3.1不等式的基本性質一、單選題1．某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b勻速跑；選手乙前一半時間以速度a勻速跑，后一半時間以速度b勻速跑（注：速度單位），若，則（

）A．甲先到達終點 B．乙先到達終點C．甲乙同時到達終點 D．無法確定誰先到達終點【答案】B【解析】設馬拉松全程為x，所以甲用的時間為，乙用的時間為，因為，所以，所以，則乙先到達終點.故選：B.2．已知p：q：，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，，所以，所以充分性滿足，當時，取，此時不滿足，所以必要性不滿足，所以是的充分不必要條件，故選：A.3．小茗同學的媽媽是吉林省援鄂醫療隊的隊員，為了迎接凱旋歸來的英雄母親，小茗準備為媽媽獻上一束鮮花．據市場調查，已知6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價格之和大于24元，而4枝玫瑰花與5枝康乃馨的價格之和小于22元，則2枝玫瑰花的價格和3枝康乃馨的價格比較結果是（

）A．3枝康乃馨價格高 B．2枝玫瑰花價格高 C．價格相同 D．不確定【答案】B【解析】設1枝玫瑰和1枝康乃馨的價格分別元，由題意可得：，令，則，解得：，因此.所以2枝玫瑰的價格高.故選：B4．古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎，當天平平衡時，左臂長與左盤物品質量的乘積等于右臀長與右盤物品質量的乘積，某金店用一桿不準確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金（

）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【解析】解：由于天平的兩臂不相等，故可設天平左臂長為，右臂長為（不妨設），先稱得的黃金的實際質量為，后稱得的黃金的實際質量為.由杠桿的平衡原理：，．解得，，則.下面比較與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）因為，因為，所以，即.所以這樣可知稱出的黃金質量大于.故選：A5．已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，所以，解得：，，因為，，所以，故選：A.6．設a<b<0，則下列不等式中不一定正確的是（

）A． B．ac<bc C．|a|>－b D．【答案】B【解析】對于A，因為a<b<0，所以，對a<b同乘以，則有，故A成立；對于B，當c>0時選項B成立，其余情況不成立，則選項B不成立；對于C，|a|＝－a>－b，則選項C成立；對于D，由－a>－b>0，可得，則選項D成立.故選：B7．《九章算術》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內接正方形的邊長d．由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖3，設D為斜邊BC的中點，作直角三角形ABC的內接正方形對角線AE，過點A作于點F，則下列推理正確的是（

）A．由圖1和圖2面積相等得 B．由可得C．由可得 D．由可得【答案】C【解析】對于A，由圖1和圖2面積相等得，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，，因為，所以，整理得，故B錯誤；對于C，因為D為斜邊BC的中點，所以，因為，所以，整理得，故C正確；對于D，因為，所以，整理得，故D錯誤．故選：C．8．若實數是不等式的一個解，則可取的最小正整數是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵實數是不等式的一個解，∴代入得：，解得，∴a可取的最小整數是，故選：C．二、多選題9．已知兩個不為零的實數，滿足，則下列說法中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對于A：因為兩個不為零的實數，滿足，所以，而為增函數，所以，即；故A正確；對于B：可以取，則有，所以；故B不正確；對于C：若時，則有根據同向不等式相乘得：，即成立；若時，有，故成立；若時，則有，，因為，所以，即成立；故C正確；對于D：可以取，則有，所以；故D不正確；故選：AC10．十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈里奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，若，，則，即，故C正確；對于D，當，時，滿足，但，故D不正確．故選：ABC．11．設實數、、滿足，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】∵，兩式相減得，即，∴．又，∴．而．∴，從而．故選：BD．12．若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A：由可得，故選項A正確；對于B：由可得，所以，故選項B不正確；對于C：當時，由可得，故選項C不正確；對于D：由可得，所以，所以，故選項D正確；故選：AD.三、填空題13．已知正數x，y滿足x2+2xy+4y2＝1，則x+y的取值范圍是____.【答案】（，1）【解析】∵正數x，y滿足x2+2xy+4y2＝1，可得4y2＜1，即有0＜y，∴x2+2xy+y2＝1﹣3y2，即（x+y）2＜1，解得x+y＜1故x+y的取值范圍為（，1）故答案為：（，1）14．已知，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】設，因此得：，，，因為，所以，因此，所以.故答案為：15．已知a＞0，b＞0，則p＝﹣a與q＝b﹣的大小關系是_____．【答案】【解析】因為，，與，所以，時取等號，所以．故答案為：．16．已知均為正實數，且，那么的最大值為__________．【答案】【解析】因為均為正實數，所以由題可得：，即，，，三式相加得：，所以所以的最大值為4故答案為：4四、解答題17．現有A，B，C，D四個長方體容器，A，B的底面積均為，高分別為a和b，C，D的底面積均為，高分別為a和b（其中）．現規定一種游戲規則：甲、乙兩人每人一次從四個容器中取兩個且不放回，盛水多者為勝，則先取者有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？【解析】（1）若先取、，后者只能取、，因為，顯然，而，的大小不定，所以正負不確定，所以這種取法沒有必勝的把握；（2）若先取、，后者只能取、，因為，顯然，而，的大小不定，所以正負不確定，所以這種取法沒有必勝的把握；（3）若先取、，后者只能取、，因為，又，，，所以，即，故先取、是唯一必勝的方案．18．已知，，求的取值范圍.【解析】設，則有：，解得：，所以.因為，所以，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍為.19．已知1≤a+b≤4，1≤ab≤2，求4a2b的取值范圍.【答案】【解析】令4a2b=x(a+b)+y(ab)，所以4a2b=(x+y)a+(xy)b.所以解得因為1≤a+b≤4，1≤ab≤2，所以所以2≤4a2b≤10.20．（1）設，，證明：；（2）設，，，證明：.【解析】證明：（1）因為，，所以，。所以，故得證；（2）由不等式的性質知，，所以，又因為根據（1）的結論可知，，所以.所以.21．已知2<a≤3，1≤b<2，試求下列代數式的取值范圍．（1）|a|；（2）a+b；（3）ab；（4）2a3b．【解析】（1）因2<a≤3，則當2<a<0時，|a|=a∈(0，2)，當0≤a≤3時，|a|=a∈[0，3]，所以|a|∈[0，3]；（2）因2<a≤3，1≤b<2，由不等式加法法則知，1<a+b<5，所以1<a+b<