Page21第02講《二次根式》章節分類總復習考點一二次根式有意義的條件學問點睛：二次根式的定義：非負數a的算術平方根叫做二次根式☆：二次根式的推斷不須要化簡，干脆依據定義推斷即可，易錯類型：因為，誤認為不是二次根式二次根式有意義的條件中a叫做被開方數，其中二次根式有意義的條件就是a≥0；☆1：當二次根式和分式結合時，要留意分式的分母≠0☆2：的雙重非負性；故有：前無“-”，本身值不行能是負的類題訓練1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x＞0），，，﹣，，（x≥0，y≥0）．【分析】一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．結合所給式子即可作出推斷．【解答】解：符合二次根式的定義；是三次根式；是分式，不是二次根式；（x＞0）符合二次根式的定義；是二次根式；是四次根式；﹣符合二次根式的定義；是分式，不是二次根式；（x≥0，y≥0）符合二次根式的定義．2．（下城區期末）已知二次根式，當x＝1時，此二次根式的值為（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【分析】將x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性質化簡求解．【解答】解：當x＝1時，原式＝，故選：A．3．（陽谷縣期末）已知是整數，則正整數n的最小值是【分析】因為是整數，且＝2，則6n是完全平方數，滿足條件的最小正整數n為6．【解答】解：∵＝2，且是整數，∴2是整數，即6n是完全平方數；∴n的最小正整數值為6．故答案為：6．4．（普陀區期中）若是二次根式，那么x的取值范圍是．【分析】二次根式要求被開方數是非負數，即10﹣5x≥0，從而解得x的取值范圍．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案為：x≤2．5．（余杭區期中）當x＝時，的值最小．【分析】依據二次根式的性質即可求出答案．【解答】解：當x＝3時，此時2x﹣6＝0，的最小值為0，故答案為：36．已知二次根式．（1）求x的取值范圍；（2）求當x＝﹣2時，二次根式的值；（3）若二次根式的值為零，求x的值．【分析】（1）依據二次根式的定義得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）將x＝﹣2代入計算可得；（3）當被開方數為0時，二次根式的值即為0，據此列出關于x的方程求解可得．【解答】解：（1）依據題意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）當x＝﹣2時，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值為零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y為實數，且滿足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先依據二次根式的性質列出不等式組，求出x的取值，再把x的值代入所求代數式即可解答．【解答】解：則；＝＝2．考點二二次根式相關概念學問點睛：最簡二次根式：滿足以下2個條件的二次根式成為最簡二次根式①被開方數的因數是整數，因式是整式；②不含開的盡方的因數或因式☆：推斷最簡二次根式，被開方數的字母部分次數最高為1次，且不含分母二次根式的運算，最終結果都要求必需化為最簡二次根式同類二次根式：所含被開方數相同的最簡二次根式叫做同類二次根式類題訓練1．（桐柏縣期中）下列二次根式中的最簡二次根式是（）A． B． C． D．【分析】依據最簡二次根式的定義即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合題意．B、原式＝3，故B不符合題意．C、是最簡二次根式，故C符合題意．D、原式＝2，故D不符合題意．故選：C．2．把下列根式化成最簡二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）干脆利用二次根式的性質化簡得出答案；（2）干脆利用二次根式的性質化簡得出答案；（3）干脆利用二次根式的性質化簡得出答案；（4）干脆利用二次根式的性質化簡得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（岳麓區校級期末）下列式子能與合并的是（）A． B． C． D．【分析】依據二次根式的性質把各個二次根式化簡，依據同類二次根式的概念推斷即可．【解答】解：A、＝＝4，能與合并，符合題意；B、＝2，不能與合并，不符合題意；C、＝，不能與合并，不符合題意；D、＝，不能與合并，不符合題意；故選：A．4．假如最簡二次根式與2是同類二次根式，則a＝．【分析】依據同類二次根式的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵最簡二次根式與2是同類二次根式，∴3a﹣8＝17﹣2a，解得，a＝5，故答案為：5．公式①、②、③常用于以下兩種題型：化簡求值公式①、②、③常用于以下兩種題型：化簡求值無理數比較大小常見比較大小的三種方式：利用近似值比較大小把系數移到根號內比較分別平方，然后比較大小以上方法留意兩數的正負號學問點睛：二次根式乘法公式：公式④及其變形常用于分母有理化的化簡，即分式的分子分母同乘分母的無理化因式，使分母變為整數。二次根式除法公式：公式④及其變形常用于分母有理化的化簡，即分式的分子分母同乘分母的無理化因式，使分母變為整數。類題訓練1．（拱墅區期中）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】依據平方根的性質、立方根的性質以及確定值的性質即可求出答案．【解答】解：A、原式＝0.3，故A不符合題意．B、原式＝＝，故B不符合題意．C、原式＝﹣3，故C符合題意．D、原式＝﹣5，故D不符合題意．故選：C．2．（寶山區校級月考）把根號外面的式子移到根號內，則x＝．【分析】干脆利用二次根式的性質得出x的符號，進而化簡得出答案．【解答】解：原式＝﹣＝﹣．故答案為：﹣．3．（諸暨市月考）已知：2、3、y是一個三角形的三條邊，則|y﹣1|+的化簡結果．【分析】依據三角形三邊之間的關系確定y的取值范圍，然后依據y的取值范圍去確定值化簡即可．【解答】解：∵2，3，y是一個三角形的三條邊，∴1＜y＜5，∴原式＝y﹣1+＝y﹣1+|y﹣5|＝y﹣1+5﹣y＝4．故答案為：4．4．（新縣期末）已知|2024﹣a|+＝a，求a﹣20242的值是．【分析】依據二次根式有意義的條件以及確定值的性質即可求出答案．【解答】解：由題意可知：a≥2024，∴2024﹣a＜0，∴a﹣2024+＝a，∴＝2024，∴a﹣2024＝20242，∴a﹣20242＝2024，故答案為：20245．（普陀區校級期中）下列結論正確的是（）A．的有理化因式可以是 B． C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+） D．是最簡二次根式【分析】依據分母有理化，最簡二次根式的定義，不等式的解法以及二次根式的性質即可求出答案．【解答】解：A、的有理化因式可以是，故A不符合題意．B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合題意．C、∵（2﹣）x＞1，∴x＜，∴x＜﹣2﹣，故C不符合題意．D、是最簡二次根式，故D符合題意．故選：D．6．（九龍坡區校級月考）已知x+y＝﹣5，xy＝4，則的值是（）A． B． C． D．【分析】依據已知條件得出x、y同號，并且x、y都是負數，求出x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，再求出答案即可．【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴x、y同號，并且x、y都是負數，解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，當x＝﹣1，y＝﹣4時，＝+＝2+＝；當x＝﹣4，y＝﹣1時，+＝+＝+2＝，則的值是，故選：B．7．（高青縣期末）已知x＝+2，則代數式x2﹣x﹣2的值為（）A．9 B．9 C．5 D．5【分析】把已知條件變形得到x﹣2＝，兩邊平方得到x2＝4x+1，利用降次的方法得到原式＝3x﹣1，然后把x的值代入計算即可．【解答】解：∵x＝+2，∴x﹣2＝，∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2＝4x+1，∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，當x＝+2時，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．故選：D．8．（南岸區校級期中）已知a，b是兩個連續整數，若a＜＜b，則+＝．【分析】先估算的范圍，確定a、b的值，依據二次根式的性質計算即可．【解答】解：∵＜＜，即2＜＜3，∴a＝2，b＝3，∴+＝+2，故答案為：+2．9．（諸城市三模）已知a＝+1，b＝﹣1，則a3b﹣ab3＝．【分析】依據二次根式的混合運算法則計算即可．【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，∴a+b＝（+1）+（﹣1）＝2，a﹣b＝（+1）﹣（﹣1）＝2，ab＝（+1）（﹣1）＝1，∴a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b）＝4，故答案為：4．10．（杭州期末）若a＝+1，b＝﹣1，則a2﹣ab+b2＝．【分析】依據配方法以及二次根式的運算法則即可求出答案．【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，∴a+b＝+1+﹣1＝2，ab＝（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，∴原式＝a2+2ab+b2﹣3ab＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣3×1＝8﹣3＝5．故答案為：5．11．（市北區校級期中）計算：（1）﹣；（2）3﹣+7；（﹣）×﹣3；（4）（+）（﹣）﹣（+1）2．（5）；（6）．【分析】（1）依據立方根和二次根式的乘除法公式即可求解；（2）先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；（3）依據二次根式的乘除法化簡，再合并同類二次根式即可；（4）依據平方差公式和完全平方公式綻開，化簡即可．（5）依據二次根式的除法法則和二次根式的性質計算；（6）先把各二次根式化簡，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣＝3﹣2＝1；（2）原式＝3×3﹣×4+7×＝9﹣2+＝；（3）原式＝﹣﹣3×＝6﹣6﹣＝5﹣6；（4）原式＝13﹣3﹣（8+2+1）＝13﹣3﹣8﹣4﹣1＝1﹣4．（5）原式＝+﹣4＝2+3﹣4＝1；（6）原式＝2﹣3+8＝7．考點四二次根式的化簡求值及簡潔應用學問點睛：1.二次根式的化簡求值解題步驟：①依據實數的混合運算法則和二次根式的性質公式將所給代數式化到最簡B②將所給字母的值帶入計算B☆化簡求值問題所得結果必需是最簡二次根式或者實數2.圖形的坡比：CA直線AB的坡比i=CA類題訓練：1．先化簡，再求值：，其中a＝，b＝5+2．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值．【解答】解：原式＝?＝?＝﹣，當a＝＝5﹣2，b＝5+2時，原式＝﹣1．2．（鄞州區月考）已知a＝．（1）求a2﹣4a+4的值；（2）化簡并求值：．【分析】（1）先將a化簡，然后通過配方法將原式化簡，最終代入a求值．（2）將原式先化簡，然后代入a的值求解．【解答】解：（1）a＝＝＝2﹣，a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，將a＝2﹣代入（a﹣2）2得（﹣）2＝3．（2），＝﹣＝（a﹣1）﹣，∵a＝2﹣，∴a﹣1＝1﹣＜0，∴原式＝a﹣1+＝2﹣﹣1+2+＝3．3．（奉賢區校級期中）若，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．x＜【分析】利用二次根式的性質得到＝|3x﹣2|，即|3x﹣2|＝2﹣3x，然后依據確定值的意義得到3x﹣2≤0，再解不等式即可．【解答】解：∵＝|3x﹣2|＝2﹣3x，∴3x﹣2≤0，∴x≤．故選：C．4．（余杭區期中）如圖是單位長度為1的正方形網格，點A，B，C都在格點上，則點C到AB所在直線的距離為（）A． B． C． D．【分析】依據△ABC的面積＝邊長為3的正方形面積﹣直角邊為2的等腰三角形的面積﹣2個直角邊分別為1和3的三角形面積，△ABC的面積＝BC?h，列等式求出h．【解答】解：∵S△ABC＝32﹣﹣×2＝4，設點C到AB所在直線的距離為h．∵AB＝＝，S△ABC＝，∴?h＝4，∴解得h＝．故選：B．5．（普陀區校級月考）已知a+b＝﹣8，ab＝1，則值為．【分析】將二次根式進行化簡，然后依據分式加法運算法則進行計算，最終利用整體思想代入求值．【解答】解：∵a+b＝﹣8，ab＝1，∴a＜0，b＜0，∴原式＝﹣﹣＝﹣＝﹣，當a+b＝﹣8，ab＝1時，原式＝﹣＝8，故答案為：8．6．（臺州期中）如圖，在矩形ABCD中無重疊放入面積分別為8cm2和12cm2的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（）A．4cm2 B．（8﹣12）cm2 C．（4﹣8）cm2 D．（4+12）cm2【分析】依據正方形的面積求出兩個正方形的邊長，從而求出AB、BC，再依據空白部分的面積等于長方形的面積減去兩個正方形的面積列式計算即可得解．【解答】解：∵兩張正方形紙片的面積分別為12cm2和8cm2，∴它們的邊長分別為cm，cm，∴AB＝2cm，BC＝2cm，∴空白部分的面積＝﹣12﹣8，＝（4﹣8）cm2．故選：C．已知一個直角三角形的周長是4+，斜邊上的中線長是2，則這個三角形的面積是（）A．5 B． C． D．1【分析】依據直角三角形的性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求得斜邊的長，再依據直角三角形的周長和勾股定理，可求得兩直角邊的長或長的乘積，由此可求出這個三角形的面積．【解答】解：設兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，∴斜邊c＝2×2＝4，∵直角三角形的周長是4+，∴a+b+c＝4+，∴∴∴ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（26﹣16）＝5，故s三角形＝ab＝．故選：B．8．（隆昌市校級月考）先閱讀下面的解題過程，然后再解答：形如的化簡，只要我們找到兩個數a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，則有：．（1）依據上述方法化簡：①＝；②＝；（2）已知，則4x2+4x﹣2024＝．【分析】（1）利用完全平方公式得到①原式＝；②原式＝，然后依據二次根式的性質化簡即可；（2）利用化簡復合二次根式得到x＝，則2x+1＝，兩邊平方得到4x2+4x＝2，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：（1）①原式＝＝＝﹣；②原式＝＝＝＝2+；故答案為：﹣；2+；（2）∵x＝＝＝＝，∴2x+1＝，∴（2x+1）2＝3，即4x2+4x+1＝3，∴4x2+4x＝2，∴4x2+4x﹣2024＝2﹣2024＝﹣2024．故答案為﹣2024．9．（長豐縣期末）視察下列等式：第一個等式：，其次個等式：，第三個等式：，…請回答下列問題：（1）則第四個等式為；（2）用含n（n為正整數）的式子表示出第n個等式為．【分析】（1）通過視察所給式子，分子可以寫成平方差公式的形式，進而得到答案；（2）通過視察所給式子，分子可以寫成平方差公式的形式，再由數之間的規律，即可求解；【解答】解：（1）視察式子規律，可得第四個等式為：＝＝＝+2，故答案為＝＝＝+2；（2）通過視察可得，第n個等式為：＝＝＝+，故答案為＝＝＝+．10．（博白縣期末）已知長方形的長a＝，寬b＝．（1）求長方形的周長；（2）求與長方形等面積的正方形的周長，并比較與長方形周長的大小關系．【分析】首先化簡a＝＝2，b＝＝．（1）代入周長計算公式解決問題；（2）求得長方形的面積，開方得出正方形的邊長，進一步求得周長比較即可．【解答】解：a＝＝2，b＝＝．（1）長方形的周長＝（2+）×2＝6；（2）正方形的周長＝4＝8，∵6＝.8＝，∵＞∴6＞8．11．（越城區校級月考）點P（x，y）是平面直角坐標系中的一點，點A（1，0）為x軸上的一點．（1）用二次根式表示點P與點A的距離；（2）當x＝4，y＝時，連接OP、PA，求PA+PO；（3）若點P位于其次象限，且滿足函數表達式y＝x+1，求+的值．【分析】（1）利用兩點間的距離公式進行解答；（2）利用兩點間的距離公式求得OP、PA，然后求PA+PO；（3）把y＝x+1代入所求的代數式進行解答．【解答】解：（1）點P與點A的距離：；（2）∵x＝4，y＝，P（x，y），A（1，0），∴P（4，），∴PA＝＝2，PO＝＝3，則PA+PO＝2+3；（3）∵點P位于其次象限，∴x＜0，y＞0，又∵y＝x+1，∴+＝|x|+|y|＝﹣x+y＝﹣x+x+1＝1．即+的值是1．12．（南岸區校級期中）某居民小區有塊形態為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為8米，寬AB為米，現要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為+1米，寬為﹣1米．（1）長方形ABCD的周長是多少？（結果化為最簡二次根式）（2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/m2的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚須要花費多少元？（結果化為最簡二次根式）【分析】（1）依據長方形ABCD的周長列出算式，再利用二次根式的混合運算依次和運算法則計算可得；（2）先計算出空白部分面積，再計算即可，【解答】解：（1）長方形ABCD的周長＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：長方形ABCD的周長是16+14（米），（2）通道的面積＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），購買地磚須要花費＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：購買地磚須要花費336﹣72元；13．（西城區校級期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+32，1+2，5+52．（2）由（1）中各式猜想m+n與2（m≥0，n≥0）的大小，并說明理由．（3）請利用上述結論解決下面問題：某園林設計師要對園林的一個區域進行設計改造，將該區域用籬笆圍成矩形的花圃．如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體，為了圍成面積為200m2的花圃，所用的籬笆至少須要m．【分析】（1）分別進行計算，比較大小即可；（2）依據第（1）問填大于號或等于號，所以猜想m+n≥2；比較大小，可以作差，m+n﹣2，聯想到完全平方公式，問題得證；（3）設花圃的長為a米，寬為b米，須要籬笆的長度為（a+2b）米，利用第（2）問的公式即可求得最小值．【解答】解：（1）∵4+3＝7，2＝4，∴72＝49，（4）2＝48，∵49＞48，∴4+3＞2；∵1+＝＞1，2＝＜1，∴1+＞2；∵5+5＝10，2＝10，∴5+5＝2．故答案為：＞，＞，＝．（2）m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下：當m≥0，n≥0時，∵（﹣）2≥0，∴（）2﹣2?+（）2≥0，∴m﹣2+n≥0，∴m+n≥2．（3）設花圃的長為a米，寬為b米，則a＞0，b＞0，S＝ab＝200，依據（2）的結論可得：a+2b≥2＝2＝2＝2×20＝40，∴籬笆至少須要40米．故答案為：40．【坡比問題】1．（正定縣期中）如圖，AB是河堤橫斷面的迎水坡，堤高AC＝，水平距離BC＝1，則斜坡AB的坡度為（）A． B． C．30° D．60°【分析】干脆利用坡度的定義得出，斜坡AB的坡度為：，進而得出答案．【解答】解：由題意可得：∠ACB＝90°，則斜坡AB的坡度為：＝＝．故選：A．2．（東昌府區期中）如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD，AE，DF為梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡長AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，則背水坡的坡長CD為（）米．A．20 B．20 C．10 D．20【分析】由AB的坡角α＝45°，求出AE的長，再由背水坡CD的坡度i＝1：得出∠C＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性質即可求解．【解答】解：由題意得：四邊形AEFD是矩形，∴DF＝AE，∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡長AB＝10米，∴DF＝AE＝10×＝10（米），∵背