河北省滁州市衡水中學滁州分校2025屆高一數學第二學期期末經典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數列2008，2009，1，-2008，-2009…這個數列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數列的前2019項之和S2019A．1 B．2010 C．4018 D．40172．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．若復數（是虛數單位）是純虛數，則實數的值為（）A． B． C． D．4．已知，則向量與向量的夾角是（）A． B． C． D．5．在中，分別為角的對邊，若，且,則邊=()A． B． C． D．6．某校統計了1000名學生的數學期末考試成績，已知這1000名學生的成績均在50分到150分之間，其頻率分布直方圖如圖所示，則這1000名學生中成績在130分以上的人數為（）A．10 B．20 C．40 D．607．已知直線yx+2，則其傾斜角為（）A．60° B．120° C．60°或120° D．150°8．已知點，點，點在圓上，則使得為直角三角形的點的個數為（）A． B． C． D．9．函數的定義域是（

）A． B． C． D．10．已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值為2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數列中，為的前項和，若，則____．12．設ω為正實數.若存在a、b(π≤a<b≤2π)，使得13．已知直線l過點P(－2，5)，且斜率為－，則直線l的方程為________．14．若滿足約束條件則的最大值為__________．15．函數的值域是________16．從甲、乙、丙、丁四個學生中任選兩人到一個單位實習，余下的兩人到另一單位實習，則甲、乙兩人不在同一單位實習的概率為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角所對的邊分別為.（1）若為邊的中點，求證:;（2）若，求面積的最大值.18．中，D是邊BC上的點，滿足，，.（1）求；（2）若，求BD的長.19．在公差是整數的等差數列中，，且前項和．（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和．20．已知函數.（1）當時，，求的值；（2）令，若對任意都有恒成立，求的最大值.21．如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

計算數列的前幾項，觀察數列是一個周期為6的數列，計算得到答案.【詳解】從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和計算數列前幾項得：2008，2009，1，-2008，-2009，-1,2008,2009,1，-2008…觀察知：數列是一個周期為6的數列每個周期和為0S故答案為C【點睛】本題考查了數列的前N項和，觀察數列的周期是解題的關鍵.2、A【解析】

先分別求出集合，，由此能求出．【詳解】集合，，1，，或，，，．故選：．【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題．3、C【解析】，且是純虛數，，故選C.4、C【解析】試題分析：根據已知可得：，所以，所以夾角為，故選擇C考點：向量的運算5、B【解析】

由利用正弦定理化簡，再利用余弦定理表示出cosA，整理化簡得a2b2+c2，與，聯立即可求出b的值．【詳解】由sinB＝8cosAsinC，利用正弦定理化簡得：b＝8c?cosA，將cosA代入得：b＝8c?，整理得：a2b2+c2，即a2﹣c2b2，∵a2﹣c2＝3b，∴b2＝3b，解得：b＝1或b＝0（舍去），則b＝1．故選B【點睛】此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理,準確計算是解本題的關鍵，是中檔題6、C【解析】

由頻率分布直方圖求出這1000名學生中成績在130分以上的頻率，由此能求出這1000名學生中成績在130分以上的人數．【詳解】由頻率分布直方圖得這1000名學生中成績在130分以上的頻率為：，則這1000名學生中成績在130分以上的人數為人．故選：．【點睛】本題考查頻數的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7、B【解析】

根據直線方程求出斜率，根據斜率和傾斜角之間的關系即可求出傾斜角．【詳解】由已知得直線的斜率，則傾斜角為120°，故選：B．【點睛】本題考查斜率和傾斜角的關系，是基礎題．8、D【解析】

分、、是直角三種情況討論，求出點的軌跡，將問題轉化為點的軌跡圖形與圓的公共點個數問題，即可得出正確選項.【詳解】①若為直角，則，設點，，，則，即，此時，點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓，圓與圓的圓心距為，，則圓與圓的相交，兩圓的公共點個數為；②若為直角，由于直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，即，圓的圓心到直線的距離為，則直線與圓相交，直線與圓有個公共點；③若為直角，則直線的方程為，圓的圓心到直線的距離為，直線與圓相離，直線與圓沒有公共點.綜上所述，使得為直角三角形的點的個數為.故選：D.【點睛】本題考查符合條件的直角三角形的頂點個數，解題的關鍵在于將問題轉化為直線與圓、圓與圓的公共點個數之和的問題，同時也考查了軌跡方程的求解，考查化歸與轉化思想以及分類討論思想的應用，屬于難題.9、B【解析】

根據函數f（x）的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【詳解】∵函數f（x）=+lg（3x+1），∴；解得﹣＜x＜1，∴函數f（x）的定義域是（﹣，1）．故選B．【點睛】本題考查了求函數定義域的應用問題，解題的關鍵是列出使函數解析式有意義的不等式組，是基礎題目．10、D【解析】

化簡函數為正弦型函數，根據題意，利用正弦函數的圖象與性質求得的取值范圍.【詳解】解：函數則函數在上是含原點的遞增區間；又因為函數在區間上是單調遞增，則，得不等式組又因為，所以解得.又因為函數在區間上恰好取得一次最大值為2，可得，所以，綜上所述，可得.故選：D.【點睛】本題主要考查了正弦函數的圖像和性質應用問題，也考查了三角函數的靈活應用，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由，結合等比數列的定義可知數列是以為首項，為公比的等比數列，代入等比數列的求和公式即可求解．【詳解】因為，所以，又因為所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以由等比數列的求和公式得，解得【點睛】本題考查利用等比數列的定義求通項公式以及等比數列的求和公式，屬于簡單題．12、ω∈[【解析】

由sinωa+sinωb=2?sinωa=sinωb=1.而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπ]【詳解】由sinωa+而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπ]，故已知條件等價于：存在整數ωπ當ω≥4時，區間[ωπ,2ωπ]的長度不小于4π當0<ω<4時，注意到，[ωπ故只要考慮如下幾種情形：（1）ωπ≤π2<（2）ωπ≤5（3）ωπ≤9綜上，并注意到ω≥4也滿足條件，知ω∈[9故答案為：ω∈[【點睛】本題主要考查三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.13、3x＋4y－14＝0【解析】由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.14、【解析】

作出可行域，根據目標函數的幾何意義可知當時，.【詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點的三角形區域，如下圖所示，目標函數的最大值必在頂點處取得，易知當時，.【點睛】線性規劃問題是高考中常考考點，主要以選擇及填空的形式出現，基本題型為給出約束條件求目標函數的最值，主要結合方式有：截距型、斜率型、距離型等.15、【解析】

利用函數的單調性，結合函數的定義域求解即可．【詳解】因為函數的定義域是，，函數是增函數，所以函數的最小值為：，最大值為：．所以函數的值域為：，．故答案為，．【點睛】本題考查函數的單調性以及函數的值域的求法，考查計算能力．16、.【解析】

求得從甲、乙、丙、丁四個學生中任選兩人的總數和甲、乙兩人不在同一單位實習的方法數，由古典概型的概率計算公式可得所求值．【詳解】解：從甲、乙、丙、丁四個學生中任選兩人的方法數為種，甲、乙兩人不在同一單位實習的方法數為種，則甲、乙兩人不在同一單位實習的概率為．故答案為：．【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算公式，考查運算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）1.【解析】

（1）證法一：根據為邊的中點，可以得到向量等式，平方，再結合余弦定理，可以證明出等式；證法二：分別在和中，利用余弦定理求出和的表達式，利用，可以證明出等式；（2）解法一：解法一：記面積為．由題意并結合（1）所證結論得：，利用已知，再結合基本不等式，最后求可求出面積的最大值；解法二：利用余弦定理把表示出來，結合重要不等式，再利用三角形面積公式可得，令設，利用輔助角公式，可以求出的最大值，即可求出面積的最大值.【詳解】（1）證法一：由題意得①由余弦定理得②將②代入①式并化簡得，故；證法二：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，∵，∴，則，故；（2）解法一：記面積為．由題意并結合（1）所證結論得：，又已知，則，即，當時，等號成立，故，即面積的最大值為1．解法二：設則由，故.【點睛】本題考查了余弦定理、三角形面積公式的應用，考查了重要不等式及基本不等式，考查了數學運算能力.18、（1）（2）【解析】

（1）由中，D是邊BC上的點，根據面積關系求得，再結合正弦定理，即可求解.（2）由，化簡得到，再結合，解得，進而利用勾股定理求得的長.【詳解】（1）由題意，在中，D是邊BC上的點，可得，所以又由正弦定理，可得.（2）由，可得，所以，即，由（1）知，解得，又由，所以.【點睛】本題主要考查了三角形的正弦定理和三角形的面積公式的應用，其中解答中熟記解三角形的正弦定理，以及熟練應用三角的面積關系，列出方程求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）設等差數列的公差為，由題意知，的最小值為，可得出，可得出的取值范圍，結合，可求出的值，再利用等差數列的通項公式可求出；（2）將數列的通項公式表示為分段形式，即，于是得出可得出的表達式.【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，由題意知，的最小值為，則，，所以，解得，，，因此，；（2）.當時，，則，；當時，，則，.綜上所述：.【點睛】本題考查等差數列通項公式以及絕對值分段求和，解題的關鍵在于將的最小值轉化為與項相關的不等式組進行求解，考查化歸與轉化數學思想，屬于中等題.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據得，得或，結合取值范圍求解；（2）結合換元法處理二次不等式恒成立求參數的取值范圍.【詳解】（1），即，即有，所以或，即或由于，，所以；（2），令，對任意都有恒成立，即對恒成立，只需，解得：，所以的最大值為.【點睛】此題考查根據三角函數值相等求自變量取值的關系，利用換元法轉化為二次函數處理不等式問題，根據不等式恒成立求參數的取值范圍，涉及根的分布的問題.21、（1）24；（2）8【解析】

（1）利用已知條件，利用正弦定理求得AD的長．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．【詳解】(1)在