江蘇省揚州市邗江中學新疆班2025屆數學高一下期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則此幾何體的表面積為（）A． B． C． D．2．以下說法正確的是（）A．零向量與單位向量的模相等B．模相等的向量是相等向量C．已知均為單位向量，若，則與的夾角為D．向量與向量是共線向量，則四點在一條直線上3．已知，，，，則（）A． B． C．或 D．或4．已知，且為第二象限角，則（）A． B． C． D．5．若，則的大小關系為A． B． C． D．6．如圖，三棱柱中，側棱底面ABC，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．將正整數排列如下：123456789101112131415……則圖中數出現在()A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列8．已知等差數列an的前n項和為Sn，若a8=12，S8A．-2 B．2 C．-1 D．19．從1，2，3，…，9這個9個數中任取5個不同的數，則這5個數的中位數是5的概率等于（）A．57 B．59 C．210．在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數和方差分別為()A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在正方體中，是的中點，連接、，則異面直線、所成角的正弦值為_______.12．中,三邊所對的角分別為,若,則角______.13．已知，則__________.14．已知角滿足，則_____15．實數x、y滿足，則的最大值為________.16．已知數列，若對任意正整數都有，則正整數______；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若，討論關于x的方程在上的解的個數.18．如圖．在四棱錐中，，，平面ABCD，且．，，M、N分別為棱PC，PB的中點.（1）證明：A，D，M，N四點共面，且平面ADMN；（2）求直線BD與平面ADMN所成角的正弦值．19．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若點分別在上，且平面，試確定點的位置20．某科技創新公司在第一年年初購買了一臺價值昂貴的設備，該設備的第1年的維護費支出為20萬元，從第2年到第6年，每年的維修費增加4萬元，從第7年開始，每年維修費為上一年的125%．（1）求第n年該設備的維修費的表達式；（2）設，若萬元，則該設備繼續使用，否則須在第n年對設備更新，求在第幾年必須對該設備進行更新？21．已知函數的定義域為A，的定義域為B．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求實數的值及實數的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

作出多面體的直觀圖，將各面的面積相加可得出該多面積的表面積.【詳解】由三視圖得知該幾何體的直觀圖如下圖所示：由直觀圖可知，底面是邊長為的正方形，其面積為；側面是等腰三角形，且底邊長，底邊上的高為，其面積為，且；側面是直角三角形，且為直角，，，其面積為，，的面積為；側面積為等腰三角形，底邊長，，底邊上的高為，其面積為.因此，該幾何體的表面積為，故選：B.【點睛】本題考查幾何體的三視圖以及幾何體表面積的計算，再利用三視圖求幾何體的表面積時，要將幾何體的直觀圖還原，并判斷出各個面的形狀，結合圖中數據進行計算，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題.2、C【解析】

根據零向量、單位向量、相等向量，向量的模、向量共線、向量數量積的運算的知識分析選項，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，零向量的模是，單位向量的模是，兩者不相等，故A選項說法錯誤.對于B選項，兩個向量大小和方向都相等才是相等向量，故B選項說法錯誤.對于C選項，由，故C選項說法正確.對于D選項，向量與向量是共線向量，但是這兩個向量沒有公共點，所以無法判斷是否在一條直線上.故D選項說法錯誤.故選：C【點睛】本小題主要考查向量的有關概念，考查向量數量積的運算，屬于基礎題.3、B【解析】

先根據角的范圍及平方關系求出和，然后可算出，進而可求出【詳解】因為，，，所以，，所以，所以因為，所以故選：B【點睛】在由三角函數的值求角時，應根據角的范圍選擇合適的三角函數，以免產生多的解.4、D【解析】

首先根據題意得到，，再計算即可.【詳解】因為，且為第二象限角，，..故選：D【點睛】本題主要考查正切二倍角的計算，同時考查了三角函數的誘導公式和同角三角函數的關系，屬于簡單題.5、A【解析】

利用作差比較法判斷得解.【詳解】①，∵，∴，故.②∵，∴，所以a＞ab.綜上，故選A.【點睛】本題主要考查作差比較法比較實數的大小，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、A【解析】

以為坐標原點,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系,由已知求與的坐標,由兩向量所成角的余弦值求解異面直線與所成角的余弦值．【詳解】如圖,以為坐標原點,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系,由已知得：,,所以,.設異面直線與所成角,則故異面直線與所成角的余弦值為.故選：A【點睛】本題主要考查了利用空間向量求解線線角的問題,屬于基礎題.7、B【解析】

計算每行首個數字的通項公式，再判斷出現在第幾列，得到答案.【詳解】每行的首個數字為：1,2,4,7,11…利用累加法：計算知：數出現在第行列故答案選B【點睛】本題考查了數列的應用，計算首數字的通項公式是解題的關鍵.8、B【解析】

直角利用待定系數法可得答案.【詳解】因為S8=8a1+a82【點睛】本題主要考查等差數列的基本量的相關計算，難度不大.9、C【解析】試題分析：設事件為“從1，2，3，…，9這9個數中5個數的中位數是5”，則基本事件總數為種，事件所包含的基本事件的總數為：，所以由古典概型的計算公式知，，故應選.考點：1.古典概型；10、B【解析】

由平均數與方差的計算公式，計算90，90，93，94，93五個數的平均數和方差即可.【詳解】90，89，90，95，93，94，93，去掉一個最高分和一個最低分后是90，90，93，94，93，所以其平均數為，因此方差為.故選B【點睛】本題主要考查平均數與方差的計算，熟記公式即可，屬于基礎題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

作出圖形，設正方體的棱長為，取的中點，連接、，推導出，并證明出，可得出異面直線、所成的角為，并計算出、，可得出，進而得解.【詳解】如下圖所示，設正方體的棱長為，取的中點，連接、，為的中點，則，，且，為的中點，，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線、所成的角為，在中，，，.因此，異面直線、所成角的正弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查異面直線所成角的正弦值的計算，考查計算能力，屬于中等題.12、【解析】

利用余弦定理化簡已知條件，求得的值，進而求得的大小.【詳解】由得，由于，所以.【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函數值，屬于基礎題.13、【解析】

對已知等式的左右兩邊同時平方，利用同角的三角函數關系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【詳解】因為，所以，即，所以.【點睛】本題考查了同角的三角函數關系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了數學運算能力.14、【解析】

利用誘導公式以及兩角和與差的三角公式，化簡求解即可．【詳解】解：角滿足，可得

則．

故答案為：．【點睛】本題考查兩角和與差的三角公式，誘導公式的應用，考查計算能力，是基礎題．15、【解析】

根據約束條件，畫出可行域，將目標函數化為斜截式，找到其在軸截距的最大值，得到答案.【詳解】由約束條件，畫出可行域，如圖所示，化目標函數為，由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最大，聯立，解得，即，所以.故答案為：.【點睛】本題考查線性規劃求最大值，屬于簡單題.16、9【解析】

分析數列的單調性，以及數列各項的取值正負，得到數列中的最大項，由此即可求解出的值.【詳解】因為，所以時，，時，，又因為在上遞增，在也是遞增的，所以，又因為對任意正整數都有，所以.故答案為：.【點睛】本題考查數列的單調性以及數列中項的正負判斷，難度一般.處理數列單調性或者最值的問題時，可以采取函數的思想來解決問題，但是要注意到數列對應的函數的定義域為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、答案不唯一，見解析【解析】

首先將方程化簡為，再畫出的圖像，根據和交點的個數即可求出方程根的個數.【詳解】由題知：，，.令，，圖像如圖所示：當或，即或時，無解，即方程無解.當，即時，得到，則方程有兩個解.當，即時，得到在有兩個解，則方程有四個解.當，即時，得到或，則方程有四個解.當，即時，得到在有一個解，則方程有兩個解.當，即時，得到，則方程有一個解.綜上所述：當或時，即方程無解，當時，方程有一個解.當或時，方程有兩個解.當時，方程有四個解.【點睛】本題主要考查函數的零點問題，同時考查了分類討論的思想，數形結合為解題的關鍵，屬于難題.18、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）先證，再證，即可得證；要證平面ADMN，可通過求證PB垂直于ADMN中的兩條交線來證明（2）求直線BD與平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通過三垂線定理去進行證明【詳解】解：（1）證明因為M，N分別為PC，PB的中點，所以；又因為，所以．從而A，D，M，N四點共面；因為平面ABCD，平面ABCD．所以，又因為，，所以平面PAB，從而，因為，且N為PB的中點，所以；又因為，所以平面ADMN；（2）如圖，連結DN；由（1）知平面ADMN，所以，DN為直線BD在平面ADMN內的射影，且，所以，即為直線BD與平面ADMN所成的角：在直角梯形ABCD內，過C作于H，則四邊形ABCH為矩形；，在中，；所以，，，在中，，，，所以.綜上，直線BD與平面ADMN所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理，考查了線面角的求解方法，考查了運算能力及空間想象能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）M為AB的中點，N為PC的中點【解析】

（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立空間直角坐標系，求平面PCD的一個法向量為，由空間向量的線面角公式求解即可；（2）設，利用平面PCD，所以∥，得到的方程，求解即可確定M,N的位置【詳解】（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則從而設平面PCD的法向量則即不妨取則．所以平面PCD的一個法向量為．設直線PB與平面PCD所成角為所以即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為．（2）設則設則而所以．由（1）知，平面PCD的一個法向量為，因為平面PCD，所以∥．所以解得，．所以M為AB的中點，N為PC的中點．【點睛】本題考查空間向量的應用，求線面角，探索性問題求點位置，熟練掌握空間向量的運算是關鍵，是基礎題20、(1)(2)第9年【解析】

（1）將數列分為兩部分，分別利用等差數列和等比數列公式得到答案.（2）當時，恒成立，當時，，判斷是遞增數列，計算,得到答案.【詳解】（1）當時，數列是首項為20，公差為4的等差數列，；