Page22高2024級2024-2025學年度上期第一學月質量監測數學試題（時間：120分鐘滿分：150分）一?單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.設，向量，，且，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依據空間向量平行與垂直的坐標表示，求得的值，結合向量模的計算公式，即可求解.【詳解】由向量且，可得，解得，所以，，則，所以.故選：C.2.若，，，則的形態是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不等邊銳角三角形【答案】D【解析】【分析】依據已知求出三條邊長解除A,B選項，再依據余弦定理計算最大角可以推斷C,D選項.【詳解】因為，，，所以的三條邊都不相等，也不滿意勾股定理，故解除A，B．因為的最大邊為，所以角C為的最大內角，又，故角C為銳角，即為銳角三角形．故選：D．3.已知圓錐的底面半徑為4，其側面綻開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓錐的軸截面、側面綻開圖性質求體高，應用圓錐體積公式求體積即可.【詳解】設該圓錐的母線長為l，高為h，由，得，則，所以該圓錐的體積為．故選：C4.如圖，在四面體中，，，，為的重心，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先用，，，表示向量，再利用為的中點，得代入整理得答案.【詳解】因為為的重心，所以.為的中點，所以.故選：C.5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理計算可得；【詳解】解：由，得，故選：B．6.如圖，在三棱柱中，，，，，與的交點為M，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據空間向量的線性運算可得，進而結合空間向量的數量積公式運算即可求解.【詳解】由題意得，所以.故選：C.7.在正三棱柱中，，點D在棱BC上運動，若的最小值為，則三棱柱的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用綻開圖結合余弦定理求得，取的中心分別為M，N，則MN的中點O為三棱柱的外接球的球心，利用正弦定理求出的外接圓的半徑，進而利用勾股定理求得外接球的半徑，進而可得答案.【詳解】如圖，將與矩形綻開至同一平面，易知.設，由題意知的最小值為，即.由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.取的中心分別為M，N，連接MN，則MN的中點O為三棱柱的外接球的球心，設的外接圓的半徑為r，則，即，設三棱柱的外接球的半徑為R，在中，,則，故三棱柱的外接球的表面積為.故選：A.8.在中國古代數學著作《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上?下底面平行，且均為扇環形（扇環是指圓環被扇形截得的部分）.現有一個如圖所示的曲池，它的高為2，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環對應的兩個圓的半徑分別為1和2，對應的圓心角為90°，則圖中異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，以向量法去求解異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設上底面圓心為，下底面圓心為，連接以為原點，分別以所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系則則又異面直線所成角的范圍為故異面直線與所成角的余弦值為故選：A二?多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.若復數在復平面內對應的點為，則下列說法正確的是（）A.若，則在其次象限B.若為純虛數，則在虛軸上C.若，則點的集合所構成的圖形的面積為D.若，且，則為實數【答案】BD【解析】【分析】依據的周期性、復數的幾何意義、復數的除法運算等學問干脆推斷各個選項.【詳解】對于A，因為，故，所以在坐標軸上，故A錯誤；對于B，若為純虛數，則在虛軸上，故B正確；對于C，若，則點的集合所構成的圖形是半徑為3的圓及其內部，面積為，故C錯誤；對于D，，則為實數，故D正確．故選：BD10.給出下列命題，其中正確的命題是（）A.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B.若對空間中隨意一點，有，則四點共面C.兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這兩個向量共線D.已知向量，則在上的投影向量為【答案】CD【解析】【分析】依據已知得出，即可推斷A項；依據空間向量的有關定義及其結論，可推斷B、C項；依據投影向量的概念，即可得出D項.【詳解】對于A項，由已知可得，所以或，故A項錯誤；對于B項，因為，所以四點不共面，故B項錯誤；對于C項，依據空間向量基底的概念，可知C項正確；對于D項，因為，，所以，在上的投影向量為，故D項正確.故選：CD.11.在長方體中，??分別為棱??的中點，，，則正確的選項是（）A.異面直線與所成角的大小為60°B.異面直線與所成角大小為90°C.點到平面的距離為D.點到平面距離為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出，后，由可推斷A、B；求出平面的一個法向量后，由點到平面的距離為可推斷C、D.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，連接，則，，，，，所以，，所以，所以，所以異面直線與所成角的大小為90°，故A錯誤，B正確；又，，設平面的一個法向量，則，令，則，則點到平面的距離為，故C正確，D錯誤.故選：BC.【點睛】關鍵點點睛：（1）建立合理的空間直角坐標系，利用空間向量求解異面直線的夾角；（2）轉化點到平面的距離為方向向量在平面法向量方向上投影的確定值.12.如圖，在棱長為2的正方體中，點P滿意，，E，F分別為，的中點，則下列結論正確的是（）．A.當時，過E，F且與直線平行的平面截該正方體所得的截面為五邊形B.當時，過E，F且與直線平行的平面截該正方體所得的截面面積為C.當時，的最小值為D.當時，的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】取的中點，并與點順次連接得正方體的截面，證明平行于此截面即可推斷AB；當時，求出點的軌跡求解推斷CD作答.【詳解】如圖，連接，，，當時，，分別取的中點，連接，過點的截面為六邊形，正方體對角面是矩形，則，于是，，同理，，，則六邊形為正六邊形，設與的交點為M，設與的交點為N，連接，，由，得，，則四邊形為平行四邊形，于是，又平面，平面，因此平面，當時，過E，F且與直線平行的截面為六邊形，該截面面積為，A錯誤，B正確；由，得，點P在底面上的軌跡是以A為圓心、圓心角為、半徑為1的圓弧，如圖，當三點共線時，取最小值，明顯的最大值為，CD正確.故選：BCD三?填空題（本大題共4小題，共20分）13.現有張分別標有、、的卡片，實行有放回的方式從中依次隨機取出張卡片，則抽到的張卡片的數字之和不小于的概率是__________．【答案】【解析】【分析】列舉出全部的基本領件，確定所求事務所包含的基本領件數，利用古典概型的概率公式可求得所求事務的概率.【詳解】設事務為“抽到的張卡片的數字之和不小于”，則這個試驗的樣本空間可記為，共包含個樣本點，事務包含的樣本點有：、、，包含個樣本點，所以．故答案為：.14.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的值為_______.【答案】【解析】【分析】依據正弦定理邊角互化，計算求值.【詳解】依據正弦定理可知，，所以，而，所以.故答案為：15.如圖，已知正方體的棱長為1，E、F分別是棱AD、上的中點．若點P為側面正方形內（含邊）動點，且存在x、，使成立，則點P的軌跡長度為_________．【答案】【解析】【分析】由題知，共面，即平面，取中點，連接、、，易證平面平面，所以點在上運動，點的軌跡為線段，由勾股定理計算可得.【詳解】解：因為成立，所以共面，即平面，如圖，取中點，連接、、，依據正方體的性質得，，平面，平面，平面，，同理可證平面，且，所以平面平面，所以點在上運動，點的軌跡為線段，因為，，由勾股定理得，故答案為：.16.如圖所示，在正四棱柱中，，，動點、分別在線段、上，則線段長度的最小值是______．【答案】【解析】【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算出異面直線、的公垂線的長度，即為所求.【詳解】由題意可知，線段長度的最小值為異面直線、的公垂線的長度.如下圖所示，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則點、、、，所以，，，，設向量滿意，，由題意可得，解得，取，則，，可得，因此，.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于將長度的最小值轉化為異面直線、的距離，事實上就是求出兩條異面直線的公垂線的長度，利用空間向量法求出兩條異面直線間的距離，首先要求出兩條異面直線公垂線的一個方向向量的坐標，再利用距離公式求解即可.四?解答題.17.（1）已知，，且，求，的值；（2）已知，，若與（為坐標原點）的夾角為，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標運算，結合空間向量共線的坐標表示計算作答；（2）先算出，，然后利用數量積的坐標運算得到，再利用夾角公式即可得到答案【詳解】（1）因為，，所以，，因為，所以，解得，所以；（2）因為，，所以，，所以，因為與的夾角為，所以，因為解得18.小晟統計了他6月份的手機通話明細清單，發覺自己該月共通話100次，小晟將這100次通話的通話時間（單位：分鐘）依據，，，，，分成6組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求a的值；（2）求通話時間在區間內的通話次數；（3）試估計小晟這100次通話的平均時間（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）．【答案】（1）（2）40（3）7.28分鐘【解析】【分析】（1）依據頻率之和為列方程來求得.（2）先求得通話時間在區間內的頻率，從而求得通話時間在區間內的通話次數.（3）依據頻率分布直方圖求得平均數的求法求得正確答案.【小問1詳解】由，得．【小問2詳解】因為通話時間在區間內的頻率為，所以通話時間在區間內的通話次數為．小問3詳解】這100次通話的平均時間的估計值為:分鐘．19.已知內角的對邊分別為，設.（1）求；（2）若的面積為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據題意，由正弦定理的邊角互化進行化簡，結合余弦定理即可得到結果；（2）依據題意，由三角形的面積公式可得，結合余弦定理即可得到結果.【小問1詳解】原式化簡可得：，整理得：，由正弦定理可得：，因此三角形的內角；【小問2詳解】，，，.20.已知四棱錐的底面是梯形，平面，，，，，．（1）求點A到平面的距離：（2）求平面與平面的夾角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用點到平面距離的向量公式進行計算；（2）法1：建立空間直角坐標系，利用空間向量求解二面角的大小；法2：過A點作，可求，結合點A到平面的距離，從而求出二面角的大小.【小問1詳解】取中點，連接，，則，且，四邊形為平行四邊形，，又，由可得，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，故，，設平面的法向量為，則，解得，令，則，故，點A到平面的距離.【小問2詳解】設平面的法向量為，，解得，令，則，可得，，易知平面與平面的夾角為銳角，故平面與平面的夾角為．法2：過點作，可求，由（1）可知點A到平面的距離，設平面與平面的夾角為，，，，故平面與平面的夾角為．21.如圖①，在等腰直角三角形中，分別是上的點，且滿意.將沿折起，得到如圖②所示的四棱錐.（1）設平面平面，證明：⊥平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由得到線面平行，進而由線面平行的性質得到線線平行，得到，證明出線面垂直，（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角的正弦值.【小問1詳解】平面平面，平面.平面，平面平面，由圖①，得，.平面，平面；【小問2詳解】由題意，得.又，以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，.設平面的一個法向量為.則，令，得，故.設與平面所成角為.直線與平面所成角的正弦值為.22.如圖，在三棱臺中，若平面，，，，為中點，為棱上一動點（不包含端點）．（1）若為的中點，求證：平面；（2）是否存在點，使得平面與平面所成角的余