9.2用樣本估計總體

9.2.4總體離散程度的估計

第九章

統計

導問題導入

平均數、中位數和眾數為我們提供了一組數據的集中趨勢的信息，這是概括一組數據的特征的有效方法.但僅知道集中趨勢的信息，很多時候還不能使我們做出有效決策.這節課學習數據的另一大重要特征:離散程度離散程度簡單理解就是數據聚在一塊還是分散開聚在一塊分散開導問題導入問題1:有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中環數如下：甲：78795491074乙：9578768677如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況做出評價？445777899105667777889從數據看，甲、乙射擊成績的平均數、眾數、中位數均為7.無差異從統計圖看，甲的成績比較分散，波動較大；乙的成績比較集中，比較穩定.有差異思新知探究甲：78795491074乙：9578768677

445777899105667777889一種簡單的度量數據離散程度的方法就是用極差.甲命中環數的極差=10-4=6，乙命中環數的極差=9-5=4可以發現甲的成績波動范圍比乙的大.思考1：如何度量成績的這種差異呢?

極差只使用了數據中最大、最小兩個值的信息，所含的信息量很少，極差度量出的差異誤差較大.思新知探究思考2：你還能想出其他刻畫數據離散程度的辦法嗎?我們知道，如果射擊的成績很穩定，那么大多數的射擊成績離平均成績不會太遠；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數的射擊成績離平均成績會比較遠.因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度.思新知探究思考3：如何定義“平均距離”?

平均距離：含有絕對值,運算不太方便，改用平方代替思新知探究方差、標準差的定義則這組數據的方差為①為了計算方便，還可把方差寫成由于方差的單位是原始數據的單位的平方，與原始數據不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開平方.注：s≥0；s=0時表示這組數據的每個數據都是相等的.設一組數據是x1,x2,…,xn，②這組數據的標準差為思新知探究計算:兩位射擊運動員的方差甲：78795491074乙：9578768677①計算平均值②計算每個數據與平均值的差的平方③將所有平方相加④將上述平方和除以數據個數（樣本容量）思新知探究思考4：標準差和方差是怎樣刻畫數據的離散程度的？特征：標準差和方差刻畫了數據的______程度或波動幅度．標準差（或方差）越大，數據的離散程度越____，越不穩定；

標準差（或方差）越小，數據的離散程度越____，越穩定．在刻畫數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的.但在解決實際問題中，一般多采用

.離散大小標準差思新知探究問題2:有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中環數如下：甲：78795491074乙：9578768677如果這是一次選拔性考核，你應當如何作出選擇？

甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小.

由此可以估計，乙比甲的射擊成績穩定.計算可得：s甲=2，s乙≈1.095

如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置.如果兩人都排在前面，就選成績穩定的乙選手，否則可以選甲.s甲>s乙思新知探究樣本和總體的方差、標準差

思新知探究樣本和總體的方差、標準差

如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為

在實際問題中，總體平均數和總體標準差都是未知的.就像用樣本平均數估計總體平均數一樣，通常我們也用樣本標準差去估計總體標準差.在隨機抽樣中，樣本標準差依賴于樣本的選取，具有隨機性.思練習鞏固1.甲、乙、丙三名學生在一項集訓中的40次測試分數都在[50，100]內，將他們的測試分數分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，記甲、乙、丙的分數標準差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關系為（

）A.s1＞s2＞s3B.s1＞s3＞s2C.s3＞s1＞s2D.s3＞s2＞s1思練習鞏固2.樣本中共有五個個體，其值分別為0，1，2，3，m.若該樣本的平均值為1，則其方差為（

）D.2

思練習鞏固4.（多選）高一某班的同學在學習了“統計”后，進行了交流討論.甲同學說：“平均數是刻畫一組數據集中趨勢最主要的指標.”乙同學說：“眾數刻畫了總體中個體的穩定或波動程度.”丙同學說“方差越小，表明個體越整齊，波動越小.”丁同學說：“兩組樣本數據對比分析時，極差較大的一組數據其方差也較大.”其中說法正確的是（

）A.甲B.乙C.丙D.丁思典例解析例1甲、乙兩人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示：（1）分別求出兩人得分的平均數與方差；（2）根據圖形和（1）中計算結果，對兩人的訓練成績作出評價.思典例解析

思例2(1)若樣本數據x1，x2，…，x10的平均數為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的平均數為()A．8 B．15C．16 D．32B(2)若樣本數據x1，x2，…，x10的方差為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為()A．8 B．15C．16 D．32C(3)若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標準差為()A．8 B．15C．16 D．32D典例解析思歸納小結數據平均數標準差方差x1，…，xnax1+b，…，axn+b

平均數、方差的性質思新知探究分層抽樣的方差（以分兩層的樣本為例）把第一層樣本記為:x1，x2，…，xm，平均數記為x，方差記為sx2;把第二層樣本記為:y1，y2，…，yn，平均數記為y，方差記為sy2;把總樣本數據的平均數記為z，方差記為s2

.則思典例解析例3甲、乙兩支田徑隊的體檢結果為：甲隊體重的平均數為60kg，方差200，乙隊體重