2023?2024學年佛山市普通高中教學質量檢測（二）

高三數學2024.4

,本試卷共4頁，19小題。滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：

1.答卷前,考生務必要填涂答題卷上的有關項目.

2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應的位置上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內；如需改動,

先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液,不按以上要求作答的答案無效.

4.請考生保持答題卷的整潔.考試結束后,將答題卷交回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.雙曲線—-匕=1的漸近線方程是（）

2

1-y2I-

A.y=±—xB.y=±-^-xC.y=+\/2xD.y=±2x

2.已知集合A={x|x2—x之0},3={x|x<a},且ZUB=R,則實數a的取值范圍是（）

A.a>0B.a>0C.a>1D.<2>1

3.某圓錐高為石，母線與底面所成的角為二，則該圓錐的表面積為（）

3

A.3兀B.4兀C.5兀D.6兀

4.勞動可以樹德、可以增智、可以健體、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動實踐比賽,

已知冠軍是甲、乙當中的一人，丁和戊都不是最差的,則這5名同學的名次排歹U（無并列名次）共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

5.已知尸是過0（0,0）,M（T3），用2（-3,-1）三點的圓上的動點,則歸。|的最大值為（）

A.B.275C.5D.20

234

6.已知角。滿足----+'——+——=0,則cos26的值為（）

sin20tan0cos0

7.已知0<。<1且a。；，若函數/（x）=21ogaX—log2ax在（0,+8）上單調遞減,則實數。的取值范圍

為（）

1r

A.B.D.

8.已知橢圓C:=l（a>b>0）的左、右焦點分別為E（—c,0）,瑪（c,0）,點43在C上,且滿足

FA=2FB,F\B-AB=4C2一一，則C的離心率為（）

X216

V3

,T

2023~2024學年佛山市普通高中教學質量檢測（二）高三數學試題第1頁（共4頁）

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對

的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.已知復數為/2滿足Z?-2z+2=0M」（）

2

A.zx=z2B.zxz2=|zjC.zy+z2--2D.—=1

Z］

10.已知平面a。平面￡=，，且45e/,C,De/3豆C,D史I,E,Fel,且AE_U,BFVI,

下列說法正確的有（）

A.若則C￡_U

B.若48〃CD,則幾何體ACE-BDF是柱體

C.若CE1/,則幾何體ZCE—瓦汨是臺體

D.若a-L〃，且ZC=Z。，則直線ZC,與夕所成角的大小相等

11.在一個有限樣本空間中,假設尸（4）=尸（8）=尸（C）=；,且4與5相互獨立，Z與C互斥,貝底）

A.尸（/U3）=|B.尸?Z）=20（4?

C尸?48）=1D.若尸（。閭+尸（。同=」,則8與C互斥

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分,第二空3分.

12.已知定義在R上的偶函數/（%）在［0,+8）上單調遞減,且/⑴=2,則滿足/（%）+/（-x）＞4的實

數x的取值范圍為.

13.統計學中通常認為服從于正態分布NJ,/）的隨機變量X只取［--354+3可中的值，簡稱為3b

原則.假設某廠有一條包裝食鹽的生產線,正常情況下食鹽質量服從正態分布N（400,CT2）（單位：g）,某

天生產線上的檢測員隨機抽取了一包食鹽,稱得其質量大于415g，他立即判斷生產線出現了異常,要

求停產檢修.由此可以得出，o■的最大值是.

14.近年,我國短板農機裝備取得突破,科技和裝備支撐穩步增強,現代農業建設扎實推進.農用機械中常見

有控制設備周期性開閉的裝置.如圖所示，單位圓。繞圓心做逆時針勻速圓周運動，角速度大小為

2兀

27irad/s,圓上兩點4臺始終滿足乙40=可，隨著圓。的旋轉，力凈兩點的位置關系呈現周期性

變化.現定義：48兩點的豎直距離為43兩點相對于水平面的高度差的絕對值-假設運動開始時刻,

即方=0秒時，點/位于圓心正下方；貝心=秒時，43兩點的豎直距離第一次為o；48兩點的

豎直距離關于時間，的函數解析式為/（。=________.

*草?

2023~2024學年佛山市普通高中教學質量檢測（二）高三數學試題第2頁（共4頁）

(2)若14-4=1,求數列｛c“｝的前〃項和.

16.（15分）

如圖，三棱錐尸-Z8C中，正三角形E4c所在平面與平面W5C垂直，/C的中點。在平面依。內

的射影恰好是AP5c的重心G,G到平面R4c的距離為1,48=6.

(1)證明：/8〃平面POG；

(2)證明：AA8C是直角三角形；

(3)求平面0與平面P5C夾角的余弦值.

17.(15分)

如圖,在一條無限長的軌道上，一個質點在隨機外力的作用下,從位置0出發,每次等可能地向左或向

右移動一個單位,設移動九次后質點位于位置X”.

-4-3-2-101234

(1)求尸(七=-2)；

(2)求司七);

(3)指出質點最有可能位于哪個位置,并說明理由.

2023?2024學年佛山市普通高中教學質量檢測(二)高三數學試題第3頁(共4頁)

18.(17分)

已知/(%)=-ge2x+4e”-辦—5.

(1)當a=3時，求/(%)的單調區間；

(2)若/(X)有兩個極值點石，％2,證明：/(石)+/(/2)+]1+%2<°?

19.(17分)

2

兩條動直線V=左科和〉=k2x分別與拋物線C:y=2px(p>0)相交于不同于原點的A,B兩點，當

/\OAB的垂心恰是C的焦點時,|4回=4石.

⑴求P;

(2)若叫=-4,弦45中點為尸，點〃(-2,0)關于直線Z3的對稱點N在拋物線。上，求/\PMN

的面積.

2023~2024學年佛山市普通高中教學質量檢測(二)高三數學試題第4頁(共4頁)

2023-2024學年佛山市普通高中教學質量檢測（二）

高三數學參考答案與評分標準

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

題號12345678

答案CDABBCDB

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

題號91011

答案ABDADBCD

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分,第二空3分.

12.(-1,1)13.514.—,>/3sin|2兀rH—

四、解答題:本題共5小題,共力分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】⑴在S〃+G〃=1中，

當〃=1時，S]+4=2,得〃]=1,..............................................................................................1分

當“22,+=1,所以S“一S,i+an-%一=0,得勺=；,.....................3分

所以數列｛%｝是以首項q=1,公比q=g的等比數列，

故數列｛4｝的通項公式上；.........................................4分

4=%=1,設數列｛4｝的公差為心.................................................5分

由北=4%,得44+6d=4(24+d),所以d=2,....................................................................6分

所以,bn=61+(77-1)<7=2?-1,

故數列｛?｝的通項公式為〃=2〃-1；......................................................................................7分

(2)由cnan-bn=1,得c,==In-2"-'=n-2",..................................................................9分

%

設數列｛%｝的前“項和為匕

^,=lx2'+2x22+3x23+---+nx2n①

23n+,

2Pn=lx2+2x2+???+(?-l)x2"+?x2②...........................................................10分

①-②得,一匕=2:22+23+…+2”—〃x2用......................................11分

所以一q=]2—"X2'向=2n+1-2-nx2n+1=(l-72)2n+1-2,......................................12分

故數列｛c'｝的前〃項和為月=(“-1)2用+2.........................................................................13分

第1頁共4頁

16.【解析】(1)連接PG并延長交3c于Q,連接Q。、OG,..............................1分

因為G為APHC的重心,所以。為的中點,.............................................2分

又因為。是NC中點，則ODUAB,........................................................3分

又ODu平面ZBa平面POG,

所以43〃平面POG.............................................................4分

(2)因為AP4C是正三角形，。是N8的中點，所以PO_LNC,.............................5分

又因為平面以CJ■平面4SC,平面PNCPI平面/BC=ZC,POu平面上4C,

所以尸O_L平面43C,所以尸OL3C,..............................................6分

又OGJL8C,又尸O,OGu平面POD,尸OnOG=。，所以3C_L平面qQD,所以3C_LOD,

又由(1)知所以3C_L/B,所以A48c是直角三角形...........................8分

(3)過5作班'DC于尸，同⑵可證3尸，平面24c

因為G為APBC的重心,且G到平面PAC的距離為1,

所以3到平面PAC的距離為3,即昉=3,...........................................9分

BF1

在尸中，sin4=—=一，所以2=30°,.......................................10分

AB2

ABl

所以在RtZU5C中，AC=——=4V3.............................................11分

cosA

以。為原點，以。。所在直線為y軸，O尸所在直線為Z軸，過點o且垂直于平面P4C的直線為X軸,

建立空間直角坐標系。一孫z如圖所示,....................12分

則/(0,-2月,0),80,6,0),C(0,2V3,0),^(0,0,6),

設平面PAB的法向量為加=(x”M,zj,

f.AP-m=Q[2^3y,+6z.=0

所以__，即Z，f-

A

m=0|[3Xj+3-x/3yI=0y

令4=1,則％=3,yx=—y/3，則僧=(3,—V3,l)..............

tf.CB*H=0f.3X2-5/3%=0

設平面P5c的法向量為〃=(9,%,Z2),所以-，即?/

|[CP-n=01一%+V3Z2=0

令為2=1,則％=有，Z2=l,則］=...........................................14分

”,、，/—~\n■x/65。“十一＞/65一力十5/654”“人人心,+、，＞/65-八

所以cos(m,〃)=產產i=---,即平面-----與平血----夾角的余弦值為.....................15分

\/同忖65656565

17.【解析】設質點〃次移動中向右移動的次數為丫，則丫?％,=丫一(〃一丫)=2丫一〃」“3分

⑴P(Z=_2)=P(Y=1)=叱

2_7分

74

1)

()(〃n---n=0；9分

(2)EX“=2Ey)-=22)

第2頁共4頁

⑶尸(』)=<"［『百.................................................."分

!L

若〃為偶數，G：中間的一項取得最大值，即y=,n概率最大,此時X”=o,所以質點最有可能位于

位置0；........................................................................13分

w+lW-1?.1__1

若〃為奇數,G：中間的兩項c.'C/取得最大值'即y=〒或y=〒概率最大，此時尤=1或

一1,所以質點最有可能位于位置1或-L.............................................15分

18.［解析］⑴當a=3時,/'(》)=_02'+4/_3=_e_1)(/_3)......................3分

令，(x)>0得0<x<In3；令，(x)<0得x<0或x>ln3；.........................5分

故y(x)的單調遞增區間為(0,ln3),單調遞減區間為(-8,0)和(ln3,T8),..................6分

⑵，(x)=-e2、+4ex-a,令/=",

x

貝U-戶+4/-a=0有兩個不相等的正實數解為G=e',t2=濟，則

△=16-4a>0,%+，2=4,/必=a>0,即0va<4

知eXl+eX1=4,eXl-eX2=a(或再+%=Ina),......................................8分

/(xj+/(工2)+石+*2=-5/'+4e"一辦]-5——X]

+4e-aXj-5+Xj+x2

=-,()+6—〃Ina+Ina=-5(16-2Q)+6+(l-a)lna=(1-〃)lna+Q-210分

設g(a)=(l-〃)lna+"2(0<a<4),gz(a)=--Ina,

a

設〃(4)=@(4)二!一111々，〃(4)=--y--<0,故力(a)單調遞減

aaa

而〃(1)=1>0,m2)=；-ln2<0,

故存在唯一的實數a°e(l,2)使〃(旬)=0,即lna°=1-,................................13分

ao

當0<a</時，>0,此時g(a)單調遞增;當旬<a<4時，A(a)<0,此時g(a)單調遞減;

所以g(。)的最大值為g(ao)=(l_,)lnao+%)_2=&+J--3,......................15分

ao

由/e(1,2)得％(2,3],故8(%)<0,從而g(a)<0

旬I2J

即/(%)+/(工2)+石<°，得證.....................................................17分

19?【解析】⑴當△043的垂心恰是。的焦點時，|。4|=|0用，4F_L。....................2分

不妨假設為(3,2石［313,_2石］因為尸(2,。］...................................3分

(PJ(P)U)

第3頁共4頁

再由心//=一1可得情今■?考=-1解得P=2

6分

P2P

[y2=4x、

444r4-r、22221

⑵聯立可得"FT,，同理可得3—，所以尸TT+TT，丁