備考2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題21圓

一、選擇題

L“萊洛三角形”是機械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，轉(zhuǎn)子發(fā)動機的設(shè)計就是利用了萊洛三

角形.它是分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作弧形成的圖形，如圖2所示.若正三角

形的邊長為3,則該“萊洛三角形”的面積為（）

A97r9V39兀9V3「9TT9V39TT9V3

"22-R"4丁+丁N丁+丁

2.如圖，是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的月牙問題，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分

別為Rt^ABC的三條邊，若BC=12，乙4cB=30。，則陰影部分的面積為（）

A.18V3-7TB.18V3C.18V3+2TCD.8V3+27T

3.如圖1,是清代數(shù)學(xué)家李之鉉在他的著作《幾何易簡集》中研究過的一個圖形，小圓同學(xué)在研究該

圖形后設(shè)計了圖2,延長正方形ABCD的邊BC至點M,作矩形ABMN,以BM為直徑作半圓0交.CD

于點E,以CE為邊做正方形CEFG,G在上，記正方形ABCD,正方形CEFG,矩形CMND的面

C

積分別為S】,S2,S3,則在=)

圖1圖2

A3+*/^B1+V^C3+7^2口1+V2

''~^2~'~T~'~^2~

4.弧三角形，又叫萊洛三角形，是機械字家萊洛首先進行研究的.弧三角形是這樣畫的：先畫正三角

形，然后分別以三個頂點為圓心，（曉觀數(shù)學(xué)）其邊長為半徑畫弧得到的三角形.在大片的麥田或農(nóng)田

中，由農(nóng)作物倒?fàn)钚纬傻膸缀螆D案被稱為‘'麥田怪圈''.圖1中的麥田怪圈主要由圓和弧三角形構(gòu)成，某

研究小組根據(jù)照片嘗試在操場上繪制類似的圖形.如圖2,成員甲先借繩子繞行一周畫出。。，再將

Q0三等分，得到A,B,C三點.接著，成員乙分別以A,B,C為圓心畫出圖中的弧三

角形.研究小組在A,B,C,0四點中的某一點放置了檢測儀器，記成員甲所在的位置為P,

成員乙所在的位置為Q,若將射線0B繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過甲或乙的旋轉(zhuǎn)角記為自變量%

（單位：°,0<%<360）,甲、乙兩人到檢測儀器的距離分別記為yi和y2（單位：m）,繪

制出兩個函數(shù)的圖象（如圖3）.

結(jié)合以上信息判斷，下列說法中錯誤的是（）

6x/3

國3

A.QO的半徑為6mB.圖3中a的值為270

C.當(dāng)x=60時，yi取得最大值12D.檢測儀器放置在點A處

二'填空題

5.（新知探究）新定義：平面內(nèi)兩定點A,B,所有滿足學(xué)=k（k為定值）的P點形成的圖形是

圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”,

（問題解決）如圖，在AABC中，CB=4,AB=2AC,則4ABC面積的最大值為

6.如圖，A,B,C為。O上相鄰的三個n等分點，協(xié)=元，點E在比上，EF為。。的直徑，

將。O沿EF折疊，使點A與A唯合，點B與重合，連接EB\EC,EA\設(shè)EB，=b,EC=c,EAr=p.現(xiàn)

探究b,c,p三者的數(shù)量關(guān)系：發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=3時，p=b+c.請繼續(xù)探究b,c,p三者的數(shù)量關(guān)系：當(dāng)n=4

時，p=；當(dāng)n=12時,p=.

（參考數(shù)據(jù)：$m15。=儂75。=字,cosl5°=sin75-早）

7.【定義新知】

如圖1,C,。是。。上兩點，且在直徑AB的上方，若直徑力B上存在一點P,連接CP、DP,滿

足N4PC=Z.BPD,貝I］稱NCPD是的“幸運角

（1）【問題探究】如圖2,4B是。。的直徑，弦CE14B,。是BC上的一點，連接0E交ZB于

點P,連接CP.

①NCPD是CD的“幸運角”嗎？請說明理由；

②設(shè)CD所對的圓心角為n,請用含n的式子表示CD的“幸運角”的度數(shù)；

（2）【拓展延伸】如圖3,在（1）的條件下，若直徑ZB=10,CD的“幸運角”為90。，DE=8,

求CE的長.

8.【問題呈現(xiàn)】小華在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題:

點4為。。內(nèi)一定點，點P為。。上一動點，確定點P的位置，使線段AP最長.

(1)【問題解決】以下是小華的方法:

如圖①，連結(jié)力。并延長交。。于點P,點P為所求.

理由如下：在。。上取點P’(異于點P),連結(jié)4P'、0P'.

接下來只需證明4P>4P'.

請你補全小華的證明過程.

(2)【類比結(jié)論】點4為。。外一定點，點P為。。上一動點，設(shè)。。的半徑為r,AO的長為m,

則線段4P長度的最大值為,線段4P長度的最小值為.(用含r、TH的代數(shù)式表

示)

(3)【拓展延伸】如圖②，在半圓。中，直徑的長為10,點。在半圓。上，力。=6,點C

在前)上運動，連結(jié)2C,"是4c上一點，且ZCHC=9O。，連結(jié)BH.在點C運動的過程中，線段

長度的最小值為.

9.定義：當(dāng)點尸在射線。4上時，把黑的值叫做點尸在射線。4上的射影值；當(dāng)點尸不在射線。4

上時，把射線04上與點尸最近點的射影值，叫做點尸在射線04上的射影值.

例如：如圖1,△。48三個頂點均在格點上，8尸是。4邊上的高，則點尸和點5在射線。4上的

射影值均為黑

Czzl

(1)在△0/8中，

①點B在射線OA上的射影值小于1時，則△。48是銳角三角形；

②點B在射線OA上的射影值等于1時，則是直角三角形；

③點B在射線OA上的射影值大于1時，則△048是鈍角三角形.

其中真命題有▲.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

(2)已知：點C是射線。4上一點，CA=OA=1,以O(shè)為圓心，0/為半徑畫圓，點3是。。上

任意點.

①如圖2,若點8在射線。/上的射影值為最求證：直線5c是。。的切線；

②如圖3,已知。為線段3c的中點，設(shè)點。在射線。4上的射影值為x,點。在射線上的射

影值為外直接寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為.

10.

（1）知識重現(xiàn)：如圖1,我們已經(jīng)分三種情況探究了一條弧所對的圓周角NB2C和它所對的圓心

角NBOC的數(shù)量關(guān)系.

圖1

①直接寫出ZB4C和ZBOC的數(shù)量關(guān)系▲.

②任選一種情況進行證明.

（2）遷移應(yīng)用：如圖2,已知△ABC內(nèi)接于。0,直線DE是O0切線，切點為A,求證：Z.CAE=

AABC.

11.綜合探究

（一）新知學(xué)習(xí)：

人教版數(shù)學(xué)九年級上教材第119頁《探究四點共圓的條件》發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果

四邊形對角互補，那么這個四邊新內(nèi)接于圓（即如果四邊形瓦’G〃的對角互補，那么四邊形EFGH的

四個頂點E、F、G、8都在同個圓上）.

（二）問題解決：

已知。。的半徑為2,AB,CC是。。的直徑，尸是BC上任意一點，過點尸分別作力B,CC的垂

線，垂足分別為N,M.

（1）若直徑AB_LCD（如圖1）,在點P（不與8、C重合）從3運動到C的過程中，MN的長是

否為定值，若是，請并求出其定值；若不是，請說明理由.

（2）若直徑4B與CD相交成120。角，當(dāng)點尸（不與3、C重合）從8點運動到C的過程中（如

圖2）,證明MN的長為定值.

（3）試問當(dāng)直徑與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值.

12.

（1）【基礎(chǔ)鞏固】

如圖1,點A,F,B在同一直線上，若乙4=NB=NEFC,求證：△AFE~ABCF；

（2）【嘗試應(yīng)用】

如圖2,AB是半圓。。的直徑，弦長47=BC=4,E,F分別是AC,AB上的一點，NCFE=45°,

若設(shè)BF=%，AE=y,求出y與久的函數(shù)關(guān)系.

（3）【拓展提高】

已知。是等邊△ABC邊AB上的一點，現(xiàn)將A/BC折疊，使點C與。重合，折痕為EF,點E,F

分別在AC和BC上.如圖3,如果4。：BD=1：n,求CE：CF的值（用含n的代數(shù)式表示）.

13.先閱讀材料，再解答問題：

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的角時了解到：在同圓或等圓中，同弧（或等弧）所對的圓周角相等.如

圖1,點aB,C,。均為。。上的點，則有ZC=20.小明還發(fā)現(xiàn)，若點￡在o。外，且與點D

在直線2B同側(cè)，則有乙D>N￡

請你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問題:

yk

問題：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，點/的坐標(biāo)為(0,10),點3的坐標(biāo)為(0,4),點C的

坐標(biāo)為(2,0).

(1)在圖2中作出△ABC的外接圓(保留必要的作圖痕跡，不寫作法)，并求出此圓與x軸的另

一個交點的坐標(biāo)；

(2)點P為x軸正半軸上的一個動點，連接AP、BP,當(dāng)乙4PB達到最大時，直接寫出此時點尸

的坐標(biāo).

14.有關(guān)阿基米德折弦定理的探討與應(yīng)用

(1)［問題呈現(xiàn)］

阿基術(shù)德折弦定理：如圖①，AB和BC是。。的兩條弦(即折線AB-BC是圓的一條折弦)，BO

AB,點M是2BC的中點，則從點M向BC作垂線，垂足D是折弦ABC的中點，即CD=DB+BA.

下面是運用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程.

證明：如圖②，在CD上截取CE=AB,連接MA、MB、MC和ME.

YM是ZBC的中點，；.MA=MC.

請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分.

（2）［理解運用］

如圖③,AABC內(nèi)接于。O,過點O作ODLAB于點D,延長DO交。O于點E,過點E作EFXAC

于點E若AC=10,BC=4,則CF的長為

（3）［實踐應(yīng)用］

如圖④，等邊4ABC內(nèi)接于。O,點D是AC上一點，且NABD=45。，連接CD.若AB=2,MABDC

的周長為_________

15.定義：兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形叫做“青竹三角形”.如圖甲所示,

在aABC和4DEF中，若乙4+2E=ZB+AD=90°,S.AB=DE,則△ABC和DEF是“青竹三角

形

A

（1）下列四邊形中，一定能被一條對角線分成兩個“青竹三角形”的是.（填序號）

①平行四邊形②矩形③菱形④正方形

（2）如圖乙所示，在AABC中，乙4cB=90°,AC=BC,點。是AB上任意一點（不與點A,B

重合），設(shè)AD,BD,CD的長分別為a,b,c,請寫出圖中的一對“青竹三角形”，并用含a,b的式子

來表示。2.

（3）如圖丙所示，。。的半徑為4,四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，且和△4DC是“青

竹三角形”.

①求+BC2的值；

②若AABC=75°,求△4BC和△4DC的周長之差.

16.若凸四邊形的兩條對角線所夾銳角為60。，我們稱這樣的凸四邊形為“美麗四邊形”.

(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美麗四邊形”的有;

②若矩形是“美麗四邊形"，且2B=1,貝IJBC=；

(2)如圖1,“美麗四邊形"ABCD內(nèi)接于與BC相交于點P,且對角線力C,為直徑,AP=2,

PC=8,求另一條對角線BD的長；

(3)如圖2,平面直角坐標(biāo)系中，已知“美麗四邊形"BCD的四個頂點4(一2,0),C(l,0),B

在第三象限,D在第一象限,AC與BD交于點0,且四邊形ABCD的面積為6百,若二次函數(shù)y=a/+

bx+c(a>b、c為常數(shù)，且a。0)的圖象同時經(jīng)過這四個頂點，求a的值.

(1)【感知】如圖①，點A、B、P均在。。上，AAOB=90°,貝I」銳角乙4PB的大小為度.

(2)【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，。。是等邊三角形4BC的外接圓，點P在2C上

(點P不與點A、C重合)，連結(jié)R4、PB、PC.求證：PB=PA+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長P4至點E,

使4E=PC,連結(jié)BE,通過證明APBC三AEBA,可推得PBE是等邊三角形，進而得證.

下面是小明的部分證明過程:

證明：延長PA至點E,使4E=PC,連結(jié)BE,

???四邊形2BCP是。。的內(nèi)接四邊形,

乙BAP+乙BCP=180°.

???ABAP+ABAE=180°,

Z.BCP=乙BAE.

???△4BC是等邊三角形.

??.BA=BC,

???△PBC三△EBARAS）

請你補全余下的證明過程.

（3）【應(yīng)用】如圖③，。。是△力BC的外接圓，-1BC=9O。，4B=BC,點P在。。上，且點P

與點B在4C的兩側(cè)，連結(jié)P4PB、PC.若PB=2&PA，則器的值為

p

（圖2）（圖3）

如圖1,。。是等腰△48C的外接圓，AB=AC,在元上取一點尸，連結(jié)4P,BP,CP.求證：ZAPB

ZPAC+ZPCA；

（2）【思考探究】

如圖2,在（1）條件下，若點尸為公的中點，AB=6,尸3=5,求為的值;

（3）【拓展延伸】

如圖3,。。的半徑為5,弦BC=6,弦CP=5,延長4P交的延長線于點￡,且NABP=NE,

求4PWE的值.

19.如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點，點4B、C、。、

M均為格點.

（1）【操作探究】在數(shù)學(xué)活動課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相

垂直的線段ZB、CD,相交于點P并給出部分說理過程，請你補充完整:

解：在網(wǎng)格中取格點E,構(gòu)建兩個直角三角形，分別是AABC和ACDE.

1

在RtAABC中,tanZ-BAC=,

在RtaCDE中，,

所以tanZ-BAC—tanzDCE.

所以NB4C=NDCE.

因為//CP+NDCE=ZACB=90°,

所以N4CP+NBAC=90。，

所以N4PC=90°,

即ABVCD.

(2)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點。為圓心，AB為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在BM

上找出一點P,使=寫出作法，并給出證明：

(3)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點0為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點

PMAM2=AP-AB,寫出作法，不用證明.

20.【問題提出】

如圖1,。。與直線a相離，過圓心。作直線a的垂線，垂足為H,且交。。于P、Q兩點(Q

在P、H之間).我們把點P稱為。。關(guān)于直線a的“遠點”,把PQ?的值稱為。0關(guān)于直線a的“遠

望數(shù)”.

(1)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系久0y中，點E的坐標(biāo)為(0,4),過點E畫垂直于y軸的直線血，

則半徑為1的。。關(guān)于直線m的“遠點”坐標(biāo)是,直線m向下平移個單位長

度后與O。相切.

(2)在(1)的條件下求。。關(guān)于直線小的“遠望數(shù)”.

(3)【拓展應(yīng)用】

如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線，經(jīng)過點M(6V5,0),與y軸交于點N,點F坐標(biāo)為(1,2),

以尸為圓心，。尸為半徑作0工若OF與直線，相離，。是OF關(guān)于直線I的“遠點”.且OF關(guān)于直

線/的“遠望數(shù)”是12遙，求直線1的函數(shù)表達式.

21.閱讀資料：如圖1,在平面之間坐標(biāo)系％0y中，A,B兩點的坐標(biāo)分別為力Qi，yi),B(X2,y2)>

由勾股定理得AB?=|久2—尢1|2+僅2—月|2,所以4B兩點間的距離為2B=

jQ2—%i)2+(y2—yi)2-我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點的集合，如圖2,在平面

直角坐標(biāo)系久。丫中，2(x,y)為圓上任意一點，則/到原點的距離的平方為。〃=|x-0|2+|y-0|2,

當(dāng)。0的半徑為r時，。0的方程可寫為：x2+y2-r2.

問題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P(a,b),半徑為r,那么OP的方程可以寫為(久一a)2+(y-h)2=r2.

綜合應(yīng)用：如圖3,OP與x軸相切于原點0,P點坐標(biāo)為(0,6),4是OP上一點，連接。4,

(1)求證是。P的切線；

(2)是否存在到四點0,P,A,B距離都相等的點Q?若存在，求Q點坐標(biāo)，并寫出以Q為圓心,

以。Q為半徑的。。的方程；若不存在，說明理由.

22.如圖

(D【根底鞏固】

如圖，在AABC中，。為上一點，乙4CQ=ZB.求證：AC2=AD-AB.

(2)【嘗試應(yīng)用】

如圖2,在菱形4BCD中，E,F分別為BC,DC上的點，且△E4F=去△BAD,射線4E交DC

的延長線與點M,射線AF交BC的延長線于點N.若4F=4,CF=2.AM=10.

求：?CM的長;

②FN的長.

(3)【拓展進步】

如圖3,在菱形ABCD中，4B=6,NB=60。，以點B為圓心作半徑為3的圓，其中點P是

圓上的動點，請直接寫出PD+^PC的最小值.

23.閱讀材料，某個學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)：在等腰AABC中，AD平分ZB4C,二2⑶二AC,BD=CD,

...第=罌，他們猜想：在任意A/BC中，一個內(nèi)角角平分線分對邊所成的兩條線段與這個內(nèi)角的兩

邊對應(yīng)成比例.

【證明猜想】如圖1所示，在AZBC中，AD平分NB4C,求證：器=器.

丹丹認(rèn)為，可以通過構(gòu)造相似三角形的方法來證明；

思思認(rèn)為，可以通過比較△ABD和^ACD面積的角度來證明.

(1)請你從上面的方法中選擇一種進行證明.

(2)【嘗試應(yīng)用】如圖2,。。是Rt△ABC的外接圓，點E是O。上一點(與B不重合，且ZB=AE,

連結(jié)4E,并延長AE,BC交于點D,H為AE的中點，連結(jié)BH交AC于點G,求益的值.

(3)【拓展提高】如圖3,在(2)的條件下，延長BH交。0于點F,若BE=EF,GH=%，求。。

的直徑(用x的代數(shù)式表示).

24.請閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

在數(shù)學(xué)探究課上，同學(xué)們在探索與圓有關(guān)的角的過程中發(fā)現(xiàn)這些角的兩邊都與圓相交，不斷

改變頂點的位置，可形成無數(shù)個角，而根據(jù)點和圓的位置關(guān)系可將這些角分為三類，分別是

頂點在圓上、圓外和圓內(nèi)的角結(jié)合教學(xué)課上學(xué)習(xí)的圓周角的概念，對頂點在圓外和圓內(nèi)的角

進行定義：頂點在圓外，兩邊與圓相交的角叫做圓外角.頂點在圓內(nèi)，兩邊都與圓相交的角叫

做圓內(nèi)角，如圖1,乙4P1B和乙4P2B分別是4B所對的圓外角和圓內(nèi)角.

圖3

（1）如圖1,在探究與圓有關(guān)的角時，運用的數(shù)學(xué)思想方法是:

A.公理化思想B.分類討論C.數(shù)形結(jié)合

（2）將勤奮小組的解題過程補充完整；

（3）如圖3,當(dāng)點P在O。內(nèi)時，乙4PB是48所對的一個圓內(nèi)角，延長4P交。。于點C,延長

BP交。。于點D,若設(shè)乙40B=zn。，CD所對的圓心角為n。，則乙4PB=°.

四'實踐探究題

25.小學(xué)階段，我們了解到圓：平面上到定點的距離等于定長的所有的點組成的圖形叫做圓。在一節(jié)

數(shù)學(xué)實踐活動課上，老師手拿著三個正方形硬紙板和幾個不同的圓形的盤子，他向同學(xué)們提出了這樣

一個問題：已知手中圓盤的直徑為13cm,手中的三個正方形硬紙板的邊長均為5cm,若將三個正方

形紙板不重疊地放在桌面上，能否用這個圓盤將其蓋?。繂栴}提出后，同學(xué)們七嘴八舌，經(jīng)過討論，

大家得出了一致性的結(jié)論是：本題實際上是求在不同情況下將三個正方形硬紙板無重疊地適當(dāng)放置，

圓盤能蓋住時的最小直徑.然后將各種情形下的直徑值與13cm進行比較，若小于或等于13cm就能蓋

住，反之，則不能蓋住.老師把同學(xué)們探索性畫出的四類圖形畫在黑板上，如圖所示.

(1)通過計算，在圖1中圓盤剛好能蓋住正方形紙板的最小直徑應(yīng)為cm.(填準(zhǔn)確數(shù)

(2)圖2能蓋住三個正方形硬紙板所需的圓盤最小直徑為cm,圖3能蓋住三個正方形

硬紙板所需的圓盤最小直徑為cm.(填準(zhǔn)確數(shù))

(3)拓展：按圖4中的放置，三個正方形放置后為軸對稱圖形，當(dāng)圓心。落在GH邊上時，圓的

直徑是多少，請你寫出該種情況下求圓盤最小直徑的過程，并判斷是否能蓋住.(計算中可能用到的數(shù)

據(jù)，為了計算方便，本問在計算過程中，根據(jù)實際情況最后的結(jié)果可對個別數(shù)據(jù)取整數(shù))

26.綜合與實踐

數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖，已知三只螞蟻A、B、C在半徑為1的。。上靜止不

動，第四只螞蟻P在。。上的移動，并始終保持乙4PC=ZCPB=60。.

A

備用圖

(1)請判斷AZBC的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請你回答這個結(jié)論：AZBC是

三角形；

(2)“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵丳在。。上的移動時，線段P4PB、PC三者

之間存在一種數(shù)量關(guān)系：請你寫出這種數(shù)量關(guān)系：▲,并加以證明；

(3)“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻M同時隨著螞蟻P的移動而移動，

且始終位于線段PC的中點，在這個運動過程中，線段BM的長度一定存在最小值，請你求出線段BM

的最小值是(不寫解答過程，直接寫出結(jié)果).

27.【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的

最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，乙4PB是點P對線段的視角.

(1)【應(yīng)用】

如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點4(2,V3),B(2,2V3),C(3,b)，則原點0對三角形4BC的

視角為;

(2)如圖③)，在直角坐標(biāo)系中，以原點0,半徑為2回圓。1，以原點0,半徑為4圓圓。2，證明:

圓。2上任意一點P對圓。1的視角是定值；

(3)【拓展應(yīng)用】

很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④.現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標(biāo)志性

建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45。的位置拍攝.現(xiàn)以建筑的中心為原點建

立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時天橋所在的直線的表達式為％=-5,正方形建筑的邊長為4,請直接寫出

直線上滿足條件的位置坐標(biāo).

28.小輝同學(xué)觀看2022卡塔爾世界杯時發(fā)現(xiàn)，優(yōu)秀的球員通常都能選擇最優(yōu)的點射門(僅從射門角

度大小考慮).這引起了小輝同學(xué)的興趣，于是他展開了一次有趣的數(shù)學(xué)探究.

Q

B

【提出問題】如圖所示.球員帶球沿直線BC奔向球門PQ,

探究：是否存在一個位置，使得射門角度最大.

【分析問題】因為線段PQ長度不變，我們聯(lián)想到圓中的弦和圓周角.

如圖1,射線與。。相交，點M,點A,點N分別在圓外、圓上、圓內(nèi)，連接

NP,NQ,AP,AQ,MP,MQ.

Cr

(1)如圖1,比較ZPMQ、APAQ,ZPNQ的大?。?用連接起來).

(2)如圖2,點A是射線BC上一動點(點A不與點B重合).證明：當(dāng)△APQ的外接圓。。與

射線BC相切時，NP4Q最大.

(3)【延伸拓展】在(2)的條件下，如果PQ=4,PB=5,tanB=2.當(dāng)乙P4Q最大時.證明：

"AQ=90°-ZS.

29.【閱讀理解】：如圖，在RtAABC中，a,b,c分別是41,乙B,NC的對邊，NC=90。，其外接圓

半徑為R.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinA=9sinB=—,可得.?？?c=2R,BPa=

Csi、nX-sinBsinTlsinB

盍=2R(規(guī)定sin90。=1).

?

(1)【探究活動】：如圖，在銳角△ABC中,a,b,c分別是乙4,ZB,NC的對邊，其外接圓半徑

為R，那么：--------------------盛(用＞,=或＜連接)，并說明理

由

A

■OB

(2)【初步應(yīng)用工事實上，以上結(jié)論適用于任意三角形.在乙4BC中，a,b,c分別是乙4,乙B,

NC的對邊.已知NB=30。，ZC=45°,b=VL求c.

(3)【綜合應(yīng)用】：如圖，在某次數(shù)學(xué)實踐活動中，小瑩同學(xué)測量一棟樓的高度，在A處用測

角儀測得地面點C處的俯角為45。，點D處的俯角為15。，B,C,D在一條直線上，且C,D兩點的

距離為100m,求樓的高度.(參考數(shù)據(jù)：V3?1.7,5皿15。=與生)

□

□

□

□

30.【問題探究】

(1)如圖1,在菱形ABC。中，AB=3,AFJ.BC于點F,FC=2,4尸與DB交于點N,則尸N

的長為_________

(2)如圖2,點M是正方形2BCD對角線47上的動點，連接BM,4H1BM于點H,連接CH.若

力B=2,在M點從C到A的運動過程中，求的最小值;

(3)【問題解決】

如圖3,某市欲規(guī)劃一塊形如矩形ABCD的休閑旅游觀光區(qū)，其中AB=800米，BC=600米，點E、

F是觀光區(qū)的兩個入口(點E、F分別為AB、CD的中點)，P,Q分別在線段4E,CF上，設(shè)計者欲

從P到Q修建綠化帶PQ,從B到H修建綠化帶綠化帶寬度忽略不計，且滿足FQ=2PE,點

H在PQ上，BH1PQ.為了方便市民游覽，計劃從D到H修建觀光通道根據(jù)設(shè)計要求，請你

幫助設(shè)計者求出觀光通道DH的最小值.

答案解析部分

L【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】竽

6.【答案】c+V2b；c+在署b

7.【答案】（1）解：①ZCPD是CD的“幸運角”.

理由：???AB是。0的直徑，弦CE14B,

EF=CF,PE=PC,

.■/.CPA=Z.EPA.

■：乙DPB=Z.EPA,

:.乙DPB=/.CPA,

:.乙CPD是CD的“幸運角”.

②???CD所對的圓心角為小

77

???Z,CED=~

???PC=PE,

ri

???乙CED=乙ECP=多

???乙CPD=乙CED+乙ECP=n,

CD的“幸運角”的度數(shù)為n.

（2）解:連接C。，DO,如圖3,

???。。的“幸運角''為90°,

???乙CPD=乙CPE=90°.

由(1)知PE=PC,

???MED=45°,貝Ik。。。=90°.

vAB=10,

OC=OD=5,

???CD-J52+52=5V2-

設(shè)PE=PC=%,貝!JPD=8-%,

?,?%2+(8—%)2=50,

解得：=1,冷=7，

CE=712+l2=&或CE=”+72=7V2-

8.【答案】(1)解：如圖①，連結(jié)4。并延長交。。于點P,點P為所求.

理由如下：在。0上取點P'(異于點P),連結(jié)力P'、OP'.

在△40PZ0P中，OA+OP'>APAP',

■：OP=OP',

OA+OP>AP',

即AP>AP'；

(2)m+r；m—r

(3)V73-3

9.【答案】(1)C

,/點B在射線OA上的射影值為最

.OH_1OB_1「A_CA—CRT

,,歡=W碇=2'CA-OA-OB-1,

.OH_OB

"'OB~'OC,

又：NBOH=NCOB,

.,.△BOH^ACOB,

.,.ZBHO=ZCBO=90°,

ABCXOB,

二直線BC是。O的切線;

（2）y=0<x<或y=2x_^（-1-<x<.

10.【答案】⑴解：①猜想：NB4C=*NB0C;

②證明：情況1,作直徑AD,:。?！=OB,/.Zl=Z3,：.ABOD=Zl+Z3=2/1,同理NC。。=2/2,

（情況1）（情況2）（情況3）

情況2,當(dāng)點O在NB/C的一邊時，'：0A=OC,.\Z1=Z2,由外角可得，ZBOC=Z1+Z2,

11

：.ABOC=2Z1,Azi=^ABOC,即NB4C=/B0C.

T青況3,VOX=OB,：.^OAB=ZOB71,：.^BOD=+Z0S4=2^OAB,同理zCOD=2zZZ4C,

/.Z.BOC=乙COD-乙BOD=2^DAC-2^OAB=24BAC,J.^BAC=*BOC.

三種情況任選一種

(2)解：作直徑AF,交O。于F,連接CF,

：DE為。。的切線，：.0A1DE,：.^CAE+AC=90°,

：AF為。。的直徑，：.^ACF=90°,：.^AFC+AFAC^90°,

：.AAFC=ACAE,"：/_CBA=^AFC,：./.CAE=AABC

11.【答案】(1)如圖1,

c

圖i

???AB1OC,即NBOC=90。，

???LBOC=APMO=乙PNO=90°,

???四邊形PMON是矩形，

MN=OP=2,

??.MN的長為定值，該定值為2；

(2)設(shè)四邊形PMON的外接圓為。。'，連接N。'并延長,

交。。'于點Q,連接QM,如圖3,

圖3

則有ZQMN=90°,乙MQN=乙MPN=60°,

在Rt△QMN中，sinNMQN=辨，

MN=QN-sinAMQN,

MN=OP-sin乙MQN=2xsin60°=2x亭=后

MN是定值.

（3）由（2）得MN=OP-sin^MQN=2sin乙MQN.

當(dāng)直徑ZB與CD相交成90。角時，ZMQN=180?！?0。=90。，MN取得最大值2.

12.【答案】（1）證明：：NA=NEFC,

乙E+Z-EFA=Z.EFA+Z-CFB,

???乙E=Z-CFB,

??.△AFE^△BCF；

(2)解：???AB是。。的直徑，

:.Z-ACB=90°,

???AB=y/AC2+BC2=4V2,

???AC=BC,

/.A=Z-B=45,

：.Z-A=Z.B=Z.CFE=45°,

由(1)可得△AFEs/XBCF,

AE_XF

'"BF='BC，

即y-4&—%

x4'

△AFE^ABCF,

1

???y=-4/+V2x(0<x<4V2)；

(3)解：連接DE,DF,

A

區(qū)

B/FC

圖3

EFC-^AEFD關(guān)于EF對稱，

Z.EDF=Z.ECF=60°,EC=ED,FC=FD,

???乙BDF+乙EDF=乙BDE=Z.A+乙DEA,

??,乙EDF=ZX=60°,

???Z-BDF=Z-DEA,

??.△ADE^△BFD,

設(shè)AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b,

???AD：BD=1：n,

.??DB—nx,

???AB=(n+l)x=AC-BC,

???AE=nx—a,BF=nx—b,

???△ADE-△BFD,

DE_EAAD

'"DF=~DB=~BF，

anx—ax

b=nx=(n+1)%-b

由前兩項得，nax=b[(n+l)x-a]@，

由后兩項得，[(n+1)%—a][(n+1)%—b]=nx2,

(n+l)[(n+1)%—a]—b[(n+a)—b]=nx2,

???(n+l)[(n+1)%—a]—nax=nx2,

由①得q=由+l)x—a=Qi+1)久=n+2,

b~~nx~nx~2n+l

CE：CF=(n+2)：(2n+1).

13.【答案】(1)解：AZBC的外接圓如下圖所示，過圓心G作GH1%軸于點H,連接GB、GC,

由作圖可知GN垂直平分4B,

4GN。=乙GHO=乙NOH=90°,

???四邊形GHON為矩形,

???點A的坐標(biāo)為(0,10),點B的坐標(biāo)為(0,4),點C的坐標(biāo)為(2,0),

OB=4,OA=10,OC=2,

VGN垂直平分4B,

11

BN=專AB=^(OA-OB)=3,

???0N=0B+BN=7,

???四邊形GHON為矩形，

OH=GN,GH=ON=7,

在RtAGNB中，GB2=BN2+GN2,

在RtAGHC中，GC2=CH2+GH2,

,:GB=GC,

BN2+GN2=CH2+GH2,

設(shè)CH長為％,則32+(X+2)2=/+72,

解得x-9,

CH=9,

CK=2CH=18,

OK=OC+CK=20,

K(20,0),

即此圓與x軸的另一個交點的坐標(biāo)為(20,0);

(2)解：點P的坐標(biāo)為(2/IU,0).

14.【答案】(1)解：VZA=ZC,MB=CE,

/.△MAB^AMCE,

；.MB=ME,

VMD±BC,

；.BD=DE,

；.CE+DE=AB+BD,

/.CD=DB+BA.

(2)3

(3)2V2+2

15.【答案】(1)②④

(2)解:4ACD與ABCD是“青竹三角形"，02=駕打，理由如下:

過點C作CHXAB于點H,

乙

VZACB=90°,AC=BC,

.\ZACD+ZBCD=90°,ZA+ZB=90°,又CD=CD,

.,.△ACD與ABCD是“青竹三角形”；

VAD=a,BD=b,AB=AD+BD=a+b,

VZACB=90°,AC=BC,CH±AB,

.,.AH=BH=1AB=1(a+b)=CH,

?.DH=BD-BH=b-竽=號，

在RtACDH中，DH2+CH2=CD2,

?c=——2——；

(3)解：①連接DO并延長交圓0于點E,連接AE、CE,

內(nèi)

VAABC與4ADC是“青竹三角形”，

???NACD+NBAC=90。，

,「DE是圓O的直徑，

JNEAD=90。，

???ZAED+ZADE=90°,

又???弧AE=MAE,弧AD=MAD,

???NADE=NACE,NAED=NACD,

???NAED+NBAC=NACD+NBAC=90。，NAED+NACE=NAED+NADE=90。,

???NBAC=NACE,

又：弧AC=MAC,

，/AEC=NABC,

在AAEC與ACBA中,

VZAEC=ZABC,ZBAC=ZACE,AC=CA,

AAAEC^ACBA(AAS),

/.AE=BC,

在RtAEAD中，AD2+AE2=DE2=82=64,

AD2+BC2=AD2+AE2=64,

即AD2+BC2的值為64；

②連接DO并延長交圓O于點E,連接AE、CE,過點B作BFLAC于點F,

VZBAC=ZACD,

.,.AD=BC,

由①知NBAC=NACE,

ZACE=ZACD-|ZECD=45°,

.,.ZBAC=45°,

VZABC=75°,

.,.ZACB=60°,

VAABC與AADC是“青竹三角形”,

,ZCAD=90°-ZACB=30°,

?.,弧CD=MCD,

...NDEC=30。，

/.CD=|DE=4,

?.,弧AE=MAE,

...NADE=NACE=45。，

.?.△ADE是等腰直角三角形，

.".AD—-4A/2,

.,.BC=AD=4V2,

在RtABCF中，BF=BC-sin^ACB=4A/2Xsin60°=2遍，

在RtAABF中，AB=巒叱n=返=443,

T

1?△ABC與AADC的周長之差=(AB+BC+AC)-(CD+AD+AC)=AB-CD=4百—4.

16.【答案】(1)菱形、正方形；百或字

(2)解：過0點作OHLBD,連接0D,

vAP=2,PC=8,

.?.O0直徑ACAP+PC10,

OA=OC=OD=5,

??.。尸=。4一位=5—2=3,

???四邊形ABCD是“美麗四邊形”，

???乙OPH=60°,

在RtAOPH中，sin匕OPH==孚，

OH=*OP=零'

在Rt△ODH中，=VOD2-OH2=孚，

BD=2DH=V73;

(3)解：過點B作BM，久軸于點M,過點D作DNJ.x軸于點N,

???乙BMO=乙DN。=90°,

???四邊形ABCD是“美麗四邊形”,

???乙BOM=乙DON=60°,

???tanZ-DON—=V3?

即冷同

?,?直線BD解析式為y=V3x,

???二次函數(shù)的圖象過點4(一2,0)、C(l,0),

即與丁軸交點為Z、C,

???用交點式設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+2)(%-1),

(y=a(x+2)(%—1)^_

,?*Iy—百汽整理得：ax2+(a—V3)x—2a=0,

???Xp+XD=—a『，XB?XD=-2,

???-沏)2=(沖+沏)2-4%5?%￡)=(-號32_|_8,

1111

■:S四邊形ABCD~S^ABC+S^ACD=24c.BM+AC-DN=^AC^BM+DN)=-^AC(yD-yB)=

■^-ACQ\/3XD—V3x^)=3黑(%。—%B)'

???(%p—xB~)=6A/3?

**?Xj)—XB—4,

???(-B+8=16，

解得：的=『2展,G2=Y尸,

...a的值為：一*2乃

17.【答案】(1)45

(2)解：延長P4至點E,使ZE=PC,連結(jié)BE,

???四邊形A8CP是。。的內(nèi)接四邊形，

???^BAP+Z-BCP=180°.

???乙BAP+4BAE=180°,

???Z.BCP=Z-BAE.

???△4BC是等邊三角形.

??.BA=BC,

.-.APfiC=AFfiX(SXS),

：.PB=EB,乙PBC=^EBA,

???4EBA+乙ABP=4PBC+4ABP=乙ABC=60°,

PBE是等邊三角形，

??.PB=PE,

???PB=PE=PA+AE=PA+PC,

即PB=PA+PC；

(3)竽

18.【答案】(1)證明：：AB=AC,

：.AB=AC.

.,.ZAPB=ZABC.

VZABC=ZABP+ZCBP,ZABP=ZACP,NCBP=NPAC,

?.ZABC=ZPAC+ZPCA.

二ZAPB=ZPAC+ZPCA.

(2)解：延長BP至點D,使PD=PC,連接AD,如圖，

?..點P為公的中點,

.'.PA=PC.

.,.PA=PC,ZABP=ZCBP.

???PA=PD.

AZD=ZPAD.

.\ZAPB=ZPAD+ZD=2ZPAD.

VAB=AC,

：.AB=AC.

AZAPB=ZABC.

ZABC=ZABP+ZCBP=2ZABP,

AZPAD=ZABP.

VZD=ZD,

AADAP^ADBA,

.PD_PA_AD

U9AD=AB=JD'

VZD=ZPAD,ZPAD=ZABP,

AZD=ZABP.

???AD=AB=6.

設(shè)PA=x,則PD=x,BD=5+x,

?x_6

**65+x,

X2+5X-36=0.

解得:x=4或-9(負(fù)數(shù)不合題意，舍去).

；.PA=4；

(3)解：連接OP,OC,過點C作CHLBP于點H,如圖,

?.?0O的半徑為5,CP=5,

.,.OP=OC=PC=5,

/.△OPC為等邊三角形.

.\ZPOC=60°.

/.ZPBC=|ZPOC=30°.

在RtABCH中，

BH=BC?cos3(T=6x孚=3屆

CH=1BC=3.

在RtAPCH中,

PH=V?C2-CH2=4.

PB=PH+BH=4+3后

,/四邊形ABCP是圓的內(nèi)接四邊形，

.\ZPCE=ZBAP.

VZE=ZABP,

/.△EPC^ABPA.

.PE_PC

''BP=AP-

.,.AP?PE=PC?BP=5(4+3V3)=20+15

19.【答案】(1)tanZDCE=1

(2)解：如圖中，點P即為所求，

圖②

作法：取個點T,連接AT交。O于點P,點P即為所求;

證明：由作圖可知，OMLAP,OM是半徑，

：.PM=AM.

(3)解：如圖中，點P即為所求，

圖3

作法：取各店J、K,連接JK交AB于點P,點P即為所求。

20.【答案】(1)(0,-1)；3或5

(2)解：V4(0,-1),B(0,