第2講概率與統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)一古典概型與幾何概型——構(gòu)建模型，合理分類1.古典概型的概率公式P（A）＝eq\f(m,n)＝eq\f(事務(wù)A中所含的基本領(lǐng)件數(shù),試驗(yàn)的基本領(lǐng)件總數(shù)).2.幾何概型的概率公式P（A）＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度（面積或體積）,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）).例1（1）[2022·全國甲卷]從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5)D．eq\f(2,3)（2）[2023·河南省杞縣中學(xué)]在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)差的肯定值大于eq\f(1,2)的概率為（）A．eq\f(3,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,8)歸納總結(jié)1.求古典概型的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)一是會(huì)利用排列、組合與兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理求樣本空間所含的基本領(lǐng)件數(shù)n以及事務(wù)A所含的基本領(lǐng)件數(shù)m；二是會(huì)運(yùn)用古典概型的概率公式P（A）＝eq\f(m,n)求事務(wù)A發(fā)生的概率．2.解幾何概型的步驟（1）“定變量”，依據(jù)事務(wù)發(fā)生的過程確定事務(wù)中的相關(guān)變量，確定變量的取值范圍；（2）“觀圖形”，依據(jù)變量的取值范圍，畫出基本領(lǐng)件所包含的圖形和所求事務(wù)對應(yīng)的圖形；（3）“求度量”，依據(jù)圖形的直觀性，結(jié)合變量的取值范圍，求出相應(yīng)圖形的幾何度量；（4）“求概率”，把所求得的幾何度量代入幾何概型的概率計(jì)算公式，即可求出概率．提示對立事務(wù)是互斥事務(wù)，是互斥中的特別狀況，但互斥事務(wù)不肯定是對立事務(wù)，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．對點(diǎn)訓(xùn)練1.某校老師志愿者團(tuán)隊(duì)開展“愛心輔學(xué)”活動(dòng)，為抗疫前線工作者子女在線輔導(dǎo)功課．今欲隨機(jī)支配甲、乙2位志愿者為1位小學(xué)生輔導(dǎo)功課共4次，每位志愿者至少輔導(dǎo)1次，每次由1位志愿者輔導(dǎo)，則甲恰好輔導(dǎo)2次的概率為（）A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,7)C．eq\f(3,7)D．eq\f(4,7)2.[2021·全國乙卷]在區(qū)間（0，1）與（1，2）中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)的概率為（）A．eq\f(7,9)B．eq\f(23,32)C．eq\f(9,32)D．eq\f(2,9)考點(diǎn)二概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)問題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實(shí)，題型新奇，綜合性增加，難度加深，駕馭此類問題的解題策略，在高考中才能游刃有余．考向一概率與統(tǒng)計(jì)圖表的交匯問題——先識圖，再轉(zhuǎn)化例1[2023·安徽省蕪湖市教化局模擬預(yù)料]當(dāng)顧客在超市排隊(duì)結(jié)賬時(shí)，“傳統(tǒng)排隊(duì)法”中顧客會(huì)選他們認(rèn)為最短的隊(duì)伍結(jié)賬離開，某數(shù)學(xué)愛好小組卻認(rèn)為最好的方法是如圖（1）所示地排成一條長隊(duì)，然后排頭的人依次進(jìn)入空閑的收銀臺(tái)結(jié)賬，從而讓全部的人都能快速離開，該愛好小組稱這種方法為“長隊(duì)法”．為了檢驗(yàn)他們的想法，該愛好小組在相同條件下做了兩種不同排隊(duì)方法的試驗(yàn)．“傳統(tǒng)排隊(duì)法”的顧客等待平均時(shí)間為5分39秒，圖（2）為“長隊(duì)法”顧客等待時(shí)間柱狀圖．（1）依據(jù)柱狀圖估算運(yùn)用“長隊(duì)法”的100名顧客平均等待時(shí)間，并說明選擇哪種排隊(duì)法更適合；（2）為進(jìn)一步分析“長隊(duì)法”的可行性，對運(yùn)用“長隊(duì)法”的顧客進(jìn)行滿足度問卷調(diào)查，發(fā)覺等待時(shí)間為[8，10）的顧客中有5人滿足，等待時(shí)間為[10，12]的顧客中僅有1人滿足，在這6人中隨機(jī)選2人發(fā)放勸慰獎(jiǎng)，求獲得勸慰獎(jiǎng)的都是等待時(shí)間在[8，10）顧客的概率．歸納總結(jié)破解頻率分布直方圖與概率相交匯問題的步驟對點(diǎn)訓(xùn)練1.[2023·黑龍江齊齊哈爾三模]中國神舟十三號載人飛船返回艙于2022年4月16日在東風(fēng)著陸場勝利著陸，這標(biāo)記著此次載人飛行任務(wù)取得圓滿勝利．神舟十三號載人飛行任務(wù)是中國迄今在太空軌道上停留時(shí)間最長的一次任務(wù)，航天員王亞平成為第一位在太空行走的中國女性．三位航天員在為期半年的任務(wù)期間，進(jìn)行了兩次太空行走，完成了20多項(xiàng)不同的科學(xué)試驗(yàn)，并開展了兩次“天宮課堂”，在空間站進(jìn)行太空授課．神州十三號的勝利引起了廣闊中學(xué)生對于航天夢的極大愛好，某校從甲、乙兩個(gè)班級全部學(xué)生中分別隨機(jī)抽取8名，對他們的航天學(xué)問進(jìn)行評分調(diào)查（滿分100分），被抽取的學(xué)生的評分結(jié)果如下莖葉圖所示：（1）分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)班級被抽取的8名學(xué)生得分的平均值和方差，并估計(jì)兩個(gè)班級學(xué)生航天學(xué)問的整體水平差異；（2）若從得分不低于85分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參觀市教化局舉辦的航天攝影展，求這兩名學(xué)生均來自乙班級的概率．考向二概率與統(tǒng)計(jì)案例的交匯問題——精確審題，數(shù)據(jù)分析例2[2023·陜西省、青海省、四川省聯(lián)考]某校組織了600名中學(xué)學(xué)生參與中國共青團(tuán)相關(guān)的學(xué)問競賽，將競賽成果分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成果落在區(qū)間[60，70)內(nèi)的人數(shù)為300.(1)求出頻率分布直方圖中a，b，c的值；(2)估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；(3)現(xiàn)采納分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)落在[80，90)，[90，100]內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行現(xiàn)場學(xué)問答辯，求抽取的這2人中恰有1人的得分在區(qū)間[90，100]內(nèi)的概率．歸納總結(jié)解決概率、統(tǒng)計(jì)與其他學(xué)問的綜合對點(diǎn)訓(xùn)練[2023·河南省濟(jì)洛平許高三質(zhì)量檢測]4月15日是全民國家平安教化日．以人民平安為宗旨也是“總體國家平安觀”的核心價(jià)值．只有人人參與，人人負(fù)責(zé)，國家平安才能真正獲得巨大的人民性基礎(chǔ)，作為學(xué)問群體的青年學(xué)生，是強(qiáng)國富民的中堅(jiān)力氣，他們的國家平安意識取向?qū)移桨灿葹橹匾承Ｉ鐖F(tuán)隨機(jī)抽取了600名學(xué)生，發(fā)放調(diào)查問卷600份(答卷卷面滿分100分).回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份．有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之間．同時(shí)依據(jù)560份有效答卷的分?jǐn)?shù)，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中m的值，并求出這560份有效答卷得分的中位數(shù)和平均數(shù)n(同一組數(shù)據(jù)用該組中點(diǎn)值代替).(2)假如把75分及以上稱為對國家平安學(xué)問高敏感人群，74分及以下稱為低敏感人群，請依據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并推斷能否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與國家平安學(xué)問敏感度有關(guān)．高敏感低敏感總計(jì)男生80女生80總計(jì)560附：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表P(K2≥k0)0.10.050.010.0050.001K22.7063.8416.6357.87910.828公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.GAOKAOWUGEDATI[高考5個(gè)大題]解題研訣竅（四）概率與統(tǒng)計(jì)問題重在“辨”——辨析、辨型、辨圖[思維流程——找突破口][技法指導(dǎo)——遷移搭橋]概率與統(tǒng)計(jì)問題辨析、辨型與辨圖的基本策略（1）精確弄清問題所涉及的事務(wù)有什么特點(diǎn)，事務(wù)之間有什么關(guān)系，如互斥、對立等．（2）理清事務(wù)以什么形式發(fā)生，猶如時(shí)發(fā)生、至少有幾個(gè)發(fā)生等．（3）明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無依次等．（4）分清是古典概型還是幾何概型后再求概率．（5）會(huì)套用求eq\o(b,\s\up6(^))、K2的公式，再作進(jìn)一步求值與分析．（6）理解各圖表所給信息，利用信息找出所要數(shù)據(jù)．[典例]某家庭記錄了未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和運(yùn)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7]頻數(shù)13249265運(yùn)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6]頻數(shù)151310165（1）在下圖中作出訪用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；（2）估計(jì)該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估計(jì)該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)約多少水？（一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）[快審題]第（1）問求什么想什么作頻率分布直方圖，想到頻率分布直方圖的畫法．給什么用什么給出了頻數(shù)分布表，計(jì)算各組的頻率，結(jié)合每組的組距，計(jì)算頻率與組距的比值．第（2）問求什么想什么求概率，想到利用頻率來估計(jì)概率．給什么用什么給出了數(shù)據(jù)，計(jì)算對應(yīng)的頻率，然后利用頻率估計(jì)概率．第（3）問求什么想什么求一年來節(jié)約多少水，想到一天能省多少水．給什么用什么給出50天的日用水量數(shù)據(jù)，可計(jì)算日用水量的平均數(shù)．差什么找什么計(jì)算一年節(jié)約多少水，應(yīng)計(jì)算一天節(jié)約多少水，即求兩種狀況下日平均用水量差．[穩(wěn)解題]（1）頻率分布直方圖如圖所示．（2）依據(jù)頻率分布直方圖知，該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率的估計(jì)值為0.48.（3）該家庭未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,50)×（0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5）＝0.48.該家庭運(yùn)用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,50)×（0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5）＝0.35.估計(jì)運(yùn)用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)約水（0.48－0.35）×365＝47.45（m3）.題后悟道（1）求概率的關(guān)鍵：定型——定性——定數(shù)量（幾何量）——求概率．（2）求解統(tǒng)計(jì)案例問題的關(guān)鍵：作圖（列表格）——計(jì)算——得結(jié)論．第2講概率與統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)一[例1]解析：（1）從6張卡片中任取2張的取法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15種不同取法，其中2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的取法有（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6種，所以所求概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故選C.（2）設(shè)在[0，1]上取的兩數(shù)為x，y，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－y))>eq\f(1,2)，即x－y>eq\f(1,2)，或x－y<－eq\f(1,2).畫出可行域，如圖所示，則x－y>eq\f(1,2)，或x－y<－eq\f(1,2)所表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，易求陰影部分的面積為eq\f(1,4)，故所求概率P＝eq\f(\f(1,4),1)＝eq\f(1,4).故選C.答案：（1）C（2）C對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：由題意得全部不同方案有（甲，乙，乙，乙），（乙，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，乙），（乙，乙，乙，甲），（甲，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，甲），（甲，乙，乙，甲），（乙，甲，甲，乙），（甲，乙，甲，乙），（乙，甲，乙，甲），（乙，甲，甲，甲），（甲，乙，甲，甲），（甲，甲，乙，甲），（甲，甲，甲，乙），一共14個(gè)基本領(lǐng)件，其中（甲，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，甲），（甲，乙，乙，甲），（乙，甲，甲，乙），（甲，乙，甲，乙），（乙，甲，乙，甲）共6個(gè)基本領(lǐng)件符合題意，故所求的概率為eq\f(6,14)＝eq\f(3,7)，故選C.答案：C2．解析：在區(qū)間（0，1）中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為x，在區(qū)間（1，2）中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為y，兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)，即x＋y>eq\f(7,4)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1,1<y<2,x＋y>\f(7,4))).在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的區(qū)域是邊長為1的正方形區(qū)域（不含邊界），事務(wù)A“兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)”即x＋y>eq\f(7,4)中，點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分（不含邊界），由幾何概型的概率計(jì)算公式得P（A）＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32)，故選B.答案：B考點(diǎn)二考向一[例1]解析：（1）eq\f(1×8＋3×12＋5×25＋7×36＋9×15＋11×4,100)＝6（分鐘），因?yàn)檫\(yùn)用“長隊(duì)法”顧客的平均等待時(shí)間長于運(yùn)用“傳統(tǒng)排隊(duì)法”的顧客平均等待時(shí)間，所以選擇“傳統(tǒng)排隊(duì)法”更適合．（2）記事務(wù)A＝“獲得勸慰獎(jiǎng)的都是等待時(shí)間在[8，10）的顧客”，用1，2，3，4，5表示等待時(shí)間在[8，10）的滿足顧客，用a表示等待時(shí)間在[10，12]的滿足顧客，Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，a），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a），（3，4），（3，5），（3，a），（4，5），（4，a），（5，a）}n（Ω）＝15，事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），n（A）＝10，p（A）＝eq\f(n（A）,n（Ω）)＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：（1）eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)（76＋79＋80＋81＋85＋88＋90＋93）＝84，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)（73＋80＋81＋82＋83＋89＋90＋94）＝84.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,8)（64＋25＋16＋9＋1＋16＋36＋81）＝31，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,8)（121＋16＋9＋4＋1＋25＋36＋100）＝39，因?yàn)閮蓚€(gè)班級學(xué)生得分的平均值相同，所以我們估計(jì)兩個(gè)班級航天學(xué)問整體水平相差不大，又由于乙班級學(xué)生得分的方差比甲班大，所以我們估計(jì)甲班級學(xué)生航天學(xué)問水平更加均衡一些，乙班級學(xué)生航天學(xué)問水平差異略大．（2）甲班級得分不低于85分的有4名同學(xué)，記為A，B，C，D.乙班級得分不低于85分的有3名同學(xué)，記為a，b，c，從這7名同學(xué)中選取2人共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（D，a），（D，b），（D，c），（a，b），（a，c），（b，c）21個(gè)基本領(lǐng)件．其中兩名學(xué)生均來自于乙班級的有（a，b），（a，c），（b，c）共3個(gè)基本領(lǐng)件，所以所求事務(wù)的概率P＝eq\f(3,21)＝eq\f(1,7).考向二[例2]解析：（1）由已知可得a＝eq\f(300,600)×eq\f(1,10)＝0.05，則（0.005＋0.05＋b＋c＋0.005）×10＝1，即b＋c＝0.04，又因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝0.05＋c，解得b＝0.03，c＝0.01，（2）可知0.005×10＝0.05<0.5，（0.005＋0.05）×10＝0.55>0.5，設(shè)中位數(shù)為x，則x∈[60，70），由0.005×10＋（x－60）×0.05＝0.5，解得x＝69，即中位數(shù)為69，平均數(shù)為（55×0.005＋65