-2024學(xué)年岳陽市高二數(shù)學(xué)（下）5月聯(lián)考試卷全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，則（

）A． B． C．4 D．22．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知變量的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，由表中數(shù)據(jù)得之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)有一測(cè)量數(shù)據(jù)為，若該數(shù)據(jù)的殘差為1.2，則（

）2123252715181920A．25.6 B．28 C．29.2 D．24.44．若直線與圓相切，則圓的半徑為（

）A．2 B．4 C． D．85．已知向量，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．6．從裝有2個(gè)白球、3個(gè)紅球的箱子中無放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)球，表示事件“兩次取出的球顏色相同”，表示事件“兩次取出的球中至少有1個(gè)是紅球”，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A．B．C． D．8．若不等式在上恒成立，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．C．的圖象關(guān)于對(duì)稱D．在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)10．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的為（

）A．若，則為等差數(shù)列 B．若，則C．若，則是公差為的等差數(shù)列 D．若，則的最大值為111．已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為上的兩點(diǎn)，過，作的兩條切線交于點(diǎn)，設(shè)兩條切線的斜率分別為，，直線的斜率為，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為B．，，成等差數(shù)列C．若在的準(zhǔn)線上，則D．若在的準(zhǔn)線上，則的最小值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，12．的展開式中的系數(shù)為.13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的右支上存在兩點(diǎn)，，使得，則的離心率的取值范圍是.14．已知某圓錐內(nèi)切球的半徑為1，則該圓錐側(cè)面積的最小值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15．在數(shù)列中，已知.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求滿足不等式的最大整數(shù).16．近年來，我國(guó)青少年近視問題呈現(xiàn)高發(fā)性、低齡化、重度化趨勢(shì).已知某校有學(xué)生200人，其中40人每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)小于1小時(shí)，160人每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于或等于1小時(shí)，為研究體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)與青少年近視的相關(guān)性，研究人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法從學(xué)生中抽取50人進(jìn)行調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)小于1小時(shí)體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于或等于1小時(shí)合計(jì)近視4無近視2合計(jì)(1)請(qǐng)完成上表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)有關(guān)？(2)為進(jìn)一步了解近視學(xué)生的具體情況，現(xiàn)從調(diào)查的近視學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行進(jìn)一步的檢測(cè)，設(shè)隨機(jī)變量為體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)小于1小時(shí)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.17．如圖，在四棱錐中，平面，，，是等邊三角形，為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若，求平面與平面夾角的正弦值.18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)，且為等腰直角三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；(3)若直線與交于兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn).19．已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)?(1)求的取值范圍；(2)函數(shù)，若與的值域相同，求的值，并證明：1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，，即可得模長(zhǎng).【詳解】由題意可得，則，所以.故選：A.2．C【分析】解出一元二次不等式和絕對(duì)值不等式，再利用交集含義即可.【詳解】，，.故選：C.3．B【分析】先求出樣本中心點(diǎn)，代入回歸方程求出，求出預(yù)測(cè)值結(jié)合殘差即可得解.【詳解】由題意可知，，將代入，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，則.故選：B.4．C【分析】由圓心到直線的距離等于半徑列方程即可得解.【詳解】依題意，，解得（負(fù)值舍），所以圓的半徑為.故選:C.5．C【分析】根據(jù)向量垂直得到方程，求出，變形后利用基本不等式求出最值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為3.故選：C.6．A【分析】求出和，再利用條件概率的公式求解.【詳解】由于我們不考慮兩次取球的順序，故可以視為從該箱子中一次性隨機(jī)取出兩個(gè)球.從而，，故.故選：A.7．C【分析】由函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性分大于1或小于1進(jìn)行討論即可得解.【詳解】由是奇函數(shù)及在上單調(diào)遞增，所以，則關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)若，則，即，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)若，則，即，所以，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，.故選：C.8．C【分析】設(shè)，，證明函數(shù)單調(diào)遞減，討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合的最大值小于等于0，求的范圍可得結(jié)論.【詳解】由，，得，所以在為減函數(shù)，又函數(shù)在也為減函數(shù)，，在上單調(diào)遞減，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，存在，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，不符合題意，舍去；③當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，.令，則在上單調(diào)遞減，，符合題意.綜上所述，的最小值為1.故選：C.【點(diǎn)睛】對(duì)于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1）恒成立?；（2）恒成立?.9．BD【分析】A選項(xiàng)，求出最小正周期；B選項(xiàng)，是的一條對(duì)稱軸的方程，從而求出；C選項(xiàng)，，故的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，整體法求出此區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).【詳解】選項(xiàng)，的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，易知為最大值或最小值，是的一條對(duì)稱軸的方程.，，，故B正確；選項(xiàng)C，，，不是最值，的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，只有，即時(shí)，，此區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：BD.10．ABD【分析】由遞推數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)即可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，從而得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以為等差數(shù)列，A選項(xiàng)正確；，所以是公差為-1的等差數(shù)列，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，B選項(xiàng)正確；由可知，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11．BCD【分析】將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式即可判斷A，設(shè)，，可以用表示，進(jìn)一步判斷B，設(shè)直線：，：，從而得到，進(jìn)一步結(jié)合B選項(xiàng)分析可判斷C，由拋物線定義結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】對(duì)A，拋物線：，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，，∵，∴，，，∴，B選項(xiàng)正確；對(duì)C，由上可知直線：，：，解得，，，，C選項(xiàng)正確；對(duì)D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出，進(jìn)一步結(jié)合，即可順利判斷.12．112【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求展開式中項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再由通項(xiàng)公式求其系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)為.令，得，則的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.13．【分析】由題意得出，其中，結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)漸近線的傾斜角為，則，即，所以，離心率.故答案為：.14．【分析】分析可知，，整理可得側(cè)面積為，換元，結(jié)合基本不等式分析求解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，且母線與底面所成角為，則，，可得圓錐側(cè)面積為，設(shè)，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以該圓錐側(cè)面積的最小值為.故答案為：.15．(1)證明見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明.（2）先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，進(jìn)而得出；再根據(jù)等差等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式得出；最后作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而可解答.【詳解】（1），，又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.，數(shù)列單調(diào)遞增.又因?yàn)椋缘淖畲笳麛?shù)為7.16．(1)可以認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)有關(guān)(2)分布列見詳解，【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對(duì)比分析；（2）由題意可知：的可能取值為0，1，2，3，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【詳解】（1）由題意可知：抽取50人中體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)小于1小時(shí)的人數(shù)為，據(jù)此可得列聯(lián)表：體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)小于1小時(shí)體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于或等于1小時(shí)合計(jì)近視8412無近視23638合計(jì)104050零假設(shè)：學(xué)生是否近視與體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)無關(guān)，可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷出成立，因此可以認(rèn)為不成立，即認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)有關(guān).（2）由題意可知：的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123的期望.17．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）先證明，，然后利用線面垂直的判定定理證明垂直于平面；（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法即可求出兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）由于是等邊三角形，為的中點(diǎn)．故是等邊的中線，則，又因?yàn)槠矫?，平面?nèi)，可得，且，平面，可得平面，由平面，所以.（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可知是三角形的中位線，故∥.因?yàn)槠矫?，∥，所以平面，即三線兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由，，，，則，可得，，，則，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故．由題意可知：平面的一個(gè)法向量為.可得，所以平面與平面夾角的余弦值為．18．(1)(2)(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合離心率列式求，即可得方程；（2）設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離結(jié)合三角函數(shù)分析可知：取到最大值，即可得面積最大值；（3）設(shè)直線：，，，根據(jù)向量夾角結(jié)合向量運(yùn)算分析可得，進(jìn)而可得，即可得定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意可知：，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知：，則直線的斜率為，且，可知直線：，即，因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，其中，可知當(dāng)時(shí)，取到最大值，所以面積的最大值為.（3）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線：，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，即，可得，同理可得：，且，，可得，則，整理可得，顯然，則，即，可得直線：，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法（1）動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程（斜率存在）為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動(dòng)直線過定點(diǎn)；（2）動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．19．(1)(2)，證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，從而求出的取值范圍；（2）首先判斷的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)說明在上的單調(diào)性，即可求出的值域，結(jié)合（1）可知的值域，即可求出，即可得到，再分別構(gòu)造函數(shù)證明，，即可得證.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?/p>