練習一（第一章）一、1．B2.A3.C4.D二.1.2.41/903.25/424.5.0.40.66.三、已知：P(A)=0.45，P(B)=0.35，P(C)=0.3，P(AB)=0.1，P(AC)=0.08，P(BC)=0.05，P(ABC)=0.03(1)(2)(3)得(4)(5)P(A∪B∪C)=0.73+0.14+0.03=0.9(6)四、令x、y為所取兩數，則={(x,y)|0<x<1,0<y<1}；令事件A：“兩數之積不大于2/9，之和不大于1”，則A={(x,y)|xy≤2/9,x+y≤1,0<x<1,0<y<1}S=SOAED=1×1=1；得練習二（第一章）一、1．B2.B3.D4.C二、：“全廠的產品”；A、B、C分別為：“甲、乙、丙各車間的產品”，S：“次品”，則(1)由全概率公式，得P(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P(S|C)=25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45%(2)由貝葉斯公式，得三、設=從第一批產品中任取一件時，取到廢品先從第一批產品中任取一件放入第二批中，再從第二批產品中任取一件，此時取得廢品由全概率公式知=四、有：五、又P(A∪B)≤1，則練習三（第一章）一、1．B2.A3.C4.D5.B二、A1、A2、A3分別“甲、乙、丙擊中飛機”，則A1、A2、A3相互獨立Bi：“有i個人擊中飛機”（i=1,2,3），有：；B：“飛機被擊落”由已知：P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.7B3=A1A2A3P(B3)=0.14又P(B|B1)=0.2，P(B|B2)=0.6，P(B|B3)=1由全概率公式，得：三、Ai：“C發生時第i只開關閉合”，由已知有：P(Ai)=0.96(1)P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)P(A1A2)=0.96+0.960.96×0.96=0.9984(2)設需k只開關滿足所需可靠性，在情況C發生時，k只開關中至少有一只閉合的概率為：四、(1)(2)A：“5個樣品中至少有2個一級品”，有：練習四（第二章）一、1.D2.D3.A4.B二、(1)任擲兩骰子所得點數和i有212共11種可能令i表示和數為i的樣本點(i=2,3,…,12),則基本事件集={2,3,…,12}(2)由已知,得：i，有(i)=2i(i=2,3,…,12）,則的可能值為2i(i=2,3,…,12）(3){<4}=；{≤5.5}={=4}={2}；{6≤≤9}={=6}∪{=8}={3}∪{4}；{>20}={=22}∪{=24}={11}∪{12}(4)P{<4}=0；P{≤5.5}=P{2}=1/36；P{6≤≤9}=P{3}+P{4}=2/36+3/36=5/36；P{>20}=P{11}+P{12}=2/36+1/36=3/36=1/12三、(1)的所有可能值為0，1，2P{=0}=；P{=1}=；P{=2}=012P22/3512/351/35故的分布律為：(2)F(x)=P{≤x}當x<0時，{≤x}為不可能事件，得F(x)=P{≤x}=0當0≤x<1時，{≤x}={=0}，得F(x)=P{≤x}=P{=0}=22/35當1≤x<2時，{≤x}={=0}∪{=1}，又{=0}與{=1}是兩互斥事件，得F(x)=P{≤x}=P{=0}+P{=1}=22/35+12/35=34/35當x≥2時，{≤x}為必然事件，得F(x)=P{≤x}=1綜合即得四、（1）由分布函數的性質得（2）對分段求導得的概率密度為（3）=.五、(1)(2)(3)當x<－1時，當－1≤x≤1時，當x>1時,綜合即得六、(1)P{2<≤5}=Φ()Φ()=Φ(1)Φ(0.5)=Φ(1)[1Φ(0.5)]=0.5328P{4<<10}=Φ()Φ()=Φ(3.5)Φ(3.5)=2Φ(3.5)1=0.9996P{||>2}=1P{2≤≤2}=1Φ()+Φ()=1Φ(0.5)+Φ(2.5)=0.6977P{>3}=1P{≤3}=1Φ()=1Φ(0)=10.5=0.5(2)P{>C}=1P{≤C}=P{≤C}P{≤C}=0.5Φ()=0.5=0C=3練習五（第三章）一、1．A2.B3.C4.B5.B二、(1)y=ex在(0,1)嚴格單調增且可導，則x=lny在(1,e)上有：(lny)=∴(2)y=2lnx在(0,1)嚴格單調減且可導，則在(0,+)上有：∴三、的概率密度為易知的取值區間為[0，1]；以下分三段求的分布函數（1）當＜0時，；（2）當＜1，如圖所示，===；（3）當時，對分段求導得的概率密度為YX01231303/83/801/8001/8四、五、(1)(2)(3)P(0<X≤1,0<Y≤2)=F(1,2)F(1,0)F(0,2)+F(0,0)=(1e3)(1e8)練習六（第三章）1．(1)(2)(3)，同理YX2101/21/2131/81/61/241/61/161/121/481/121/161/121/481/12有f(x,y)=fX(x)fY(y)，故X與Y獨立2．X與Y獨立，則P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}有：3．(1)(2)(3)則有；同理得：，X+Y323/211/21/2123P1/121/122/123/121/1202/1202/124．5．設第i周需要量為Xi（i=1,2）(i=1,2)令X=X1+X2，則6．(1)z≤0FZ(z)=0；(2)故練習七（第四章）一、1.D2.B3.B4.D5.C6.(1)A(2)B二．1.8，2.4，2.4，18.4，3.1三、，四、E(X)=E()=D(X)=E(X2)E2(X)=五、E(X)=D(X)=六、令搜索時間為T，則T的分布函數為，得：，則有E(T)=七、練習八（第四章）一、1.C2.A3.D4.D5.C二、(1)(2)同理可得：(3)三、(1)設Xi為第i個加數取整后的誤差，則Xi~U[0.5,0.5](i=1,...,1500)總誤差，且由獨立同分布的中心極限定理：P{|X|>15}=1P{|X|≤15}(2)在(1)的假設下，設，有E(X)=0，則求最小自然數n，使P{|X|≤10}≥0.90，即n≤440.77n=440為所求四、E(X)=E(Y)=,D(X)=D(Y)=2E(Z1)=E(X)+E(Y)=(+),E(Z2)=E(X)E(Y)=()E(Z1Z2)=E(2X22Y2)=2E(X2)2E(Y2)=2[D(X)+E2(X)]2[D(Y)+E2(Y)]=2(2+2)2(2+2)=(2+2)(22)D(Z1)=2D(X)+2D(Y)=2(2+2),D(Z2)=2D(X)+2D(Y)=2(2+2)五、服從二項分布,階段自測一一、1.D2.A3.B4.A5.C二、1.0,3/4,5/8,1/82.1/2,1/[(1+x2)]3.20,164.15.三、(1)，則得：A=1/2,B=1/(2)(3)四、的聯合概率密度為==五、當時，當時，==六、當時，；當時，==于是，的概率密度函數為七、的分布律為3450.10.30.63+4+5=4.5八、同理：f(x,y)fX(x)fY(y)，則X和Y不獨立，同理：E(Y)=0,則X和Y不相關九、設Ai：第i次誤差的絕對值不超過30米,~N(20,402)所求為：十、＝18％練習九一、1.C2.A3.C4.C5.A二、(1)∵∴(2)p(1p)在p=1/2處取得最大值1/4,要使，只需1/4n≤0.01，即n≥25三、X1,X2,X3,X4~N(,2)，且相互獨立X1X2~N(0,22),X3X4~N(0,22)，且X1X2與X3X4相互獨立則a=F0.05(1,1)=161.4四、由題意知：(i=1,2,3)又(i=1,2,3)是相互獨立的，得Y~2(3)，即自由度為3五、X1,X2,...,X16相互獨立，且=0.950.01=0.94六、X1,X2,...,Xn相互獨立，且E(Xi)=D(Xi)=E(Xi2)=D(Xi)+E2(Xi)=+2,練習十一、1.A2.D3.A4.B5.C二、矩估計量:令三、似然函數L(x1,x2,...,xn,)=lnL=nln(2)=nln(2)令由大數定律,有:E|Xi|=E|X|====,即為的一致估計量四、極大似然函數，令=0得故,于是此估計為無偏估計。五、，當時,,是的無偏估計。,當時,最小,故最有效.練習十一一、n=16,1=0.95=0.05,2未知=t0.025(15)=2.1315=2.69=2.72∴的置信度為0.95的置信區間為(2.69,2.72)二、n=9,1=0.95=0.05=17.535,=2.180=55.20,=444.04∴2的置信度為0.95的置信區間為(55.20,444.04)三、1,2分別為一號方案和二號方案的平均產量n1=n2=8,=0.05,=81.63,=145.70,=75.88,=101.98=t0.025(14)=2.14,=11.13=6.16=17.66∴12的置信度為0.95的置信區間為(6.16,17.66)四、n1=n2=10,=0.05,=F0.05(9,9)=4.03=0.222=3.601∴的置信度為0.95的置信區間為(0.222,3.601)五、∵~t(n1+n22)∴P{<t(n1+n22)}=1∴P{t(n1+n22)<12}=1∴12的置信度為1的置信下限為t(n1+n22)=0.14125,s12=0.0000083,=0.1392,s22=0.0000052,=0.0025495t(n1+n22)=0.141250.13920.0025495t0.05(7)=0.00119010.0012∴12的置信度為0.95的置信下限為0.0012六、∵~t(n1),且P{}=1∴P{}=1∴的置信度為1的置信區間為(,)此時練習十二一、1、C2、A3、A4、A二、由已知得取統計量~N（0，1）則拒絕域為于是接受H0，即可以認為這批產品的指標X的期望值為1600。三、由已知得取統計量~t(23)則拒絕域為于是拒絕H0，即不可以認為發熱量的期望值為12100。四、由已知得取統計量則拒絕域為則拒絕H0，即不可以認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差為0.1082。五、取統計量則拒絕域為則接受H0，即可以認為測定值總體的方差為0.00042。練習十三一、由已知得取統計量則拒絕域為則接受H0，即不可以兩煤礦的含灰率的均值無顯著差異。二、由已知得取統計量則拒絕域為則接受H0，即認為兩窯磚抗折強度的方差無顯著差異。三、依題意先對方差作假設檢驗由已知得取統計量則拒絕域為則接受H0，即認為采用新工藝后方差無顯著差異。再作均值的假設檢驗由已知得取統計量則拒絕域為則拒絕H0，即認為采用新工藝后燈泡的平均壽命顯著提高。四、設X為骰子投擲一次出現的點數，P{X=k}=PK，K=1，2，3，4，5，6按題意需在顯著水平0.05下檢驗假設H0：Pi=1/6（i=1~6）根據上面結果列表如下：點數ninPini-nPi（ni-nPi）2/nPi1232030.452262061.83212010.05421200052020-51.2561520-51.25總和4.8因故認為這顆骰子是均勻對稱的。階段