專題07相似三角形的基本模型（K字型）【模型說明】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．1）一線三等角模型（同側型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，結論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結論：△ABM∽△NDE∽△NCM.【例題精講】例1．（基本模型）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．例2．（培優綜合1）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝．例3．（培優綜合2）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側．（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請猜想線段AF與DF之間的數量關系和位置關系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請直接寫出線段AF與DF之間的數量關系和位置關系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請直接寫出線段AF與DF之間的數量關系和位置關系（用含α的式子表示）．例4．（培優綜合3）⑴如圖1，點C在線段AB上，點D、E在直線AB同側，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求證：AC＝BE.⑵如圖2，點C在線段AB上，點D、E在直線AB同側，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.①求證：；②連接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；⑶如圖3，在△ABD中，點C在AB邊上，且∠ADC＝∠ABD，點E在BD邊上，連接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接寫出的值.例5．（與反比例函數綜合）如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，是邊上的一個動點（不與、重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點，將沿對折后，點恰好落在上的點處，則的值為．例6．（與二次函數綜合）如圖，拋物線過點和點，其頂點為點C，連接AB，點D在拋物線上A、C兩點之間，過點D作軸，垂足為點F，DF與AB交于點E．（1）求此拋物線的解析式．（2）連接AD、BD，設的面積為S，點D的橫坐標為m，求S關于m的函數關系式并求出S的最大值．（3）點M在坐標軸上，試探究平面內是否存在點N，使點A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．課后訓練1．如圖，在反比例函數的圖象上有一動點，連接并延長交圖象的另一支于點，在第二象限內有一點，滿足，當點運動時，點始終在函數的圖象上運動，若，則的值為（

）A．－6 B．－12 C．－18 D．－242．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點，過矩形的中心，且．為的中點，為的中點，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，，點在上，連接，，，，則線段．

4．如圖，是直角三角形，，，點A在反比例函數的圖象上．若點B在反比例函數的圖象上，則k的值為5．如圖，已知D是等邊邊AB上的一點，現將折疊，使點C與D重合，折痕為EF，點E、F分別在AC和BC上．如果，則的值為．6．已知在中，，，，為邊上的一點．過點作射線，分別交邊、于點、．（1）當為的中點，且、時，如圖1，_______：（2）若為的中點，將繞點旋轉到圖2位置時，_______；（3）若改變點到圖3的位置，且時，求的值．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．（1）探究發現：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數學思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數式表示）；②當點E在直線AC上運動時，①中的結論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．8．等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角板繞P點旋轉．(1)如圖1，當P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，FE、PB的延長線交于點G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．9．（1）問題如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當時，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由．（3）應用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，若，求的長．10．（1）問題發現：如圖1，，將邊繞點C順時針旋轉得到線段，在射線上取點D，使得．請求出線段與的數量關系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數量關系是否發生變化?如果變化，請寫出變化后的數量關系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點E是邊上一點，且，把線段逆時針旋轉得到線段，連接，直接寫出線段的長．

11．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=-交x軸于A、B兩點，點C在拋物線上，且點C的橫坐標為-1，連接BC交y軸于點D．(1)如圖1，求點D的坐標；(2)如圖2，點P在第二象限內拋物線上，過點P作PG⊥x軸于G，點E在線段PG上，連接AE，過點E作EF⊥AE交線段DB于F，若EF=AE，設點P的橫坐標為t，線段PE的長為d，求d與t的函數關系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，點H在線段OB上，連接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求點P的坐標．12．如圖，矩形ABCD中，E為AD邊上一點（不與點A、D重合），EF⊥BE交CD于點F．

（1）求證：E