西北工業大學附屬中學2024屆數學高一下期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知平面向量，的夾角為，，，則向的值為（）A．－2 B． C．4 D．2．下列選項正確的是（）A．若,則B．若,則C．若,則D．若,則3．某高級中學共有學生3000人,其中高二年級有學生800人,高三年級有學生1200人,為了調查學生的課外閱讀時長,現用分層抽樣的方法從所有學生中抽取75人進行問卷調查，則高一年級被抽取的人數為（）A．20 B．25 C．30 D．354．在中，，，則（）A．或 B． C． D．5．已知，，，則的最小值是（）A． B．4 C．9 D．56．若是2與8的等比中項，則等于()A． B． C． D．327．設△ABC的內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若a＝3，b＝，A＝，則B＝（）A． B．或 C． D．或8．已知tan(α+π5A．1B．-57C．9．中,，則（）A．5 B．6 C． D．810．若，,則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若點在冪函數的圖像上，則函數的反函數=________.12．關于的不等式，對于恒成立，則實數的取值范圍為_______.13．已知點，,若直線與線段有公共點，則實數的取值范圍是____________.14．已知數列是等差數列，，那么使其前項和最小的是______.15．公比為2的等比數列的各項都是正數，且，則的值為___________16．已知圓，直線l被圓所截得的弦的中點為.則直線l的方程是________（用一般式直線方程表示）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數滿足且.（1）當時，求的表達式；（2）設，求證：；18．已知點，求的邊上的中線所在的直線方程．19．駐馬店市政府委托市電視臺進行“創建森林城市”知識問答活動,市電視臺隨機對該市15～65歲的人群抽取了n人,繪制出如圖1所示的頻率分布直方圖,回答問題的統計結果如表2所示.（1）分別求出a,b,x,y的值；（2）從第二、三、四、五組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取7人,則從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應各抽取多少人?（3）在(2)的條件下,電視臺決定在所抽取的7人中隨機選2人頒發幸運獎,求所抽取的人中第二組至少有1人獲得幸運獎的概率.20．如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，，，分別是，的中點.(1)求證:平面平面；(2)求證:平面.21．有一款手機，每部購買費用是5000元，每年網絡費和電話費共需1000元；每部手機第一年不需維修，第二年維修費用為100元，以后每一年的維修費用均比上一年增加100元.設該款手機每部使用年共需維修費用元，總費用元.（總費用購買費用網絡費和電話費維修費用）（1）求函數、的表達式：（2）這款手機每部使用多少年時，它的年平均費用最少？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

通過已知條件，利用向量的數量積化簡求解即可.【詳解】平面向量，的夾角為，或，則向量.故選：【點睛】本題考查向量數量積公式，屬于基礎題.2、B【解析】

通過逐一判斷ABCD選項，得到答案.【詳解】對于A選項，若，代入，，故A錯誤；對于C選項，等價于，故C錯誤；對于D選項，若，則，故D錯誤，所以答案選B.【點睛】本題主要考查不等式的相關性質，難度不大.3、B【解析】

通過計算三個年級的人數比例，于是可得答案.【詳解】抽取比例為753000=140，高一年級有【點睛】本題主要考查分層抽樣的相關計算，難度很小.4、C【解析】

由正弦定理計算即可。【詳解】由題根據正弦定理可得即，解得，所以為或，又因為，所以為故選C.【點睛】本題考查正弦定理，屬于簡單題。5、C【解析】

利用題設中的等式，把的表達式轉化成展開后，利用基本不等式求得的最小值．【詳解】∵，，，∴＝，當且僅當，即時等號成立．故選：C．【點睛】本題主要考查了基本不等式求最值，注意一定，二正，三相等的原則，屬于基礎題．6、B【解析】

利用等比中項性質列出等式，解出即可。【詳解】由題意知，，∴．故選B【點睛】本題考查等比中項，屬于基礎題。7、A【解析】

由已知利用正弦定理可求的值，利用大邊對大角可求為銳角，利用特殊角的三角函數值，即可得解．【詳解】由題意知，由正弦定理，可得＝＝，又因為，可得B為銳角，所以．故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，特殊角的三角函數值在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．8、D【解析】∵α-β+π=(α+π∴tan=2+3tan(α-β)=9、D【解析】

根據余弦定理，可求邊長.【詳解】，代入數據，化解為解得或（舍）故選D.【點睛】本題考查了已知兩邊及其一邊所對角，求另一邊，這種題型用余弦定理，屬于基礎題型.10、D【解析】

由于，，，，利用“平方關系”可得，，變形即可得出．【詳解】∵，，∴，∴．∵，∴，∵，∴．∴．故選D.【點睛】本題考查了兩角和的余弦公式、三角函數同角基本關系式、拆分角等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據函數經過點求出冪函數的解析式，利用反函數的求法，即可求解．【詳解】因為點在冪函數的圖象上，所以，解得，所以冪函數的解析式為，則，所以原函數的反函數為．故答案為：【點睛】本題主要考查了冪函數的解析式的求法，以及反函數的求法，其中熟記反函數的求法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．12、或【解析】

利用換元法令，則對任意的恒成立，再對分兩種情況討論，令求出函數的最小值，即可得答案.【詳解】令，則對任意的恒成立，（1）當，即時，上式顯然成立；（2）當，即時，令①當時，，顯然不成立，故不成立；②當時，，∴解得：綜上所述：或.故答案為：或.【點睛】本題考查含絕對值函數的最值問題，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意分段函數的最值求解.13、【解析】

根據直線方程可確定直線過定點；求出有公共點的臨界狀態時的斜率，即和；根據位置關系可確定的范圍.【詳解】直線可整理為：直線經過定點，又直線的斜率為的取值范圍為：本題正確結果：【點睛】本題考查根據直線與線段的交點個數求解參數范圍的問題，關鍵是能夠明確直線經過的定點，從而確定臨界狀態時的斜率.14、5【解析】

根據等差數列的前n項和公式，判斷開口方向，計算出對稱軸，即可得出答案。【詳解】因為等差數列前項和為關于的二次函數，又因為，所以其對稱軸為，而，所以開口向上，因此當時最小．【點睛】本題考查等差數列前n項和公式的性質，屬于基礎題。15、2【解析】

根據等比數列的性質與基本量法求解即可.【詳解】由題,因為,又等比數列的各項都是正數,故.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數列的等積性與各項之間的關系.屬于基礎題.16、【解析】

將圓的方程化為標椎方程，找出圓心坐標與半徑，根據垂徑定理得到直線與直線垂直，根據直線的斜率求出直線的斜率，確定出直線的方程即可．【詳解】由已知圓的方程可得，所以圓心，半徑為3，由垂徑定理知：直線直線，因為直線的斜率，所以直線的斜率，則直線的方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于常考題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）令，將函數表示為等比數列，根據等比數列公式得到答案.（2）將表示出來，利用錯位相減法得到前N項和，最后證明不等式.【詳解】（1）令，得，∴，即（2），設，則，①，②來①-②得，【點睛】本題考查了函數與數列的關系，錯位相減法，綜合性強，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、【解析】

設邊的中點,則由中點公式可得：,即點坐標為所以邊上的中線先的斜率則由直線的斜截式方程可得：這就是所求的邊上的中線所在的直線方程.19、（1）0.9，0.36，270，90；（2）2人,3人,1人,1人；（3）1121【解析】

（1）先計算出總人數為1000人，再根據公式依次計算a,b,x,y的值.（2）根據分層抽樣規律得到從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應分別抽取:2人,3人,1人,1人（3）排出所有可能和滿足條件的情況，得到概率.【詳解】（1）依題和圖表：由0.010×10×n=500.5得：由0.020×10×n=180a得：由0.030×10×n=x0.9得：由0.025×10×n=90b得：由0.015×10×n=y0.6得：故所求a=0.9，b=0.36，x=270，y=90.（2）由以上知:第二、三、四、五組回答正確的人數分別為:180人,270人,90人,90人用分層抽樣抽取7人,則:從第二組回答正確的人中應該抽取:7×180從第三組回答正確的人中應該抽取：7×270從第四組回答正確的人中應該抽取:7×90從第五組回答正確的人中應該抽取:7×90故從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應分別抽取:2人,3人,1人,1人；（3）設從第二組回答正確的人抽取的2人為:2a,2b，從第三組回答正確的人抽取的3人為:3a,3b,3c從第四組回答正確的人抽取的1人為:4a從第五組回答正確的人抽取的1人為:5a隨機抽取2人,所有可能的結果有:(2a,2b)，(2a,3a)，(2a,3b)，(2a,3c)，(2a,4a)，(2a,5a)，(2b,3a)，(2b,3b)，(2b,3c)，(2b,4a)，(2b,5a)，(3a,3b)，(3a,3c)，(3a,4a)，(3a,5a)，(3b,3c)，(3b,4a)，(3b,5a)，(3c,4a)，(3c,5a)，(4a,5a)，共21個基本事件，其中第二組至少有1人被抽中的有：(2a,2b)，(2a,3a)，(2a,3b)，(2a,3c)，(2a,4a)，(2a,5a)，(2b,3a)，(2b,3b)，(2b,3c)，(2b,4a)，(2b,5a)共這11個基本事件.故抽取的人中第二組至少有1人獲得幸運獎的概率為：1121【點睛】本題考查了頻率直方圖，分層抽樣，概率的計算，意在考查學生的應用能力和計算能力.20、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

（1）根據線面垂直的判斷定理得到平面；再由面面垂直的判定定理，即可得出結論成立；（2）取的中點，連接，，根據線面平行的判定定理，即可得出結論成立.【詳解】(1)在三棱柱中，底面，所以.又因為，所以平面；又平面，所以平面平面；(2)取的中點，連接，.因為，，分別是，，的中點，所以，且，.因為，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.【點睛】本題主要考查證明面面垂直，以及證明線面平行，熟記線面垂直、面面垂直的判定定理，以及線面平行的判定定理即可