2018年河南省中考數學試卷

一、選擇題（每題只有一個正確選項，本題共10小題，每題3分，共30分）

1.（3.00分）-2的相反數是（）

5

A.-ZB.2c.--§.D.5

5522

2.（3.00分）今年一季度，河南省對“一帶一路"沿線國家進出口總額達214.7億

元，數據"214.7億"用科學記數法表示為（）

A.2.147X102B.0.2147X103C.2.147X1O10D.0.2147X1011

3.（3.00分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種展開圖，那么

在原正方體中，與"國"字所在面相對的面上的漢字是（）

A.厲B.害C.了D.我

4.（3.00分）下列運算正確的是（）

A.（-x2）3=-x5B.x2+x3=x5C.x3*x4=x7D.2x3-x3=l

5.（3.00分）河南省旅游資源豐富，2013?2017年旅游收入不斷增長，同比增

速分別為:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.關于這組數據，下列說法正

確的是（）

A.中位數是12.7%B.眾數是15.3%

C.平均數是15.98%D.方差是0

6.（3.00分）《九章算術》中記載："今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七,

不足三問人數、羊價各幾何？"其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還

差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數、羊價各是多少？設合伙人數

為x人，羊價為y線，根據題意，可列方程組為（）

A（y=5x+45°fy=5x-45

y=7x+3（y=7x+3

C/y=5x+45口Jy=Sx-45

|y=7x-3ly=7x-3

7.（3.00分）下列一元二次方程中，有兩個不相等實數根的是（）

A.X2+6X+9=0B.x2=xC.x2+3=2xD.（x-1）2+l=0

8.（3.00分）現有4張卡片，其中3張卡片正面上的圖案是"明”，1張卡片正

面上的圖案是"熱"，它們除此之外完全相同.把這4張卡片背面朝上洗勻，從

中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案相同的概率是（）

A.-LB.Ac.3D.工

16482

9.（3.00分）如圖，已知DAOBC的頂點0（0,0）,A（-1,2）,點B在x軸正

半軸上按以下步驟作圖：①以點。為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交邊OA,

OB于點D,E；②分別以點D,E為圓心，大于J_DE的長為半徑作弧，兩弧在N

2

AOB內交于點F；③作射線OF,交邊AC于點G,則點G的坐標為（）

A/G,\.

o\E1BX

A.(A/5-1,2)B.(遙，2)C.(3-遙，2)D?（遙-2,2）

10.(3.00分)如圖1,點F從菱形ABCD的頂點A出發,沿A玲D玲B以lcm/s

的速度勻速運動到點B,圖2是點F運動時,△FBC的面積y(cm2)隨時間x(s)

變化的關系圖象，則a的值為（）

cy^cm^

BCaa-孱

圖11圖2

A.&B.2C.AD.275

2

二、細心填一填（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分，請把答案填在答

題卷相應題號的橫線上）

11.（3.00分）計算：-5-后.

12.（3.00分）如圖，直線AB,CD相交于點0,EOLAB于點0,NEOD=50°,

則NBOC的度數為.

*+5>2的最小整數解是______.

4-x》3

14.（3.00分）如圖，在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,將^ABC繞AC的中

點D逆時針旋轉90。得到△ABC,其中點B的運動路徑為錨"尸，則圖中陰影部

15.（3.00分）如圖，NMAN=90。，點C在邊AM上，AC=4,點B為邊AN上一

動點，連接BC,△ABC與AABC關于BC所在直線對稱，點D,E分別為AC,BC

的中點，連接DE并延長交AB所在直線于點F,連接AE當aAEF為直角三角

三、計算題（本大題共8題，共75分，請認真讀題）

16.（8.00分）先化簡，再求值：（-1--1）+—W—,其中x=J分1.

x+1x2-l

17.（9.00分）每到春夏交替時節，雌性楊樹會以滿天飛絮的方式來傳播下一代,

漫天飛舞的楊絮易引發皮膚病、呼吸道疾病等，給人們造成困擾，為了解市民對

治理楊絮方法的贊同情況，某課題小組隨機調查了部分市民（問卷調查表如表所

示），并根據調查結果繪制了如下尚不完整的統計圖.

治理楊絮一一您選哪一項？（單選）

A.減少楊樹新增面積，控制楊樹每年的栽種量

B.調整樹種結構，逐漸更換現有楊樹

C.選育無絮楊品種，并推廣種植

D.對雌性楊樹注射生物干擾素，避免產生飛絮

E.其他

人琢調查結果條形統計圖

SS00

7oo

6oo

5oo

4

3oo

2oo

1oo

oo

oo

OABCDE選項

解答下列問題:

（1）本次接受調查的市民共有人；

（2）扇形統計圖中，扇形E的圓心角度數是；

（3）請補全條形統計圖；

（4）若該市約有90萬人，請估計贊同"選育無絮楊品種，并推廣種植"的人數.

18.（9.00分）如圖，反比例函數y=k（x>0）的圖象過格點（網格線的交點）P.

X

（1）求反比例函數的解析式；

（2）在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個矩形（不寫畫法），要求每個矩形均需滿

足下列兩個條件：

①四個頂點均在格點上，且其中兩個頂點分別是點。，點P;

②矩形的面積等于k的值.

19.（9.00分）如圖，AB是。。的直徑，DOLAB于點。，連接DA交。。于點C,

過點C作。。的切線交DO于點E,連接BC交D。于點F.

（1）求證:CE=EF；

（2）連接AF并延長，交。。于點G.填空：

①當ND的度數為時，四邊形ECFG為菱形；

②當ND的度數為時，四邊形ECOG為正方形.

20.（9.00分）"高低杠”是女子體操特有的一個競技項目，其比賽器材由高、低

兩根平行杠及若干支架組成，運動員可根據自己的身高和習慣在規定范圍內調節

高、低兩杠間的距離.某興趣小組根據高低杠器材的一種截面圖編制了如下數學

問題，請你解答.

如圖所示，底座上A,B兩點間的距離為90cm.低杠上點C到直線AB的距離CE

的長為155cm,高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm,已知低杠的支

架AC與直線AB的夾角NCAE為82.4°,高杠的支架BD與直線AB的夾角/DBF

為80.3°.求高、低杠間的水平距離CH的長.（結果精確到1cm,參考數據sin82.4°

^0.991,cos82.4°^0.132,tan82.4°^7.500,sin80.3°??0.983,cos80.3°^0.168,

tan80.3°^5.850)

21.（10.00分）某公司推出一款產品，經市場調查發現，該產品的日銷售量y（個）

與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系關于銷售單價，日銷售量，日銷售利

潤的幾組對應值如表：

銷售單價X（元）8595105115

日銷售量y（個）17512575m

日銷售利潤W（元）87518751875875

（注：日銷售利潤=日銷售量X（銷售單價-成本單價））

（1）求y關于x的函數解析式（不要求寫出x的取值范圍）及m的值；

（2）根據以上信息，填空：

該產品的成本單價是元，當銷售單價x=元時，日銷售利潤w最

大，最大值是元；

（3）公司計劃開展科技創新，以降低該產品的成本，預計在今后的銷售中，日

銷售量與銷售單價仍存在（1）中的關系.若想實現銷售單價為90元時，日銷售

利潤不低于3750元的銷售目標，該產品的成本單價應不超過多少元？

22.（10.00分）（1）問題發現

如圖1,在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40°,連接AC,

BD交于點M.填空：

①此的值為；

BD

②NAMB的度數為.

（2）類比探究

如圖2,在AOAB和△OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,連接AC

交BD的延長線于點M.請判斷處的值及NAMB的度數，并說明理由；

BD

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將△OCD繞點。在平面內旋轉，AC,BD所在直線交于點M,

若OD=1,OB3,請直接寫出當點C與點M重合時AC的長.

23.（11.00分）如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A,B兩點，交y軸于點C.直

線y=x-5經過點B,C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點A的直線交直線BC于點M.

①當AM_LBC時，過拋物線上一動點P（不與點B,C重合），作直線AM的平行

線交直線BC于點Q,若以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點

P的橫坐標；

②連接AC,當直線AM與直線BC的夾角等于NACB的2倍時，請直接寫出點M

的坐標.

備用圖

2018年河南省中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題只有一個正確選項，本題共10小題，每題3分，共30分）

1.（3.00分）-2的相反數是（）

5

A.-2B.2C.-5D.

5522

【分析】直接利用相反數的定義分析得出答案.

【解答】解：-Z的相反數是：Z.

55

故選:B.

【點評】此題主要考查了相反數，正確把握相反數的定義是解題關鍵.

2.（3.00分）今年一季度，河南省對"一帶一路"沿線國家進出口總額達214.7億

元，數據"214.7億"用科學記數法表示為（）

A.2.147X102B.0.2147X103C.2.147X1O10D.0.2147X1011

【分析】科學記數法的表示形式為aXIOn的形式，其中1W|a|V10,n為整數.確

定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點

移動的位數相同.當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n

是負數.

【解答】解：214.7億，用科學記數法表示為2.147X10】。，

故選：C.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aXlO”的

形式，其中n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

3.（3.00分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種展開圖，那么

在原正方體中，與"國"字所在面相對的面上的漢字是（）

A.厲B.害C.了D.我

【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據這一特

點作答.

【解答】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，

”的,，與“害,，是相對面，

"了"與"厲"是相對面，

"我"與"國"是相對面.

故選：D.

【點評】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，

從相對面入手，分析及解答問題.

4.（3.00分）下列運算正確的是（）

A.（-x2）3=-x5B.x2+x3=x5C.x3*x4=x7D.2x3-x3=l

【分析】分別根據基的乘方、同類項概念、同底數基相乘及合并同類項法則逐一

計算即可判斷.

【解答】解:A、（-x2）3=-X6,此選項錯誤;

B、x\x3不是同類項，不能合并，此選項錯誤；

C、x3?x4=x7,此選項正確；

D、2x3-x3=x3,此選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題主要考查整式的運算，解題的關鍵是掌握事的乘方、同類項概念、

同底數基相乘及合并同類項法則.

5.（3.00分）河南省旅游資源豐富，2013~2017年旅游收入不斷增長，同比增

速分別為:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%,關于這組數據,下列說法正

確的是（）

A.中位數是12.7%B.眾數是15.3%

C.平均數是15.98%D.方差是0

【分析】直接利用方差的意義以及平均數的求法和中位數、眾數的定義分別分析

得出答案.

【解答】解：A、按大小順序排序為：12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%,

故中位數是：15.3%,故此選項錯誤；

B、眾數是15.3%,正確；

C、L（15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%）

5

=14.98%,故選項C錯誤；

D、..時個數據不完全相同，

方差不可能為零，故此選項錯誤.

故選：B.

【點評】此題主要考查了方差的意義以及平均數的求法和中位數、眾數的定義，

正確把握相關定義是解題關鍵.

6.（3.00分）《九章算術》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七,

不足三問人數、羊價各幾何？〃其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還

差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數、羊價各是多少？設合伙人數

為x人，羊價為y線，根據題意，可列方程組為（）

.fy=5x+45fy=5x~45

A.〈D〈

（y=7x+3（y=7x+3

rfy=5x+45nfy=5x-45

y=7x-3［y=7x-3

【分析】設設合伙人數為X人，羊價為y線，根據羊的價格不變列出方程組.

［解答］解:設合伙人數為x人,羊價為y線,根據題意，可列方程組為:［尸5X+45.

ly=7x+3

故選:A.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系是解題的

關鍵.

7.（3.00分）下列一元二次方程中，有兩個不相等實數根的是（）

A.X2+6X+9=0B.X2=XC.X2+3=2XD.(X-1)2+l=0

【分析】根據一元二次方程根的判別式判斷即可.

【解答】解:A^X2+6X+9=0

△=62-4X9=36-36=0,

方程有兩個相等實數根；

B、x2=x

x2-x=0

△=(-1)2-4XlX0=l>0

兩個不相等實數根；

C、X2+3=2X

x2-2x+3=0

△=(-2)2-4X1X3=-8<0,

方程無實根；

D、(x-1)2+1=0

(x-1)2=-1,

則方程無實根；

故選:B.

【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a

70)的根與442-4ac有如下關系：①當時，方程有兩個不相等的兩個

實數根；②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當時，方程無實

數根.

8.(3.00分)現有4張卡片，其中3張卡片正面上的圖案是"明"，1張卡片正

面上的圖案是"8",它們除此之外完全相同.把這4張卡片背面朝上洗勻，從

中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案相同的概率是()

A.-LB.aC.3D.A

16482

【分析】直接利用樹狀圖法列舉出所有可能進而求出概率.

【解答】解：令3張立]用Ai，A2,A3,表示,A用B表示,

可得：

AAAA

幺243BA]A3BA2A^B414幺3,

一共有12種可能，兩張卡片正面圖案相同的有6種，

故從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案相同的概率是：1.

2

故選：D.

【點評】此題主要考查了樹狀圖法求概率，正確列舉出所有的可能是解題關鍵.

9.（3.00分）如圖，已知QAOBC的頂點0（0,0）,A（-1,2）,點B在x軸正

半軸上按以下步驟作圖：①以點。為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交邊。A,

OB于點D,E；②分別以點D,E為圓心，大于J_DE的長為半徑作弧，兩弧在N

2

AOB內交于點F；③作射線OF,交邊AC于點G,則點G的坐標為（）

A.（代T,2）B.（依，2）C.（3-遙，2）D.（遙-2,2）

【分析】依據勾股定理即可得到RtAAOH中，AO=^,依據NAGO=NAOG,即

可得至UAG=AO=遙，進而得出HG=J^-1,可得G（依-1,2）.

【解答】解：?.?□AOBC的頂點。（0,0）,A（-1,2）,

；.AH=1,H0=2,

.?.Rt/XAOH中，A0=遙,

由題可得，OF平分NAOB,

Z.ZAOG=ZEOG,

又YAGaOE,

/.ZAGO=ZEOG,

/.ZAGO=ZAOG,

/.AG=A0='/5>

/.HG=V5-1，

AG（V5-1-2）,

故選:A.

【點評】本題主要考查了角平分線的作法，勾股定理以及平行四邊形的性質的運

用，解題時注意：求圖形中一些點的坐標時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求

出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規律.

10.(3.00分)如圖1,點F從菱形ABCD的頂點A出發，沿A玲D>B以lcm/s

的速度勻速運動到點B,圖2是點F運動時，△FBC的面積y(cm?)隨時間x(s)

變化的關系圖象，則a的值為()

A.遍B.2C.D.2辰

【分析】通過分析圖象，點F從點A到D用as,此時，△FBC的面積為a,依此

可求菱形的高DE,再由圖象可知，BD=旄，應用兩次勾股定理分別求BE和a.

【解答】解：過點D作DE_LBC于點E

由圖象可知，點F由點A到點D用時為as,△FBC的面積為acnrA

/.AD=a

.1

??yDE*AD=a

DE=2

當點F從D到B時，用代s

?，?BD

RtADBE中,

BE=7BD2-BE2=7(V5)2-22=1

VABCD是菱形

/.EC=a-1,DC=a

RtADEC中，

a2=22+(a-1)2

解得a=$

故選：C.

【點評】本題綜合考查了菱形性質和一次函數圖象性質，解答過程中要注意函數

圖象變化與動點位置之間的關系.

二、細心填一填（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分，請把答案填在答

題卷相應題號的橫線上）

11.（3.00分）計算：|-5|-2.

【分析】直接利用二次根式以及絕對值的性質分別化簡得出答案.

【解答】解：原式=5-3

=2.

故答案為：2.

【點評】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵.

12.（3.00分）如圖，直線AB,CD相交于點。，EOLAB于點0,NEOD=50。，

則NBOC的度數為140°.

E

AD

O

LB

【分析】直接利用垂直的定義結合互余以及互補的定義分析得出答案.

【解答】解：..?直線AB,CD相交于點。，EO_LAB于點0,

/.ZEOB=90°,

VZEOD=50°,

AZBOD=40°,

則NBOC的度數為：180°-40°=140°.

故答案為：140。.

【點評】此題主要考查了垂直的定義、互余以及互補的定義，正確把握相關定義

是解題關鍵.

13.（3.00分）不等式組卜+5>2的最小整數解是」

[4-x>3

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可得出答案.

【解答】解：付5>2①

?.?解不等式①得：x>-3,

解不等式②得：xWl,

二不等式組的解集為-3<xWl,

...不等式組的最小整數解是-2,

故答案為：-2.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數解，能根據不等式的

解集得出不等式組的解集是解此題的關鍵.

14.（3.00分）如圖，在Z^ABC中,ZACB=90°,AC=BC=2,將△ABC繞AC的中

點D逆時針旋轉90。得到△ABC,其中點B的運動路徑為錨■片，則圖中陰影部

分的面積為反兀.

~2-

【分析】利用弧長公式|_=空衛工，計算即可.

180

【解答】解：AABC繞AC的中點D逆時針旋轉90。得到△A'BC,此時點A在斜

邊AB上，CA'_LAB,

DB，=^12+22=V5?

AB=、J22+2&2*^^,

9QK

.?.SBI=X5-1X24-2-（2&-&）X亞+2=&一旦.

360242

B'

【點評】本題考查旋轉變換、弧長公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識

解決問題，屬于中考常考題型.

15.（3.00分）如圖，NMAN=90。，點C在邊AM上，AC=4,點B為邊AN上一

動點，連接BC,△ABC與aABC關于BC所在直線對稱，點D,E分別為AC,BC

的中點，連接DE并延長交AB所在直線于點F,連接AE當AAEF為直角三角

形時，AB的長為4g或4.

【分析】當△AEF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當NA'EF=90。時，如圖1,根據對稱的性質和平行線可得：A'C=A'E=4,根據直

角三角形斜邊中線的性質得：BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的長；

②當NA'FE=90。時，如圖2,證明^ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

【解答】解：當△AEF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當NA'EF=9。時,如圖1,

「△ABC與aABC關于BC所在直線對稱，

.*.A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

?.?點D,E分別為AC,BC的中點，

AD.E是AABC的中位線，

；.DE〃AB,

.,.ZCDE=ZMAN=90°,

/.ZCDE=ZA'EF,

AAC^A'E,

/.ZACB=ZA'EC,

:.ZA'CB=ZA'EC,

.*.A'C=A'E=4,

RtAA'CB中，VE是斜邊BC的中點，

.?.BC=2A'B=8,

由勾股定理得:AB2=BC2-AC2,

?,?AB=^2^2=4V3；

②當NA'FE=90。時，如圖2,

,/ZADF=ZA=ZDFB=90°,

.,.ZABF=90°,

AA^C與4ABC關于BC所在直線對稱，

，ZABC=ZCBA'=45°,

.??△ABC是等腰直角三角形，

，AB=AC=4；

綜上所述，AB的長為4dm或4；

故答案為：或4；

【點評】本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對稱的性質、等腰直角

三角形的判定、直角三角形斜邊中線的性質，并利用分類討論的思想解決問題.

三、計算題（本大題共8題，共75分，請認真讀題）

16.（8.00分）先化簡，再求值：（-1--1）,其中x=J分1.

x+1x2-l

【分析】根據分式的運算法則即可求出答案，

【解答】解：當時，

原式=-x?（x+l）（X-1）

x+1X

=1-X

=-V2

【點評】本題考查分式的運算，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬

于基礎題型.

17.（9.00分）每到春夏交替時節，雌性楊樹會以滿天飛絮的方式來傳播下一代,

漫天飛舞的楊絮易引發皮膚病、呼吸道疾病等，給人們造成困擾，為了解市民對

治理楊絮方法的贊同情況，某課題小組隨機調查了部分市民（問卷調查表如表所

示），并根據調查結果繪制了如下尚不完整的統計圖.

治理楊絮一一您選哪一項？（單選）

A.減少楊樹新增面積，控制楊樹每年的栽種量

B.調整樹種結構，逐漸更換現有楊樹

C.選育無絮楊品種，并推廣種植

D.對雌性楊樹注射生物干擾素，避免產生飛絮

E.其他

調查結果扇形統計圖人蛛調查結果條形統計圖

解答下列問題:

（1）本次接受調查的市民共有2000人;

（2）扇形統計圖中，扇形E的圓心角度數是28.8。；

（3）請補全條形統計圖；

（4）若該市約有90萬人，請估計贊同"選育無絮楊品種，并推廣種植"的人數.

【分析】（1）將A選項人數除以總人數即可得；

（2）用360。乘以E選項人數所占比例可得；

（3）用總人數乘以D選項人數所占百分比求得其人數，據此補全圖形即可得;

（4）用總人數乘以樣本中C選項人數所占百分比可得.

【解答】解:（1）本次接受調查的市民人數為300+15%=2000人，

故答案為：2000；

（2）扇形統計圖中，扇形E的圓心角度數是360。義上結28.8。，

2000

故答案為：28.8。；

(3)D選項的人數為2000X25%=500,

調好果球統計圖

（4）估計贊同"選育無絮楊品種，并推廣種植"的人數為90X40%=36（萬人）.

【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用.讀懂統計圖，從不

同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每

個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

18.（9.00分）如圖，反比例函數y=K（x>0）的圖象過格點（網格線的交點）P.

X

（1）求反比例函數的解析式；

（2）在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個矩形（不寫畫法），要求每個矩形均需滿

足下列兩個條件：

①四個頂點均在格點上，且其中兩個頂點分別是點。，點P;

②矩形的面積等于k的值.

【分析】（1）將P點坐標代入y=K,利用待定系數法即可求出反比例函數的解析

x

式；

（2）根據矩形滿足的兩個條件畫出符合要求的兩個矩形即可.

【解答】解：（1）?.?反比例函數y=K（x>0）的圖象過格點P（2,2）,

X

..k=2X2=4,

???反比例函數的解析式為y=l；

x

（2）如圖所示：

矩形OAPB、矩形OCDP即為所求作的圖形.

【點評】本題考查了作圖-應用與設計作圖，反比例函數圖象上點的坐標特征,

待定系數法求反比例函數解析式，矩形的判定與性質，正確求出反比例函數的解

析式是解題的關鍵.

19.（9.00分）如圖，AB是。0的直徑，DOLAB于點0,連接DA交@。于點C,

過點C作。0的切線交DO于點E,連接BC交DO于點F.

（1）求證：CE=EF；

（2）連接AF并延長，交。。于點G.填空：

①當ND的度數為30。時,四邊形ECFG為菱形；

②當ND的度數為22.5。時,四邊形ECOG為正方形.

【分析】（1）連接。C,如圖，利用切線的性質得N1+如4=90。,再利用等腰三角

形和互余證明Nl=/2,然后根據等腰三角形的判定定理得到結論；

(2)①當ND=30。時，ZDAO=60°,證明4CEF和4FEG都為等邊三角形，從而

得到EF=FG=GE=CE=CF,則可判斷四邊形ECFG為菱形；

②當ND=22.5。時，ZDAO=67.5°,利用三角形內角和計算出NCOE=45。，利用對

稱得/EOG=45°,則NCOG=90。，接著證明△OEC絲ZSOEG得到NOEG=NOCE=90°,

從而證明四邊形ECOG為矩形，然后進一步證明四邊形ECOG為正方形.

【解答】(1)證明：連接0C,如圖，

VCE為切線，

AOC1CE,

.,.ZOCE=90°,即Nl+N4=90°,

VDO±AB,

.,.Z3+ZB=90",

而N2=N3,

，N2+NB=90°,

而OB=OC,

，Z4=ZB,

AZ1=Z2,

，CE=FE；

(2)解:①當ND=30°時,ZDAO=60°,

而AB為直徑，

Z.ZACB=90°,

.,.ZB=30°,

/.Z3=Z2=60o,

而CE=FE,

.".△CEF為等邊三角形，

；.CE=CF=EF,

同理可得NGFE=60°,

利用對稱得FG=FC,

VFG=EF,

.,.△FEG為等邊三角形,

，EG=FG,

，EF=FG=GE=CE,

...四邊形ECFG為菱形；

②當ND=22.5°時，ZDAO=67.5°,

而OA=OC?

/.ZOCA=ZOAC=67.5°,

，ZAOC=180°-67.5°-67.5°=45°,

Z.ZAOC=45°,

/.ZC0E=45o,

利用對稱得NEOG=45。，

.?.ZCOG=90°,

易得AOEC絲AOEG,

.,.ZOEG=ZOCE=90°,

四邊形ECOG為矩形，

而OC=OG,

...四邊形ECOG為正方形.

故答案為30。，22.5°.

【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.若出現圓的

切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系.也考查了菱形和正方形

的判定.

20.（9.00分）"高低杠”是女子體操特有的一個競技項目，其比賽器材由高、低

兩根平行杠及若干支架組成，運動員可根據自己的身高和習慣在規定范圍內調節

高、低兩杠間的距離.某興趣小組根據高低杠器材的一種截面圖編制了如下數學

問題，請你解答.

如圖所示，底座上A,B兩點間的距離為90cm.低杠上點C到直線AB的距離CE

的長為155cm,高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm,已知低杠的支

架AC與直線AB的夾角NCAE為82.4°,高杠的支架BD與直線AB的夾角NDBF

為80.3°.求高、低杠間的水平距離CH的長.（結果精確到1cm,參考數據sin82.4°

=0.991,cos82.4°—.132,tan82.4°^7.500,sin80.3o^0.983,cos80.3°^0.168,

tan80.3°=5.850)

【分析】利用銳角三角函數，在RtAACE和RtADBF中，分別求出AE、BF的長.計

算出EF.通過矩形CEFH得到CH的長.

【解答】解：在RtAACE中，

tanZCAE=^..

AE

/.AE="13旦弋21(cm)

tan/CAEtan82.407.5

在RtADBF中,

VtanZDBF=DL,

BF

BF=DF=234234_40(cm)

tan/DBFtan80.3°5.85

VEF=EA+AB+BF^21+90+40=151(cm)

VCE±EF,CH_LDF,DF±EF

四邊形CEFH是矩形，

.*.CH=EF=151cm

答：高、低杠間的水平距離CH的長為151cm.

【點評】本題考查了銳角三角函數解直角三角形.題目難度不大，注意精確度.

21.（10.0。分）某公司推出一款產品，經市場調查發現，該產品的日銷售量y（個）

與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系關于銷售單價，日銷售量，日銷售利

潤的幾組對應值如表：

銷售單價X（元）8595105115

日銷售量y（個）17512575m

日銷售利潤w（元）87518751875875

（注：日銷售利潤=日銷售量義（銷售單價-成本單價））

（1）求y關于x的函數解析式（不要求寫出x的取值范圍）及m的值；

（2）根據以上信息，填空：

該產品的成本單價是80元,當銷售單價x=100元時,日銷售利潤w最大,

最大值是2000元；

（3）公司計劃開展科技創新，以降低該產品的成本，預計在今后的銷售中，日

銷售量與銷售單價仍存在（1）中的關系.若想實現銷售單價為90元時，日銷售

利潤不低于3750元的銷售目標，該產品的成本單價應不超過多少元？

【分析】（1）根據題意和表格中的數據可以求得y關于x的函數解析式；

（2）根據題意可以列出相應的方程，從而可以求得生產成本和w的最大值；

（3）根據題意可以列出相應的不等式，從而可以取得科技創新后的成本.

【解答】解；（1）設y關于x的函數解析式為丫=1?+13,

185k+b=175,得［k=-5,

l95k+b=125，'ib=600'

即y關于x的函數解析式是y=-5x+600,

當x=115時，y=-5X115+600=25,

即m的值是25；

（2）設成本為a元/個，

當x=85時，875=175X（85-a）,得a=80,

w=（-5x+600）（x-80）=-5X2+1000X-48000=-5（x-100）2+2000,

.?.當x=100時，w取得最大值，此時w=2000,

故答案為：80,100,2000；

（3）設科技創新后成本為b元，

當x=90時，

（-5X90+600）（90-b）23750,

解得,bW65,

答：該產品的成本單價應不超過65元.

【點評】本題考查二次函數的應用、一元二次方程的應用、不等式的應用，解答

本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用函數和數形結合的思想

解答.

22.（10.00分）（1）問題發現

如圖1,在△OAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40°,連接AC,

BD交于點M.填空：

①蛇的值為1；

BD

②NAMB的度數為40。.

（2）類比探究

如圖2,在△OAB和△（＞：口中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,連接AC

交BD的延長線于點M.請判斷池的值及NAMB的度數，并說明理由；

BD

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將aOCD繞點。在平面內旋轉，AC,BD所在直線交于點M,

若OD=1,OB=VT，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長.

【分析】（1）①證明4COA且ZXDOB（SAS）,得AC=BD,比值為1；

②由△COA^^DOB,得NCAO=NDB。，根據三角形的內角和定理得：ZAMB=180°

-(ZDBO+ZOAB+ZABD)=180°-140°=40°；

(2)根據兩邊的比相等且夾角相等可得△A0Cs/\B0D,則或烏代，由全等

BD0D

三角形的性質得NAMB的度數；

(3)正確畫圖形，當點C與點M重合時，有兩種情況：如圖3和4,同理可得:

△AOC^ABOD,則NAMB=90。，￡=反，可得AC的長.

【解答】解：(1)問題發現

①如圖1,VZAOB=ZCOD=40",

/.ZCOA=ZDOB,

VOC=OD,OA=OB,

/.△COA^ADOB(SAS),

/.AC=BD,

???■■AC—-X1,

BD

②;△COA絲△DOB,

/.ZCAO=ZDBO,

,/ZAOB=40°,

/.ZOAB+ZABO=140o,

在aAMB中，ZAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+ZABD)=180°-(ZDBO+ZOAB+

ZABD)=180°-140°=40°,

故答案為：①1;②40。；

(2)類比探究

如圖2,心愿，ZAMB=90°,理由是：

BD

Rt-OD中，ZDCO=30°,ZDOC=90°,

?0D+鐘。炳

,,oTtan3°千'_

同理得：得tan300普,

0A3

?0D0B

,?頁/，

VZAOB=ZCOD=90°,

/.ZAOC=ZBOD,

.,.△AOC^ABOD,

...AC=℃=痣ZCAO=ZDBO,

BD-OD

在AAMB中，ZAMB=180°-(ZMAB+ZABM)=180°-(ZOAB+ZABM+ZDBO)

=90°；

(3)拓展延伸

①點C與點M重合時，如圖3,同理得：△AOCS/XBOD,

/.ZAMB=90°,至二反，

設BD=x,則AC=<73X,

RtZ\COD中，ZOCD=30°,OD=1,

，CD=2,BC=x-2,

RtZ\AOB中，ZOAB=30°,OB母,

，AB=2OB=2j7，

在RtAAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(V3X)2+(X-2)2=(2V?)2,

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

Xi=3,X2=-2,

，AC=3我；

②點C與點M重合時，如圖4,同理得：NAMB=90。，￡第，

設BD=x,則AC=J§x,

在RtZ\AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(V3X)2+(X+2)2=(2邛)2

x2+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

Xj-—3,X2=2,

，AC=2我；

綜上所述，AC的長為3b或2b.

c

o

【點評】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質和判定，

幾何變換問題，解題的關鍵是能得出：△AOCS^BOD,根據相似三角形的性質,

并運用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題目.

23.(11.00分)如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A,B兩點，交y軸于點C.直

線y=x-5經過點B,C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點A的直線交直線BC于點M.

①當AM_LBC時，過拋物線上一動點P(不與點B,C重合)，作直線AM的平行

線交直線BC于點Q,若以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點

P的橫坐標；

②連接AC,當直線AM與直線BC的夾角等于NACB的2倍時，請直接寫出點M

的坐標.

【分析】(1)利用一次函數解析式確定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定

系數法求拋物線解析式；

(2)①先解方程-x2+6x-5=0得A(1,0),再判斷△OCB為等腰直角三角形得

到NOBC=/OCB=45。，則AAMB為等腰直角三角形，所以AM=2&,接著根據平

行四邊形的性質得到PQ=AM=2&,PQJ_BC,作PD±x軸交直線BC于D,如圖

1,利用NPDQ=45。得至I」PD=y^PQ=4,設P(m,-m2+6m-5),則D(m,m-5),

討論：當P點在直線BC上方時，PD=-m2+6m-5-(m-5)=4；當P點在直線

BC下方時，PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分別解方程即可得到P點的橫坐

標；

②作AN_LBC于N,NH_Lx軸于H,作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E,

如圖2,利用等腰三角形的性質和三角形外角性質得到NAM$=2NACB,再確定

N(3,-2),

AC的解析式為y=5x-5,E點坐標為(/，-|),利用兩直線垂直的問題可設直

線EM】的解析式為y=-4+b,把E(1,-1)代入求出b得到直線EM】的解析

522

(y=x-5

式為y=-L-」2,則解方程組112得Mi點的坐標；作直線BC上作點

55y=-x

55

Mi關于N點的對稱點Mz，如圖2,利用對稱性得到NAM2C=NAMIB=2NACB,

13+x

設M2(x,x-5),根據中點坐標公式得到3=-§」，然后求出x即可得到M2的

2

坐標，從而得到滿足條件的點M的坐標.

【解答】解：(1)當x=0時，y=x-5=-5,則C(0,-5),

當y=0時，x-5=0,解得x=5,貝B(5,0),

把B(5,0),C(0,-5)代入y=ax?+6x+c得125a+30+c=0,解得(a=-l,

lc=-5lb=-5

.?.拋物線解析式為y=-X2+6X-5；

(2)①解方程-x?+6x-5=0得x1=l,X2=5,則A(1,0),

VB(5,0),C(0,-5),

AAOCB為等腰直角三角形，

AZOBC=ZOCB=45",

VAM1BC,

...△AMB為等腰直角三角形，

/.AM=除AB=^X4=2&,

?.?以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形