2023年甘肅省酒泉市成考專升本數學（理）

自考真題（含答案）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

（13）巳知向量4滿足IoI=4,1bI=3,《。㈤=30。,則a?b等于

1.(A)Q(B)63?6(D)12

⑸如果0<6<?則

(A)cos0<sin6(B)sin6<tan8

2.(C)tan0<cos0(D)cos6<tan8

3.已知空間向量a=(6,-4,2),b=(x,2,3),且2_1_1),則x=

()

A.A.

3

B.

C.3

(8)已知復數：?-3-4i.則:的虛部為

(A)y(B)1i(C)^(D嗑

5.函數y=2sin(7r/4-x)sin(7r/4+x)的最大值是()

A.1

B.2

C.K

D.

6.已知｛i,j,k｝是單位正交基底，a=i+j,b=—i+j—k,則a?b=

()

A.A.-1B.lC.OD.2

7.

第3題下列各函數中，既是增函數又是奇函數的是()

A.y=3xB.y=x3C.y=log3xD.y=sinx

8.設OVaVb,則()

A.l/a<1/b

B.a3>b3

C.log2a>log2b

D.3a<3b

9.函數f(x)=2x-l的反函數的定義域是()

A.A.(1,+oo)B.(—1,+oo)C.(0o+oo)D.(—oo,+oo)

10.方程lyI=1/|X|的圖像是下圖中的

11.設復數?=l+2iF=2-i(其中i是虛數單位?必=()

A.A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i

12.設0<a<b<l,則下列正確的是()

A.a4>b4

B.4a<4b

C.log46<log4a

D.loga4>logb4

13.設集合M={1,2,33,5},N={2,4,6},則MflN=()o

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{1,3,5}D.{1,2,3,4,5,6}

14.下列函數中，在為減函數的是0

A.y=ln(3x+1)B.y=x+1C.y=5sinxD.y=4-2x

3.函數/(x)=1咚三；的定義域是

15.IOR,(X-1)

A.(l,3]B.[l,3]C.(2,3]D.(l,2)U(2,3]

y—3sin壬

16.函數-4的最小正周期是()o

A.8n

B.47r

C.27r

2"

D.

y~xe*,則f=

(A)xe'(B)xe,+x

17,(C)xe*+e*(D)e'+x

復數z=a+bi(a,bGR且a、b不同時為0)等于它的共柜復數的倒數的充要條

件是()

(A)a+i=1(B)aJ+b2=1

18.'C)ab=l(D)a=b

19.設sina=l/2,a為第二象限角，則cosa=()

A.A.-也/2B.?2/2C.l/2D.也/2

20.設兩個正數a,b滿足a+b=20,則ab的最大值為()。

A.100B.40OC.5OD.200

21.

第8題3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在兩端的概

率是（

A.l/20B.l/15C.l/10D.1/5

22.函數y=x3+3xM-1（）。

A.沒有極大值B.沒有極小值C.的極大值為-1D.的極小值為-1

23.已知正三橫柱的底面積等于6?例面積等于30,則此正三槍柱的體積為

A.2A

B.5后

C.10后

D.15乃

24.下列四個命題中為真命題的一個是（）

A.A.如果兩個不重合的平面有兩個不同的公共點A,B,那么這兩個平

面有無數個公共點，并且這些公共點都在直線AB上

B.如果一條直線和一個平面平行，則它和這個平面內的任何直線平行

C.如果一條直線垂直于一個平面內的兩條直線，則這條直線垂直于這個

平面

D.過平面外一點，有無數條直線與這個平面垂直

25.函數y=lg（2x-l）的定義域為（）

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0}

拋物線y=-4x的準線方程為

“(A)x--l(B)x=\(C)y=\(D)y=-l

Zb.

27.已知bi,b2,b3,b4成等差數列，且bi,b4為方程2x2-3x+l=0的兩個根,

則b2+b3的值為

A.l/2B.-3/2C.-1/2D.3/2

28.已知向量冠而則1=()

A.-lB.2C.-2D.1

29.下列成立的式子是()

01

A.O.8--<log30.8

B.O.801>O.8-0-2

C.logjO.S<log40.8

D.30J<30

過函數,=3圖像上一點P作x軸的垂線PQ.Q為垂足,。為坐標原點,則MPQ

的面積為()

(A)l(B)2

3O.(C)3(D)6

二、填空題(20題)

31.4AA8(.中.若cosA=^^,/C=15(r,BC=l,Jl!|AB=

巳知雙曲線1-%=I的高心率為2,則它的兩條漸近線所夾的銳角

ab

32.為

cBa_90的

34.

若平面向量a=(x,1),&=(1,-2),且2〃>則x=.

以橢圓號+==1的焦點為頂點,而以橢網的頂點為焦點的雙曲線的標準方程為

35.

36.

已知直線1和X—y+l=O關于直線x=-2對稱，則1的斜率為.

37.

■.JT-1

1^27+4--------------------

同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年

38K,則四張費年卡不同的分配方式有種.

某射手有3發子彈，射擊一次，命中率是08,如果命中就停止射擊，否則一直射到

39.子彈用完為止，那么這個射手用子彈數的期望值是------

(19)limr-2-7

40.1-'2x+1

41.正方體ABCD—A'B'C'D'中，A'C'與B'C所成的角為

42.

已知隨機變量S的分布列為

1234

P「0.150.250.300.200.10

則戊=______________

43.橢圓的中心在原點，-個頂點和一個焦點分別是直線x+3y-6=0與兩坐

標軸的交點，則此橢圓的標準方程為.

44.化簡而+QP+而力戶=

45.過點(2,1)且與直線Y=x+1垂直的直線的方程為.

46.設/("+1)="+2丘+1,貝1J函數f(x)=.

47?

設正三角形的一個頂點在原點，關于X軸對稱，另外兩個頂點在拋物線/=2岳

48.上.則此三角形的邊長為_____,

49.設函數f(x)=x+b,且f(2)=3,貝IJf(3)=。

50.設復數(1+2i)(e+i)的實部和虛都相等=

三、簡答題(10題)

51.(本小題滿分12分)

已知小吊是橢畫志+卷=1的兩個焦點/為橢圓上一點，且%=JO。,求

APFR的面積.

(23)(本小題滿分12分)

設函數/(x)=#4-/2+3.

(I)求曲線＞=*'-lx?+3在點(2,11)處的切線方程；

?(II)求函數/(x)的單調區間.

(25)(本小題滿分13分)

已知拋物線丁=/右0為坐標原點,F為拋物線的焦點.

(I)求10/1的值；

(n)求拋物線上點P的坐標.使△OFP的面積為:

53.

54.(本小題滿分12分)

巳知等比數列：a［中,/=16.公比g=X

(I)求數列的通項公式；

(2)若數列％.I的前n項的和S.=124.求n的他

55.（本小題滿分12分）

已知等差數列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

（1）求數列｛an｝的通項公式；

⑵當n為何值時，數列｛an｝的前n項和Sn取得最大值,并求該最大值.

56.（本小題滿分12分）

如果將進貨單價為8元的商品按每件10元售出肘，每天可銷售100件。

現采取提高售出價，減少進貨量的辦法增加每天的利潤，已知這種商品

每件漲價1元，其銷售數量就減少10件，問將售出價定為多少時，賺

得的利潤最大？

57.（本小題滿分12分）

設兩個二次函數的圖像關于直線X=1對稱，其中一個函數的表達式為

Y=x2+2x-l,求另一個函數的表達式

58.

（本小題滿分12分）

已知等差數列小/中,％=9.%+%=0.

（1）求數列｛a」的通項公式?

（2）當n為何值時,數列必.|的前n頁和S.取得藤大值，并求出該豉大值.

59.

（本小題滿分12分）

已知橢的離心率為亨，且該橢圓與雙曲蜻d=1焦點相同?求橢圓的標準

和準線方程.

60.

（本小題滿分12分）

△A8c中，已知a1+c2-62=%且lo^sinX+lo&sinC=-I,面積為5cnf,求它二

近的長和三個角的度數.

四、解答題（10題）

設*=上的偶函數。

0?

（1）求a的值；

「（2）汪明；/（g）在（（），??）上是jfft

62.已知正六邊形ABCDEF的邊長為a,PA為過點A而垂直于正六邊形

所在平面M的垂線，且PA=a,求

I.點P到各邊AB、BC、CD的距離。解析：因為PAJ_平面M所以

PA±BC所以點P到AB的距離為a,過A作BC的垂線交CB的延長

線于G連接PG所以BC_L平面APG即PG±AB

II.PD與平面M所成的角

63.甲、乙二人各射擊一次，若甲擊中目標的概率為0.8,乙擊中目標的

概率為0.6.試計算：

⑴二人都擊中目標的概率；

(II)恰有一人擊中目標的概率；

(III)最多有一人擊中目標的概率.

已知南數人工)=3。/-50，+僅Q>0)有極值.板大值為4.極小值為0.

CI)求a.b的值$

64.

65.已知橢圓的短軸長是4,中心與拋物線y2=4x的頂點重合，一個焦

點與拋物線的焦點重合.求：

(I)橢圓的標準方程；

(II)橢圓的準線方程.

2

66.已知等差數列前n項和Sn=2n-n.

(I)求這個數列的通項公式；

(II)求數列第六項到第十項的和.

67.已知橢圓x2/a2+y2/b2=l和圓x2+y2=a2+b2,M、N為圓與坐標軸的交

點，求證：圓的弦MN是橢圓的切線.

68.

69.已知正圓錐的底面半徑是1cm母線為3cm,P為底面圓周上一點,

由P繞過圓錐回到P點的最短路徑如圖所示，由頂點V到這條路線的

最小距離是多少？

70.

設函數/■(?!?)=“/+任’一3工在才=±1處取得極值.

(I)求a,b的值；

(II)求f(x)的單調區間與極值；

(III)求曲線f(x)在點(2,2)處的切線方程.

五、單選題(2題)

71.從0,1,2,3,4,5這六個數字中，每次取出三個數相乘，可以得

到不同乘積的個數是()

A.10B.llC.20D.120

72.函數Y=f(x)的圖像與函數Y=2x的圖像關于直線Y=x對稱，則

f(x)=()

A.A.2xB.log2X(X>0)C.2XD.lg(2x)(X>0)

六、單選題（1題）

在一段時間內，甲去某地M城的概率是4■,乙去此地的概率是:，假定兩人的行

73.動相互之間沒有影哨，那么在這段時間內至少有I人去此地的假率是（

A.A.3/20B.l/5C.2/5D.9/20

參考答案

1.B

2.B

3.D

因為。_L瓦則a?h=(6,-4,2)?(x,2.3)=6r-4X2+2X3=0,則工答案為D)

4.C

5.A、■:y=2sin(n/4-x)sin(n/4+x)=2cos[7r/2-(7r/4-x)]sin(n/4+x)=2cos

(7r/4+x)sin(7t/4+x)=sin(7r/2+2x)=cos2x,/.ymax=l.

6.C

ab=(l,1,0)-(-1,1,-l)=lx(-l)+lxl+0x(-l)=0.(答案為

C)

7.B

8.D

9.B

函數〃力=2，-1的反函數的定義域是函數八與一2，一1的值域《一1.十a).

(答案為B)

1fy=±

A(1)Sr>0x*>>0<D

x

|-廣_10y?_±.y<o6

,L-±X

A(2)?x<0H.lyl-才?，X③

上-Lj.JLM。④?

r,?:L(l+2i)(2—i)=4+3i,則為?身=4-31(若案為C)

12.DA錯,VO<a<b<l,a4Vb4B錯，V4a=l/4a,4-b=l/4b,4b>4a,

，4-a>4-b.C錯，10g4X在(0,+oo)上是增函數，，log4b>10g4aD對，TO

<a<b<l,logax為減函數，對大底小.

13.A該小題主要考查的知識點為交集.【考試指導】MAN={2,4}.

14.D

A、B選項在其定義域上為增函數，選項C在3支上為增函數，只有

D選項在實數域上為減函數.

15.D

16.A

該小題主要考查的知識點為最小正周期.

T=斗=8x.

【考試指導】T

17.C

18.B

19.A

20.A

該小題主要考查的知識點為函數的最大值.

因為a4-6>2y/ab,所以必《

(a+6/400

-4---------T=1。。?

21.C

22.D

23.B

設正三校柱的底面的邊長為a,底面積為?彖=7?.得a=2.

設正三檢柱的高為A.側面積為3XaX/>=3X2X?>=30.徨h=5.

則此正三棱柱的體枳為底而積X高=571(答案為B)

24.A

25.D

由2x-l>0,得2x>Lx>0,原函數定義域為｛x[x>0).(答案為D)

26.B

27.D由根與系數關系得bi+b4=3/2,由等差數列的性質得b2+b3=bi+b4=3/

2

28.D

/C=AB+-(1,0+(-1,1)=10,2),故有t+i=2=>t=l.

29.CA,O.80-1,Va=0.8<l,為減函數，又<X<司」>Llog30.8,：a=3>

1,為增函數，0<x<1,/.logsO.8<0./.0.8°1>logsO.8,故A錯.B,0.8'

叫如圖)，???a=0.8<L為減函數,又?.?-0.1>-0.2,；?08°/<080-2,故B

錯.C,log30.8與Iog40.8兩個數值比大小，分別看作yi=log3X與U2=10g4X

底不同，真數相同，當a>L0<x<l時，底大，對大.故C正確.D,為

-0.2-0.1

增函數，3。」>3。=1,故D錯.

30.C

31.

△ABC,0?CA<180*.sinA>0.siaA=/F-cos^1-(

由正弦定理可知，=陪="蜜獸=磊=季.(答案為-

io

32.

33.

34.

【答案】-1/2

【解析】該小題主要考查的知識點為平行向量的性質.

【考試指導】

由于a〃b,故手=即x=-

1-LL

36.

【答案】-1

【解析】該小題主要考查的知識點為直線的性質.

【考試指導】

j?r—y+]=0,“.4

（_,得交點u（一2?—1）?

取直線i-y+l=0上一點（0,1）.則該點關于JL

錢x=-2對稱的點坐標為（-4?1）,則直線/的鼾

率k=-1.

37.

叫捍T表&T?（答案為署

9

38.

39.1⑵6

（19）

40.。J

41.

答案：60°【解析】正方體中A'C'與B'C為異面直線，因為AC

〃A'C'，所以AC與B'C所成的角，即為A7C'與B'C所成的

角.又4AB'C為等邊三角形.所以NACB7=60。。即A‘C'與B'C

成60o的角.求異面直線所成的角關鍵是將其轉移至同一平面內.并表示

出該角，再求解.

42.E^=0x0.15+1x0.25+2x0.30+3x0.20+4x0.10=1.85.(^

案為1.85)

43.x2/40+y2/4=I或y2/40+x2/36=l原直線方程可化為x/6+y/2=l,交點(6,0),

(0,2).當點(6,0)是橢圓一個焦點，點(0,2)是橢圓一個頂點時，c=6,b=2,

a2=40^x2/40+y2/4=l當點(0,2)是橢圓一個焦點，(6,0)是橢圓一個頂點時，

c=2,b=6,a2=40^y2/40+x2/36=1

44.

45.

46.

工十2，工二1

LL1,我它的杈入+?得

/”).LI+2/^T+IT+2Vz?^1國八］)=1+27TzT.

47.

49.4由題可知f(2)=2+6=3,得b=l,故f(3)=3+b=3+l=4.

50.

-3■折修復故M■尸為(.-2)購由--2?2?“叮得(1.?3.

51.

由已知.桶08的長軸長2a=20

設I%I=m.lP"n,由橢圓的定義知,m+〃=20①

又J=l00-64=36.c=6,所以F,(-6,0),吊(6,0)且1乙乙1=12

在中.由余弦定理得m2+j_2mca30o=12'

蘇-Gmn=144②

m2-klmn+n2s400,③

③-②.得(2+6)rnn=256,mn=256(2-⑶

因此.△PK6的面枳為/mn疝》30°=64(2-4)

(23)解：(I)/(%)=4?-4x,

./(2)=24,

所求切線方程為y-11=24(*-2),即24x-y-37=0.6分

(口)令/(*)=0.解得

X)=-19X2=0tx3=1.

當X變化時JG)4G的變化情況如下表：

X(-8,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

r(x)-0?0-0

人口2z32

〃工)的單調增區間為(-1.0),(1,+8),單調減區間為(-8,-1),(0,

1).……12分

(25)解：(I)由已知得尸(5,0).

O

所以IOFI=!.

O

(口)設P點的橫坐標為X,("0)

則P點的縱坐標為時或-騰,

△0”的面積為

11AT1

28V24,

解得N=32.

53.故P點坐標為(32.4)或(32.-4).

54.

(1)因為％=。田’.即16=%x/.得=64.

所以，該數列的通項公式為a.=64x(^)-1

(2)由公式5'二4」＞得】24=-----p-.

i-g

化筒得2132,解得n=5.

55.

(1)設等差數列Ia.I的公差為乙由已知%+5=0,得

2a,+9J=0.又已知5=9.所以d=-2.

數列Ia.I的通項公式為a.=9-2(n-l).BPa.=11-2n.

(2)數列la.l的前“項和

S.=g(9+1-2n)=-n+lOn=-(n-5)s+25.

當n=5時.*取得最大值25.

56.

利潤=精售總價-進貨總僑

設每件提價工元(mMO),利潤為y元，則每天售出(100-10*)件，債售總價

為(10+M)?(100-KM元

進貨總價為8(100-10工)元(OwxWlO)

依題意有:丁=(10+x)?(100-lOx)-8(100-10x)

=(2+x)(100-10x)

=-lOxJ+80x+200

y*--20x+80,4,y，=0得x=4

所以當x=4即離出價定為14元一件時,■得利潤量大，最大利潤為360元

57.

由已知.可設所求函數的衰達式為y=(x-m)'+n.

flgysjr1+2x-l可化為y=(x+l)’-2.

又如它們圖像的頂點關于宜線x=l對稱.

所以n=-2,m=3,

故所求函數的表達式為y=(x-3),-2,BPy=x,-6x+7.

58.

(I)設等比數列|a.|的公差為(由已知a,+a,=0,得2%+9d=0.

又已知%=9.所以d=-2.

得數列Ia.|的通項公式為a.=9-2(n-l).Wa.=H-2n.

(2)般4|a」的前n項和S.=￡(9+11-2n)=-J+10n=-(“-5尸+25,

則當n=5時,S.取得最大值為25.

59.

由已知可得橢圓焦點為K(-3,0),吊(6.0).……3分

設橢圓的標準方程若+專=13>6>0),則

=iJ+5,3

也聲解得｛12：…,分

03.

所以橢圓的標準方程為"+￡=1.?……9分

楠隊的準線方程為*=±我*……12分

□

60.

,,,,?,..a3+J-6,1

24.解因為1+。2-川=—所以一一=-

即8sB=，,而B為△48C內角，

所以B=60°,又lofusin.4+lo&sinC=-I所以蜻仙?sinC=y.

則-^?[cosC4-C)-COB(4+C)]

所以cos(4-C)-a?120°=y,HPCM(A-C)=0

所以A-C=90°或A-C=-90°.又4+C=120°,

解得A?I05°,C?15,,；^4?15O,C?105O.

因為S64K=I-而*inC=2R%in/tBin8sinC

=2R，.號L空.”現、加

所以如=瓜所以R=2

所以a=2&in4=2x2xsinl05。=(而+&j(cm)

b=2R?inB=2x2xsin60°=2&cm)

c=2/?HinC=2x2xsinl5。=(而-左)(cm)

或a=(%-互)(ctn)6=2百(cm)c=(歷+&)(cm)

值.=中長分別為(R+42)cm25cm、(氐-豆)an.它們的對角依次為/B。，60=.

61.

?⑴,?/?)=±+T■是R上的偶雨效

ac

，?.對F任意的X,都有./X-x)=/<?).

即'“十：,=:??二,化簡得(a-：)卜'-十)=0.；該式財「任宜X均成8:=I.

(2)由(1)得鞏*)=??+??

故任*。>?.>0,?/(?,)-/(,,)?4+L”-戶(c-e-?)?.(e"

c*r1

,.'和>〃>01>c。>1,0<?<1.

益?-鏟

因此〃*,)所以，X)在(0.+8)卜是增函數.

62.因為PA平面M所以PA±BC所以點P到AB的距離為a,過A

作BC的垂線交CB的延長線于G連接PG所以BC_L平面APG即

PG±AB

:.在Rt^APG中.PG-/P.A'+.AG：

明因此P到8c的距離為孝4

平面M,

是FC在平面M上的射影.

乂???AD是正六邊形A/KDEF外接闞的

田徑.

AZACD=90*.

WitAC1CD,所以CDL平面ACP.WPC

是P到CD的*離.

■:AC,—y3<1.PA-a?

:.PC=73aJ+a1=2a.因此P到CD的距

離為2a.

，設PD與DA所夾的角為a,在RtAPAD

中,tana一而■西.三?

...Larctan；為PD與平面M所央的角.

63.設甲射擊一次目標為事件A,乙射擊一次擊中目標為事件B。

由已知得P(A)=0.8,P(N)=l-0.8=0.2,

P(B)=O.6,P(B)=1-O.6=0.4.

(I)P(A?B)=P(A)?P(B)=0,8X0.6=

0.48.

(||)P(A?B+A?B)=P(A?B)+PM?B)=

0.8X0.4+0.2X0.6=0.44.

(IH)P(A-B)=0.48.故所求為1-P(A?B)=

1-0.48=0.52.

64.

(L)//(x)=1Sax*-ISar1-13令/(工)=0,

得x==0.x=±l.

以下列表討論，

解得a=1.6=2JCr)=3/—5Y+2.

(U)函數八工)的球調遞增區間為(--.-h?l

65.

(I)桶1?的短半軸長為6=2.

拋物線y*=4工的頂點為坂點,故橢08的中心為原點.

拋物線曠工4l的焦點F(1.0)即為桶88的右焦點.

即尸］.a=，聲if=?/FTT'd".

所求橢圓的標準方程為＜+￥=1.

34

(11)橢圜的淮線方程為x-±5.

2222

66.(I)當n>2時，an=Sn-Sn-i=(2n-n)-[2(n-l)-(n-l)]=2n-n-2n+4n-2+n-

l=4n-3(吟2),當n=l時，ai=Si=4xl-3=l,/.an=4n-3.

(II