河北省保定市淶水縣波峰中學2025屆數學高一下期末學業質量監測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數中，最小值為2的函數是（）A． B．C． D．2．在中，為的三等分點，則()A． B． C． D．3．已知點，點，點在圓上，則使得為直角三角形的點的個數為（）A． B． C． D．4．在等差數列中，若，則（）A． B． C． D．5．關于的方程在內有相異兩實根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．6．圓心坐標為，半徑長為2的圓的標準方程是（）A． B．C． D．7．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．函數的定義域為R，數列是公差為的等差數列，若，，則（）A．恒為負數 B．恒為正數C．當時，恒為正數；當時，恒為負數 D．當時，恒為負數；當時，恒為正數9．如圖，是的直觀圖，其中軸，軸，那么是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形10．已知O，N，P在所在平面內，且，，且，則點O，N，P依次是的（）A．重心外心垂心 B．重心外心內心C．外心重心垂心 D．外心重心內心二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．把數列的所有數按照從大到小的原則寫成如下數表：第行有個數，第行的第個數（從左數起）記為，則________.12．已知數列，，且，則________．13．在平面直角坐標系中，圓的方程為．若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數的取值范圍是______．14．記Sn為等比數列{an}的前n項和．若，則S5=____________．15．設等比數列的前項和為，若，,則的值為______．16．已知數列中，，，，則的值為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．單調遞增的等差數列滿足，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.18．已知等差數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求的值.19．已知函數是指數函數．(1)求的表達式；(2)判斷的奇偶性，并加以證明(3)解不等式：．20．已知等差數列的前n項和為，關于x的不等式的解集為.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前n項和.21．某地合作農場的果園進入盛果期，果農利用互聯網電商渠道銷售蘋果，蘋果單果直徑不同則單價不同，為了更好的銷售，現從該合作農場果園的蘋果樹上隨機摘下了50個蘋果測量其直徑，經統計，其單果直徑分布在區間內（單位：)，統計的莖葉圖如圖所示：（Ⅰ)按分層抽樣的方法從單果直徑落在，的蘋果中隨機抽取6個，則從，的蘋果中各抽取幾個？（Ⅱ)從（Ⅰ)中選出的6個蘋果中隨機抽取2個，求這兩個蘋果單果直徑均在內的概率；（Ⅲ)以此莖葉圖中單果直徑出現的頻率代表概率，若該合作農場的果園有20萬個蘋果約5萬千克待出售，某電商提出兩種收購方案：方案：所有蘋果均以5.5元/千克收購；方案：按蘋果單果直徑大小分3類裝箱收購，每箱裝25個蘋果，定價收購方式為：單果直徑在內按35元/箱收購，在內按45元/箱收購，在內按55元/箱收購.包裝箱與分揀裝箱費用為5元/箱（該費用由合作農場承擔).請你通過計算為該合作農場推薦收益最好的方案.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用基本不等式及函數的單調性即可判斷.【詳解】解：對于．時，，故錯誤．對于．，可得，，當且僅當，即時取等號，故最小值不可能為1，故錯誤．對于，可得，，當且僅當時取等號，最小值為1．對于.，函數在上單調遞增，在上單調遞減，，故不對；故選：．【點睛】本題考查基本不等式，難點在于應用基本不等式時對“一正二定三等”條件的理解與靈活應用，屬于中檔題．2、B【解析】試題分析：因為，所以，以點為坐標原點，分別為軸建立直角坐標系，設，又為的三等分點所以，，所以，故選B.考點：平面向量的數量積.【一題多解】若，則，即有，為邊的三等分點，則,故選B．3、D【解析】

分、、是直角三種情況討論，求出點的軌跡，將問題轉化為點的軌跡圖形與圓的公共點個數問題，即可得出正確選項.【詳解】①若為直角，則，設點，，，則，即，此時，點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓，圓與圓的圓心距為，，則圓與圓的相交，兩圓的公共點個數為；②若為直角，由于直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，即，圓的圓心到直線的距離為，則直線與圓相交，直線與圓有個公共點；③若為直角，則直線的方程為，圓的圓心到直線的距離為，直線與圓相離，直線與圓沒有公共點.綜上所述，使得為直角三角形的點的個數為.故選：D.【點睛】本題考查符合條件的直角三角形的頂點個數，解題的關鍵在于將問題轉化為直線與圓、圓與圓的公共點個數之和的問題，同時也考查了軌跡方程的求解，考查化歸與轉化思想以及分類討論思想的應用，屬于難題.4、B【解析】

由等差數列的性質可得，則答案易求.【詳解】在等差數列中，因為，所以.所以.故選B.【點睛】本題考查等差數列性質的應用.在等差數列中，若，則.特別地，若，則.5、C【解析】

將問題轉化為與有兩個不同的交點；根據可得，對照的圖象可構造出不等式求得結果.【詳解】方程有兩個相異實根等價于與有兩個不同的交點當時，由圖象可知：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數的圖象應用，主要是根據方程根的個數確定參數范圍，關鍵是能夠將問題轉化為交點個數問題，利用數形結合來進行求解.6、C【解析】

根據圓的標準方程的形式寫.【詳解】圓心為，半徑為2的圓的標準方程是.故選C.【點睛】本題考查了圓的標準方程，故選C.7、A【解析】

對分類討論，利用兩條直線相互垂直的充要條件即可得出.【詳解】由題意，當時，兩條直線分別化為：，，此時兩條直線相互垂直；當時，兩條直線分別化為：，，此時兩條直線不垂直，舍去；當且時，由兩條直線相互垂直，則，即，解得或；綜上可得：或，兩條直線相互垂直，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、兩條直線相互垂直的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.8、A【解析】

由函數的解析式可得函數是奇函數，且為單調遞增函數，分和兩種情況討論，分別利用函數的奇偶性和單調性，即可求解，得到結論．【詳解】由題意，因為函數，根據冪函數和反正切函數的性質，可得函數在為單調遞增函數，且滿足，所以函數為奇函數，因為數列是公差為的等差數列，且，則①當時，由，可得，所以，所以，同理可得：，所以，②當時，由，則，所以綜上可得，實數恒為負數．故選：A．【點睛】本題主要考查了函數的單調性與奇偶性的應用，以及等差數列的性質的應用，其中解答中合理利用等差數列的性質和函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．9、D【解析】

利用斜二測畫法中平行于坐標軸的直線，平行關系不變這個原則得出的形狀．【詳解】在斜二測畫法中，平行于坐標軸的直線，平行關系不變，則在原圖形中，軸，軸，所以，，因此，是直角三角形，故選D．【點睛】本題考查斜二測直觀圖還原，解題時要注意直觀圖的還原原則，并注意各線段長度的變化，考查分析能力，屬于基礎題．10、C【解析】

根據向量關系，，所在直線經過中點，由得，即可得解.【詳解】由題：，所以O是外接圓的圓心，取中點，，，即所在直線經過中點，與中線共線，同理可得分別與邊的中線共線，即N是三角形三條中線交點，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.故選：C【點睛】此題考查利用向量關系判別三角形的外心，重心和垂心，關鍵在于準確進行向量的運算，根據運算結果得結論.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

第行有個數知每行數的個數成等比數列，要求，先要求出，就必須求出前行一共出現了多少個數，根據等比數列的求和公式可求，而由可知，每一行數的分母成等差數列，可求出，令，即可求出.【詳解】由第行有個數，可知每一行數的個數成等比數列，首項是，公比是，所以，前行共有個數，所以，第行第一個數為，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查數列的性質和應用，解題時要注意數陣的應用，同時要找出數陣的規律，考查推理能力，屬于中等題.12、【解析】

由題意可得{}是以+1為首項，以2為公比的等比數列，再由已知求得首項，進一步求得即可．【詳解】在數列中，滿足得，則數列是以+1為首項，以公比為2的等比數列，得，由，則，得．由，得，故．故答案為：【點睛】本題考查了數列的遞推式，利用構造等比數列方法求數列的通項公式，屬于中檔題．13、【解析】試題分析：記兩個切點為，則由于，因此四邊形是正方形，，圓標準方程為，，，于是圓心直線的距離不大于，，解得.考點：直線和圓的位置關系.14、.【解析】

本題根據已知條件，列出關于等比數列公比的方程，應用等比數列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．【詳解】設等比數列的公比為，由已知，所以又，所以所以．【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現運算錯誤．15、16【解析】

利用及可計算，從而可計算的值.【詳解】因為，故，因為，故，故，故填16.【點睛】等差數列或等比數列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數學問題轉化為關于基本量的方程或方程組，再運用基本量解決與數列相關的問題；（2）利用數列的性質求解即通過觀察下標的特征和數列和式的特征選擇合適的數列性質處理數學問題．16、1275【解析】

根據遞推關系式可求得，從而利用并項求和的方法將所求的和轉化為，利用等差數列求和公式求得結果.【詳解】由得：則，即本題正確結果：【點睛】本題考查并項求和法、等差數列求和公式的應用，關鍵是能夠利用遞推關系式得到數列相鄰兩項之間的關系，從而采用并項的方式來進行求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）設等差數列的公差為，，運用等差數列的通項公式和等比數列中項性質，解方程可得公差，進而得到所求通項公式；（2）求得，再用裂項相消法即可得出結論．【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，，可得，，由，，成等比數列，，解得或舍去），則；（2），∴．【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式和等比數列中項性質，考查數列的裂項相消法求和，考查運算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）4.【解析】

（1）運用等差數列的性質求得公差d，再由及d求得通項公式即可．（2）利用前n項和公式直接求解即可.【詳解】（1）設數列的公差為，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.【點睛】本題考查等差數列的通項公式及項數的求法，考查了前n項和公式的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．19、（1）（2）見證明；（3）【解析】

(1)根據指數函數定義得到，檢驗得到答案.(2)，判斷關系得到答案.(3)利用函數的單調性得到答案.【詳解】解：（1）∵函數是指數函數，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函數；（3）不等式：，以2為底單調遞增，即，∴，解集為．【點睛】本題考查了函數的定義，函數的奇偶性，解不等式，意在考查學生的計算能力.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據不等式的解集，得到和，從而得到等差數列的公差，得到的通項公式；（2）由（1）得到的的通項，得到的通項，利用等比數列的求和公式，得到答案.【詳解】（1）因為關于x的不等式的解集為，所以得到，，所以，，為等差數列，設其公差為，所以，所以，所以（2）因為，所以所以是以為首項，為公比的等比數列，所以.【點睛】本題考查一元二次不等式解集與系數的關系，求等差數列的通項，等比數列求和，屬于簡單題.21、（Ⅰ)4個；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解析】

（Ⅰ）單果直徑落在，，，的蘋果個數分別為6，12，分層抽樣的方法從單果直徑落在，，，的蘋果中隨機抽取6個，單果直徑落在，，，的蘋果分別抽取2個和4個；（Ⅱ）從這6個蘋果中隨機抽取2個，基本事件總數，這兩個蘋果單果直徑均在，內包含的基本事件個數，由此能求出這兩個蘋果單果直徑均在，內的概率；（Ⅲ）分別求出按方案與方案該合作農場收益，比較大小得結論．【詳解】（Ⅰ)由莖葉圖可知，單果直徑落在，的蘋果分別為6個，12個，依題意知抽樣比為，所以單果直徑落在的蘋果抽取個數