若命題0為真命題，則=4a2—4a<0,

/.0<a<l,所以當"為假命題時，a的取值范圍是aW