2025版新高考版高考總復習數學5.4解三角形五年高考考點1正弦定理、余弦定理1.(2023全國乙文,4,5分,易)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5,則B=()A.π10C.3π答案C2.(2021全國甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,則BC=()A.1B.2C.答案D3.(2020課標Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,則cosB=()A.1答案A4.(2020課標Ⅲ文,11,5分,易)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,則tanB=()A.5B.2C.45答案C5.(2019課標Ⅰ文,11,5分,易)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,則bc=(A.6B.5C.4D.3答案A6.(2021全國乙文,15,5分,易)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為3,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

答案227.(2019課標Ⅱ文,15,5分,易)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.

答案348.(2023全國乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.(1)求sin∠ABC;(2)若D為BC上一點,且∠BAD=90°,求△ADC的面積.解析(1)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=22+12-2×2×1×cos120°=7,則BC=7.(3分)由正弦定理,得ACsin∠則sin∠ABC=AC·sin∠BACBC=(2)在Rt△ABD中,由(1)知sin∠ABD=2114,且∠ABD為銳角,所以tan∠ABD=3在Rt△ABD中,AB=2,則AD=AB·tan∠ABD=2×35=235在△ADC中,∠DAC=30°,AC=1,∴△ADC的面積S=12×235一題多解(2)在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,∴S△ABC=12×2×1×sin120°=3又S△∴S△ACD=15S△ABC=9.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,BD·sin∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.解析(1)證明:由題設得BD=asin在△ABC中,由正弦定理知csin即sinC代入BD=asinCsin∠ABC中,得BD=acb,又∴BD=b.(4分)(2)解法一:由AD=2DC得AD=23b,DC=b在△ABD中,cosA=AD在△ABC中,cosA=AC故c2?59b243bc=b2又b2=ac,(7分)所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,所以c=3a或c=23a.(8分)當c=3a時,b2=ac=3a2,所以b=3a,此時a+b<c,故a,b,c構不成三角形;(10分)當c=23a時,b2=ac=23a2,所以b=6此時a,b,c可以構成三角形,(11分)故c=23a,b=63a,所以在△ABC中,cos∠ABC=a2+c解法二:同解法一得到2a=3c或3a=c.(8分)當2a=3c時,a=32c,b2=ac=32c由余弦定理的推論得cos∠ABC=94c2+c當3a=c時,a=c3,b2=ac=c由余弦定理的推論得cos∠ABC=c29+c2?c2綜上,cos∠ABC=712.(12分)考點2解三角形及其綜合應用1.(2023全國甲理,16,5分,中)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=6,∠BAC的角平分線交BC于D,則AD=.

答案2(2022全國甲,理16,文16,5分,中)已知△ABC中,點D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.當ACAB取得最小值時,BD=答案3-13.(2021浙江,14,6分,中)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中點,AM=23,則AC=,cos∠MAC=.

答案213;24.(2020全國Ⅰ,16,5分,中)如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=.

答案-15.(2023新課標Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)設AB=5,求AB邊上的高.解析(1)∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C=π4,B=3π4-又∵2sin(A-C)=sinB,∴2sinA?即222sinA整理得sinA=3cosA,又∵sin2A+cos2A=1,A∈0,3π4,∴sinA=31010.(2)解法一:過C作CD⊥AB,垂足為D,如圖.在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsinA,即5sinπ4=由(1)知cosA=1010∴sinB=sin3π4?A=2在Rt△BCD中,CD=BC·sinB=35×2即AB邊上的高為6.(10分)解法二:由(1)知C=π4,sinA=31010,cosA則sinB=sin3π4?A=2在△ABC中,由正弦定理得ABsin∴522=AC255=BC31010,∴∴S△ABC=12AC·BC·sinC設AB邊上的高為h,則12×5h=15,∴h=6.(10分)6.(2023新課標Ⅱ,17,10分,中)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為3,D為BC的中點,且AD=1.(1)若∠ADC=π3,求tanB(2)若b2+c2=8,求b,c.解析由題意知S△ABC=3,BD=DC,∴S△ADC=32(1)∵S△ADC=12DA·DC·sin∠ADC=32,DA∴DC=2,∴BD=2,易知∠ADB=2π3,(2分)在△ADB中,由余弦定理可知,AB2=BD2+DA2-2DA·DB·cos∠ADB,即AB2=22+12-2×1×2×?12∴AB=7,(3分)∴cosB=AB∴sinB=1?cos2B=1?∴tanB=sinBcosB=3(2)如圖所示,延長AD至E,使DE=AD,連接BE,CE,易得四邊形ABEC為平行四邊形,∴AB=CE,AC=BE,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcos∠ACE,兩式相加得BC2+AE2=2(AB2+AC2),即BC2+AE2=2(b2+c2)=16,又AE=2AD=2,∴BC2=12,∴BC=23,(7分)∵S△ADC=12AD·DC·sin∠ADC=∴sin∠ADC=1,∴AD⊥BC,∴b=c,(9分)又b2+c2=8,∴b=c=2.(10分)7.(2022新高考Ⅱ,18,12分,中)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sinB=1(1)求△ABC的面積;(2)若sinAsinC=23,求解析(1)由題意得S1=34a2,S2=34b2,S3=34∴S1-S2+S3=34(a2-b2+c2)=32,即a2-b2+c2由cosB=a2+c2?b22ac得a2+c故2accosB=2,∴accosB=1,(3分)又∵sinB=13,∴cosB=223∴ac=324,∴S△ABC=12acsin(2)由正弦定理asin又知ac=324,sinAsinC=23,(∴b2sin2∴b=32sinB=38.(2022新高考Ⅰ,18,12分,中)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cosA(1)若C=2π3,求B(2)求a2+解析(1)∵cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=即cosA∴cosAcosB-sinAsinB=sinB,即cos(A+B)=sinB,又C=2π3,(3分)∴sinB=cos(A+B)=-cosC=-cos2π3∵0<B<π3,∴B=π6.(4分(2)由(1)知,sinB=cos(A+B)=-cosC,∵sinB>0恒成立,∴C∈π2∵-cosC=sinC?∴C-π2=B或B+C?π2∴A=π2-2B,∵A>0,∴B∈0,π4,(∴a=(2cos2B?1)2令cos2B=t,t∈12∴a2+b2c2=(2t?1)2+(1?t)t=4t+2t?5≥42-5,∴a2+b2c29.(2021新高考Ⅱ,18,12分,中)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面積;(2)是否存在正整數a,使得△ABC為鈍角三角形?若存在,求a;若不存在,說明理由.解析(1)2sinC=3sinA?2c=3a,又∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,∴cosA=b2+c2?a2∴S△ABC=12bcsinA=(2)由已知得c>b>a,若△ABC為鈍角三角形,則角C為鈍角,∴cosC=a2+b2?c22ab<0?a2+b2<c2?a2+(a+1)2<(a+2)2?a2-2a-3<0?-1<a<3,又a>0,∴a∈(同時還應考慮構成△ABC的條件,即a+b>c?a+(a+1)>a+2?a>1.綜上所述,當a∈(1,3)時,△ABC為鈍角三角形.∴存在正整數a=2,使得△ABC為鈍角三角形.(12分)三年模擬綜合基礎練1.(2023福建福州質檢,5)已知△ABC的外接圓半徑為1,A=π3,則AC·cosC+AB·cosB=(A.1答案D2.(2024屆河南TOP二十名校調研(三),5)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,且b=2a,2a2+b2=c2,則sinB=()A.1答案C3.(2024屆北京海淀期中,8)在△ABC中,sinB=sin2A,c=2a,則()A.∠B為直角B.∠B為鈍角C.∠C為直角D.∠C為鈍角答案C4.(2024屆廣東六校第二次聯考,4)如圖,A、B兩點在河的同側,且A、B兩點均不可到達.現需測A、B兩點間的距離,測量者在河對岸選定兩點C、D,測得CD=32km,同時在C、D兩點分別測得∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,則A、B兩點間的距離為()A.32答案D5.(2024屆河北師范大學附屬實驗中學月考,8)海倫公式是利用三角形的三條邊的長a,b,c直接求三角形面積S的公式,表達式為S=p(p?a)(p?b)(p?c)其中p=a+b+c2;它的特點是形式漂亮A.87B.4答案C6.(2023北京房山一模,14)在△ABC中,sinA=sin2A,2a=3b,則A=;bc的值為答案π3;7.(2024屆廣東湛江調研,17)如圖,在△ABC中,點D在邊AC上,且AB⊥BD.已知cosA=2sinA2sin∠ABC+(1)求A;(2)若△BCD的面積為12,求解析(1)因為cosA=2sinA2sin∠ABC+C2=2sinA因為A∈(0,π),所以A=π4(2)作BE⊥AC,垂足為E,在△ABD中,由A=π4,AB⊥BD知△ABD為等腰直角三角形,因為AB=2,所以BD=2,AD=2,BE=1由△BCD的面積為12BE·CD=12,解得CD=1,可得AC=AD+CD綜合拔高練1.(2024屆四川綿陽中學第二次月考,10)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知1tanA+1tanB=1A.1B.2C.3D.4答案C2.(2024屆鄂南高中聯考期中,8)在△ABC中,AB=2AC,且△ABC的面積為1,則BC的最小值為()A.2B.3C.1D.2答案B3.(2024屆遼寧省實驗中學期中,8)在銳角三角形ABC中,A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足b2=a(a+c),則b+ca的取值范圍為(A.(1,5)B.(2+1,5)C.(1,3+2)D.(2+1,3+2)答案D4.(多選)(2024屆河北邢臺第一中學月考,9)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列與△ABC有關的結論,正確的是()A.若a=2,A=30°,則b+2B.若acosA=bcosB,則△ABC是等腰直角三角形C.若△ABC是銳角三角形,則cosA<sinBD.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分別表示△AOC,△ABC的面積,則S△AOC∶S△答案ACD5.(2023河南鄭州二模,15)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,其中sinC=3sinA,B=60°,b=7.若B的角平分線BD交AC于點D,則BD=.

答案36.(2024屆湖南郴州一模,19)已知向量a=(sinx,1),b=(3cosx,-2),函數f(x)=(a+b)·a.(1)若a∥b,求cos2x的值;(2)已知△ABC為銳角三角形,a,b,c為△ABC的內角A,B,C的對邊,b=2,且f