山西省陽泉市部分學校2024年九年級中考3月聯考數學試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求1．（3分）﹣的絕對值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．解析：解：|﹣|＝．故選：D．2．（3分）如圖，下列四種通信標志中，其圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．解析：解：A，B，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．3．（3分）全球變暖是當今世界面臨的重大挑戰之一，它不僅影響著我們的環境和生態系統，還對我們的經濟發展和社會穩定造成了巨大的影響．為了減少二氧化碳的排放，我國積極地推行太陽能發電，截至去年12月底，全國累計發電裝機容量約29.2億千瓦．數據“29.2億”用科學記數法表示為（）A．29.2×108 B．2.92×109 C．0.292×1010 D．2.92×1010解析：解：29.2億＝2920000000＝2.92×109，故選：B．4．（3分）下列計算正確的是（）A．a5?a2＝a10 B．（﹣3a）2＝﹣9a2 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a9÷a7＝a2解析：解：A、a5?a2＝a7，故此選項不符合題意；B、（﹣3a）2＝9a2，故此選項不符合題意；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此選項不符合題意；D、a9÷a7＝a2，故此選項符合題意；故選：D．5．（3分）如圖，將一張半圓形紙片繞著虛線旋轉一周，得到的立體圖形是（）A． B． C． D．解析：解：如圖，將一張半圓形紙片繞著虛線旋轉一周，得到的立體圖形是球．故選：B．6．（3分）如圖，四邊形ACBD內接于⊙O，連接AB，CD，AB是⊙O的直徑，若∠ADC＝28°，則∠BAC的度數為（）A．82° B．72° C．62° D．52°解析：解：∵∠ADC＝28°，∴∠ABC＝∠ADC＝28°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，故選：C．7．（3分）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．解析：解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤2，∴原不等式組的解集為：﹣1＜x≤2，該不等式組的解集在數軸上表示如圖所示：故選：A．8．（3分）一只蜘蛛爬到如圖所示的一面墻上，橫面由四塊大小相同的正方形瓷磚構成，若蜘蛛停留的位置是隨機的，則它停留在陰影區域內的概率是（）A． B． C． D．解析：解：設每小格的面積為1，∴整個瓷磚的面積為4，陰影區域的面積為2，∴最終停在陰影區域上的概率為：＝．故選：B．9．（3分）如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系h＝20t﹣5t2，下列說法正確的是（）A．小球的飛行高度為15m時，小球飛行的時間是1s B．小球飛行3s時飛行高度為15m，并將繼續上升 C．小球的飛行高度可以達到25m D．小球從飛出到落地要用4s解析：解：20t﹣5t2＝15的兩根t1＝1與t2＝3，即h＝15時所用的時間，∴小球的飛行高度是15m時，小球的飛行時間是1s或3s，故A錯誤；h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2，∴對稱軸直線為：t＝2，最大值為20，故D錯誤；∴t＝3時，h＝15，此時小球繼續下降，故B錯誤；∵當h＝0時，t1＝0，t2＝4，∴t2﹣t1＝4，∴小球從飛出到落地要用4s，故C正確．故選：D．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，交AB于點F，再以點B為圓心，BA的長為半徑畫弧，交CD于點E．已知AB＝，AD＝1，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣ B．π+ C．﹣1 D．﹣解析：解：由題意可知，BE與扇形DAF只有一個交點，則BE與扇形DAF相切，設這個切點為G，連接AE，AG，則AG⊥BE．過點E作EH⊥AB，交AB于點H．∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，DC＝AB＝．由題意可得，BE＝AB＝，在Rt△BCE中，由勾股定理可得：CE＝＝1，∴DE＝CD﹣CE＝﹣1，∵CE＝BC＝1，∴∠CBE＝45°，∴∠ABE＝45°，即扇形BAE的圓心角為45°．在Rt△DAE和Rt△GAE中，，∴Rt△DAE≌Rt△GAE（HL），∴EG＝DE＝﹣1，∴BG＝1，∴∠GAF＝∠CBE＝45°，即扇形AGF的圓心角為45°．∴S陰影＝S扇形AGF+S△AEG+（S扇形BAE﹣S△ABE）＝+AG×EG+（﹣AB×EH），＝+×（﹣1）+（﹣）＝故選：A．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．（3分）計算：＝．解析：解：原式＝＝．故答案為：．12．（3分）圖1是一盞亮度可調節的臺燈，通過調節總電阻R來控制電流I實現燈光亮度的變化．電流I（A）與電阻R（Ω）之間的函數關系如圖2所示．當I＝8.8A時，該臺燈的電阻R是25Ω．解析：解：由圖象可知，電流I（A）與電阻R（Ω）之間滿足反比例函數關系，設電流I（A）與電阻R（Ω）之間的函數關系為I＝，∵點（50，4.4）在函數I＝的圖象上，∴，解得：k＝220，∴電流I（A）與電阻R（Ω）之間的函數關系為I＝，當I＝8.8時，8.8＝，∴R＝25．故答案為：25．13．（3分）隨著國家提倡節能減排，新能車將成為時代“寵兒”．端午節，君君一家駕乘新購買的新能車，去相距200km的古鎮旅行，原計劃以vkm/h的速度勻速前行，因急事實際以計劃速度的1.2倍勻速行駛，結果比原計劃提前了0.5h到達，則可列方程＝0.5．解析：解：根據題意得：＝0.5．故答案為：＝0.5．14．（3分）在平面直角坐標系中，將一塊直角三角板（∠BCA＝90°，∠A＝30°）按如圖所示放置，其中B（0，1），C（2，0），則點A的坐標為（2+，2）．解析：解：過點A作AD⊥x軸交x軸于點D，由已知可得，BO＝1，OC＝2，在Rt△BOC中，BC＝＝，∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴tanA＝，∴＝，∴AC＝，∵∠OBC+∠BCO＝∠BCO+∠ACD＝90°，∴∠OBC＝∠ACD，∴△OBC∽△DCA，∴＝＝，∴，DA＝2，∴OD＝OC+CD＝2+，∵點A在第一象限，∴點A的坐標為（2+，2）．故答案為：（2+，2）．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC的中點，連接AE，過點B作BF⊥AE于點F，延長BF交DC于點G，連接DF，則的值為．解析：解：延長BG與AD的延長線交于點H，如下圖所示：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠C＝∠CDA＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵BF⊥AE，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABE和△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA），∴BE＝CG，∵E是邊BC的中點，∴BE＝BC＝CD，AB＝2BE，∴CG＝CD，∴CG＝DG，在△BCG和△HDG中，，∵△BCG≌△HDG（ASA），∴BC＝DH＝AD，即點D為AH的中點，∵BF⊥AE，∴DF＝AD＝DH，設BF＝a，∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠1＝∠1，∴△ABE∽△AFB，∴AB：AF＝BE：BF，∴2BE：AF＝BE：a，∴AF＝2a，在Rt△ABF中，AF＝2a，BF＝a，由勾股定理得：AB＝＝，∴DF＝AD＝，∴＝＝．故答案為：..三、解答題（本大題共8個小題，共75分，解答題應寫出解題步驟或推理過程）16．（10分）（1）計算：．（2）計算：（x﹣2）（x+2）﹣（x﹣2）2+4．解析：解：（1）＝﹣2+（﹣1）﹣1﹣4＝﹣8；（2）（x﹣2）（x+2）﹣（x﹣2）2+4＝x2﹣4﹣（x2﹣4x+4）+4＝x2﹣4﹣x2+4x﹣4+4＝4x﹣4．17．（7分）如圖，四邊形ABCD是矩形，連接AC，∠ACB＝60°．（1）實踐操作：利用尺規作∠DAC的平分線AM，交CD于點M．（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）（2）猜想證明：在所作的圖中，猜想線段AM與CM的數量關系，并證明你的猜想．解析：解：（1）如圖，AM即為所求．（2）AM＝CM．理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝90°﹣60°＝30°．∵AM是∠DAC的平分線，∴，∴∠CAM＝∠ACM，∴AM＝CM．18．（9分）某校對學生開展了關于學校餐廳飯菜品質和服務質量滿意度的問卷調查．隨機抽取200名學生進行問卷調查，調查問卷如下．XX餐廳飯菜品質和服務質量的滿意度問卷調查1．您對本校餐廳服務的整體評價為_____．（單選）A．很滿意B．滿意C．一般D．不滿意2．您認為本校最需要改進的地方為_____．（單選）A．飯菜口味B．供應品種C．用餐秩序D．其他服務設施該校餐廳負責人將這200份調查問卷的結果整理后，繪制成了如下兩幅統計圖．（1）若將整體評價中很滿意、滿意、一般、不滿意分別評分為5分、4分、3分、1分，求該餐廳在此次調查中，整體評價分數的眾數和平均數．（2）在此次調查中，認為該餐廳需要在供應品種上進行改進的學生人數有多少？（3）請你根據此次問卷調查的結果，對該餐廳的飯菜品質和服務質量提出兩條合理的建議．解析：解：（1）由圖可知，眾數為5分，平均數：（100×5+50×4+30×3+20×1）÷200＝4.05（分），答：整體評價分數的眾數為5分，平均數為4.05分．（2）由扇形統計圖可知，需要改進供應品種所占的圓心角的度數為144°，∴認為該餐廳需要在供應品種上進行改進的學生人數：×200＝80（人），答：認為該餐廳需要在供應品種上進行改進的學生人數有80人．（3）答案不唯一，合理即可．答：①該餐廳需要對飯菜品種和類別進行優化，提高供應品種的多樣性；②該餐廳需要對其他服務設施進行優化升級，提高服務質量．19．（9分）“一盔一帶”是公安部在全國開展的一項安全守護行動，也是營造文明城市，做文明市民的重要標準，“一盔”是指安全頭盔，電動自行車駕駛人和乘坐人員應當佩戴安全頭盔．某商場欲購進一批安全頭盔，已知購進2個甲種型號頭盔和3個乙種型號頭盔需要270元，購進3個甲種型號頭盔和1個乙種型號頭盔需要195元．（1）甲、乙兩種型號頭盔的進貨單價分別是多少？（2）若該商場計劃購進甲、乙兩種型號頭盔共200個，且乙種型號頭盔的購進數量最多為80個．已知甲種型號頭盔每個售價為55元，乙種型號頭盔每個售價為80元．若該商場將這兩種型號頭盔全部售出可獲利W元，則應該如何進貨才能使該商場獲利最大？最大利潤是多少元？解析：解：（1）設甲種型號頭盔的進貨單價是x元，乙種型號頭盔的進貨單價是y元．根據題意，得，解得，∴甲、乙兩種型號頭盔的進貨單價分別是45元和60元．（2）設購進乙種型號頭盔a個，則購進甲種型號頭盔（200﹣a）個．根據題意，得W＝（55﹣45）（200﹣a）+（80﹣60）a＝10a+2000，∵10＞0，∴W隨a的增大而增大，∵a≤80，∴當a＝80時，W取最大值，W最大＝10×80+2000＝2800，此時200﹣80＝120（個），∴購進甲種型號頭盔120個、乙種型號頭盔80個才能使該商場獲利最大，最大利潤是2800元．20．（7分）閱讀與思考閱讀下列材料完成后面任務．僅利用折紙將線段三等分我們已經學過線段的中點、三等分點、四等分點等概念，并且可以利用三角函數等方法求出線段的三等分點，下面介紹一種新的方法可以利用其將線段三等分—折紙法．具體步驟如下．第一步：如圖1，準備一張長為20cm，寬為16cm的矩形紙片ABCD．第二步：如圖2，將矩形紙片ABCD折疊，使得點B的對應點F落在邊AD上，展開后得到折痕CE．第三步：如圖3，再將該矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使得點D的對應點H落在CF上，展開后得到折痕CG．第四步：如圖4，再將矩形紙片ABCD折疊，使得點G落在邊DC上的點M處，展開后得到折痕DN，則M為CD的三等分點，即．下面是該結論的部分證明過程：證明：由折疊的性質，得CF＝OB＝20cm．∵CD＝16cm，∴根據勾股定理，可得DF＝＝12cm．設DM＝DG﹣CH﹣x，∵DH＝CF﹣CH＝20﹣16＝4cm，∴…任務：（1）請再仔細閱讀上面的操作步驟，完成材料中剩余的證明過程．（2）在解決問題的過程中，我們通過計算GD的長，從而得到結論，這里運用的數學思想方法是③.（填序號即可）①函數思想；②公理化思想；③數形結合思想；④分類討論思想．（3）如圖5，在圖4的基礎上，將矩形紙片ABCD沿著折痕DN折疊后，點C恰好落在AD上的點Q處，連接NQ，判斷四邊形CDQN的形狀，并加以證明．解析：解：（1）在Rt△GHF中，∠GHF＝90°GF＝12﹣x，GH＝x，FH＝4，根據勾股定理，得FG2＝FH2+GH2，∴（12﹣x）2＝x2+42解得，∴．∵CD＝16，∴．（2）這里運用的數學思想方法是數形結合思想，故答案為：③；（3）四邊形CDQN是正方形．證明如下：∵∠ADC＝∠BCD＝∠NQD＝90°，∴四邊形CDQN為矩形，由折疊的性質，得CD＝DQ．∴四邊形CDQN是正方形．21．（13分）綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2經過點A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交于點C，作直線AC．（1）求拋物線的函數表達式．（2）若P是拋物線y＝ax2+b