頁數軸與相反數【學習目標】1．理解數軸的概念及三要素；2．理解有理數與數軸上的點的關系，并會借助數軸比較兩個數的大小；3．會求一個數的相反數，并能借助數軸理解相反數的概念及幾何意義；4.掌握多重符號的化簡.【要點梳理】要點一、數軸1.定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸.要點詮釋：（1）原點、正方向和單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可.（2）長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據需要選取的代表“1”的線段，而長度單位是為度量線段的長度而制定的單位．有km、m、dm、cm等．（3）原點、正方向、單位長度可以根據實際靈活選定，但一經選定就不能改動．2.數軸與有理數的關系：任何一個有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點不都表示有理數，還可以表示其他數，比如SKIPIF1<0.要點詮釋：（1）一般地，數軸上原點右邊的點表示正數，左邊的點表示負數；反過來也對，即正數用數軸上原點右邊的點表示，負數用原點左邊的點表示，零用原點表示.（2）在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.要點二、相反數1.定義：只有符號不同的兩個數互為相反數；0的相反數是0.要點詮釋：（1）“只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反數是0”是相反數定義的一部分，不能漏掉.（3）相反數是成對出現的，單獨一個數不能說是相反數.（4）求一個數的相反數，只要在它的前面添上“-”號即可.2.性質：（1）互為相反數的兩數的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等（這兩個點關于原點對稱）.（2）互為相反數的兩數和為0.要點三、多重符號的化簡多重符號的化簡，由數字前面“-”號的個數來確定，若有偶數個時，化簡結果為正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇數個時，化簡結果為負，如-{+[-(-4)]}=-4.要點詮釋：

（1）在一個數的前面添上一個“＋”，仍然與原數相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.

（2）在一個數的前面添上一個“－”，就成為原數的相反數.如－（－3）就是－3的相反數，因此，－（－3）＝3.【典型例題】類型一、數軸的概念1．如圖所示是幾位同學所畫的數軸，其中正確的是()A．(1)(2)(3)B．(2)(3)(4)C．只有(2)D．(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】對數軸的三要素掌握不清.（1）中忽略了單位長度，相鄰兩整點之間的距離不一致；（3）中負有理數的標記有錯誤；（4）圖中漏畫了表示方向的箭頭.【總結升華】數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；數軸的三要素：原點、正方向、單位長度缺一不可．類型二、相反數的概念2．﹣的相反數是（）A．5B．C．﹣D.-5【思路點撥】解決這類問題的關鍵是抓住互為相反數的特征“只有符號不同”，所以只要將原數的符號變為相反的符號，即可求出其相反數.【答案】B【總結升華】求一個數的相反數，只改變這個數的符號，其他部分都不變.舉一反三：【變式1】填空：(1)－(－2.5)的相反數是；(2)是-100的相反數；(3)SKIPIF1<0是的相反數；(4)的相反數是-1.1；(5)8.2和互為相反數.（6）a和互為相反數.（7）______的相反數比它本身大，______的相反數等于它本身．【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）SKIPIF1<0；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）負數，0.【變式2】下列說法中正確的有()①－3和＋3互為相反數；②符號不同的兩個數互為相反數；③互為相反數的兩個數必定一個是正數，一個是負數；④SKIPIF1<0的相反數是－3.14；⑤一個數和它的相反數不可能相等．A.0個B.1個C.2個D.3個或更多【答案】B3．已知SKIPIF1<0互為相反數，則SKIPIF1<0．【答案】2【解析】根據互為相反數的兩個數的性質，可知SKIPIF1<0，代入上式可得：SKIPIF1<0.【總結升華】若SKIPIF1<0互為相反數，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.類型三、多重符號的化簡4.化簡下列各數中的符號．（1）SKIPIF1<0（2）-(+5)（3）-(-0.25)（4）SKIPIF1<0（5）-[-(+1)]（6）-(-a)【答案】(1)SKIPIF1<0（2）-(+5)＝-5（3）-(-0.25)＝0.25（4）SKIPIF1<0（5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1(6)-(-a)＝a【解析】(1)SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的相反數，而SKIPIF1<0的相反數是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）-(+5)表示+5的相反數，即-5，所以-(+5)=-5；（3）-(-0.25)表示-0.25的相反數，而-0.25的相反數是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；（4）負數前面的“+”號可以省略，所以SKIPIF1<0；（5）先看中括號內-(+1)表示1的相反數，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反數，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反數，即a．所以-(-a)=a【總結升華】運用多重符號化簡的規律解決這類問題較為簡單．即數一下數字前面有多少個負號．若有偶數個，則結果為正；若有奇數個，則結果為負．類型四、利用數軸比較大小 5．在數軸上表示2.5，0，SKIPIF1<0，-1，-2.5，SKIPIF1<0，3有理數，并用“＜”把它連接起來．【答案與解析】如圖所示，點A、B、C、D、E、F、G分別表示有理數2.5，0，SKIPIF1<0，-1，-2.5，SKIPIF1<0，3．由上圖可得：∴SKIPIF1<0【總結升華】根據數軸的三要素先畫好數軸，表示數的字母要依次對應有理數，然后根據在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大，比較大小．舉一反三：【變式1】有理數a、b在數軸上的位置如圖所示，下列各式不成立的是（）A．b﹣a＞0B．﹣b＜0C．﹣a＞﹣bD．﹣ab＜0【答案】D【變式2】填空：大于SKIPIF1<0且小于SKIPIF1<0的整數有______個；比SKIPIF1<0小的非負整數是____________．【答案】11；0，1，2，3類型五、數軸與相反數的綜合應用（數形結合的應用）6．已知數軸上點A和點B分別表示互為相反數的兩個數a，b(a＜b)并且A、B兩點間的距離是SKIPIF1<0，求a、b兩數．【思路點撥】因為a、b兩數互為相反數(a＜b)，所以表示a，b的兩點A、B離原點的距離相等，而A、B兩點間的距離是SKIPIF1<0，所以A、B兩點到原點的距離就是SKIPIF1<0．【答案與解析】解：由題意A、B兩點到原點的距離都是：SKIPIF1<0而a＜b，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【總結升華】(1)理解相反數的幾何意義．(2)從相反數的意義入手，明確互為相反數的兩數關于原點對稱．舉一反三：【變式】填空：（1）數軸上離原點5個單位長度的點表示的數是________；（2）從數軸上觀察，-3與3之間的整數有________個．【答案】（1）±5，提示：要注意兩種情況，原點左右各一個點；（2）5，提示：畫出數軸，容易看出-3和3之間的整數是-2，-1，0，1，2共5個．絕對值【學習目標】1．掌握一個數的絕對值的求法和性質；2．進一步學習使用數軸，借助數軸理解絕對值的幾何意義；3．會求一個數的絕對值，并會用絕對值比較兩個負有理數的大小；4.理解并會熟練運用絕對值的非負性進行解題.【要點梳理】要點一、絕對值1.定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.要點詮釋：（1）絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．即對于任何有理數a都有：（2）絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小．（3）一個有理數是由符號和絕對值兩個方面來確定的．2.性質：絕對值具有非負性，即任何一個數的絕對值總是正數或0．要點二、有理數的大小比較1.數軸法：在數軸上表示出這兩個有理數，左邊的數總比右邊的數小.如：a與b在數軸上的位置如圖所示，則a＜b．2.法則比較法：兩個數比較大小，按數的性質符號分類，情況如下：兩數同號同為正號：絕對值大的數大同為負號：絕對值大的反而小兩數異號正數大于負數－數為0正數與0：正數大于0負數與0：負數小于0要點詮釋：利用絕對值比較兩個負數的大小的步驟：（1）分別計算兩數的絕對值；（2）比較絕對值的大小；（3）判定兩數的大小．3.作差法：設a、b為任意數，若a-b＞0，則a＞b；若a-b＝0，則a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4.求商法：設a、b為任意正數，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；反之也成立．若a、b為任意負數，則與上述結論相反．5.倒數比較法：如果兩個數都大于0，那么倒數大的反而小.【典型例題】類型一、絕對值的概念1．求下列各數的絕對值．SKIPIF1<0，-0.3，0，SKIPIF1<0【思路點撥】SKIPIF1<0，-0.3，0，SKIPIF1<0在數軸上位置距原點有多少個單位長度，這個數字就是各數的絕對值．還可以用絕對值法則來求解．【答案與解析】解：因為SKIPIF1<0到原點距離是SKIPIF1<0個單位長度，所以SKIPIF1<0．因為-0.3到原點距離是0.3個單位長度，所以|-0.3|＝0.3．因為0到原點距離為0個單位長度，所以|0|＝0．因為SKIPIF1<0到原點的距離是SKIPIF1<0個單位長度，所以SKIPIF1<0．【總結升華】求一個數的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求解(如方法1)，一種是利用絕對值的代數意義求解(如方法2)，后種方法的具體做法：首先判斷這個數是正數、負數還是0．再根據絕對值的意義，確定去掉絕對值符號的結果是它本身，是它的相反數，還是0．從而求出該數的絕對值．2．下列說法正確的是（）A.一個數的絕對值一定比0大B.一個數的相反數一定比它本身小C.絕對值等于它本身的數一定是正數D.最小的正整數是1【答案】D．【解析】A、一個數的絕對值一定比0大，有可能等于0，故此選項錯誤；B、一個數的相反數一定比它本身小，負數的相反數，比它本身大，故此選項錯誤；C、絕對值等于它本身的數一定是正數，0的絕對值也等于其本身，故此選項錯誤；D、最小的正整數是1，正確．【總結升華】此題主要考查了絕對值以及有理數和相反數的定義，正確掌握它們的區別是解題關鍵．舉一反三：【變式1】求絕對值不大于3的所有整數．【答案】絕對值不大于3的所有整數有-3、-2、-1、0、1、2、3．【變式2】已知一個數的絕對值是4，則這個數是．【答案】±4.【變式3】數軸上的點A到原點的距離是6，則點A表示的數為．【答案】6或-6類型二、比較大小3．比較下列有理數大小：(1)-1和0；(2)-2和|-3|；(3)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0______SKIPIF1<0【答案】(1)0大于負數，即-1＜0；(2)先化簡|-3|＝3，負數小于正數，所以-2＜3，即-2＜|-3|；(3)先化簡SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．(4)先化簡SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這是兩個負數比較大小：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0【解析】(2)、(3)、（4）先化簡，再運用有理數大小比較法則．【點評】在比較兩個負數的大小時，可按下列步驟進行：先求兩個負數的絕對值，再比較兩個絕對值的大小，最后根據“兩個負數，絕對值大的反而小”做出正確的判斷．舉一反三：【變式1】比大小：SKIPIF1<0______SKIPIF1<0；-|-3.2|______-(+3.2)；0.0001______－1000；SKIPIF1<0______－1.384；－π______－3.14．【答案】＞；=；＞；＞；＜【變式2】下列各數中，比－1小的數是（）A．0 B．1 C．－2 D．2【答案】C【變式3】數a在數軸上對應點的位置如圖所示，則a，-a，-1的大小關系是()．A．-a＜a＜-1B．-1＜-a＜aC．a＜-1＜-aD．a＜-a＜-1【答案】C類型三、絕對值非負性的應用4.已知|2-m|+|n-3|＝0，試求m-2n的值．【思路點撥】由｜a｜≥0即絕對值的非負性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它們的和為0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．【答案與解析】因為|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0所以|2-m|＝0，|n-3|＝0即2-m＝0，n-3＝0所以m＝2，n＝3故m-2n＝2-2×3＝-4．類型四、絕對值的實際應用 5．正式足球比賽對所用足球的質量有嚴格的規定，下面是6個足球的質量檢測結果，用正數記超過規定質量的克數，用負數記不足規定質量的克數．檢測結果(單位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判員應該選擇哪個足球用于這場比賽呢?請說明理由．【答案】因為｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以檢測結果為+10的足球的質量好一些．所以裁判員應該選第二個足球用于這場比賽．【解析】根據實際問題可知，哪個足球的質量偏離規定質量越小，則足球的質量越好．這個偏差可以用絕對值表示，即絕對值越小偏差也就越小，反之絕對值越大偏差也就越大．【點評】絕對值越小，越接近標準.舉一反三：【變式1】某企業生產瓶裝食用調和油，根據質量要求，凈含量(不含包裝)可以有0.002L的誤差．現抽查6瓶食用調和油，超過規定凈含量的升數記作正數，不足規定凈含量的升數記作負數．檢查結果如下表：+0.0018-0.0023+0.0025-0.0015+0.0012+0.0010請用絕對值知識說明：(1)哪幾瓶是合乎要求的(即在誤差范圍內的)?(2)哪一瓶凈含量最接近規定的凈含量？【答案】(1)絕對值不超過0.002的有4瓶，分別是檢查結果為+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的這四瓶．(2)第6瓶凈含量與規定的凈含量相差最少，最接近規定的凈含量．【變式2】一只可愛的小蟲從點O出發在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數，向左爬行的路程記為負數，小蟲爬行的各段路程(單位：cm)依次記為：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行過程中，如果小蟲每爬行1cm就獎勵2粒芝麻，那么小蟲一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小蟲爬行的總路程為：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．小蟲得到的芝麻數為54×2＝108(粒)．《數軸、相反數與絕對值》課時練習一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3下列數軸的畫法正確的是()答案為：C.LISTNUMOutlineDefault\l3互為相反數的兩個數的和為（）A．0B．﹣1C．1D．2答案為：ALISTNUMOutlineDefault\l32的相反數和絕對值分別是()A.2，2 B.﹣2，2 C.﹣2，﹣2 D.2，﹣2答案為：B.LISTNUMOutlineDefault\l3下列化簡，正確的是()A.-(-3)=-3 B.-[-(-10)]=-10C.-(＋5)=5 D.-[-(＋8)]=-8答案為：B.LISTNUMOutlineDefault\l3若|a|=|b|,則a,b的關系是()A.a=bB.a=-bC.a=b或a=-bD.a=0且b=0答案為：C；LISTNUMOutlineDefault\l3下列說法：①若a，b互為相反數，則a+b=0;②若a+b=0，則a，b互為相反數;③若a，b互為相反數，則=-1;④若=-1，則a，b互為相反數.其中正確的結論有()A.1個B.2個C.3個D.4個答案為：CLISTNUMOutlineDefault\l3下圖中數軸的單位長度為1，若點A、B表示的數是互為相反數，則在圖中A，B，C，D四個點中表示絕對值最小的數的點是()A.點AB.點BC.點CD.點D答案為：DLISTNUMOutlineDefault\l3下列結論中，正確的有（）①符號相反且絕對值相等的數互為相反數；②一個數的絕對值越大，表示它的點在數軸上離原點越遠；③兩個負數，絕對值大的它本身反而小；④正數大于一切負數；⑤在數軸上，右邊的數總大于左邊的數.A.2個B.3個C.4個D.5個LISTNUMOutlineDefault\l3點A是數軸上表示－2的點，當點A沿數軸移動4個單位長度到點B時，點B表示的有理數是()A.－4B.－6C.2或－4D.2或－6答案為：DLISTNUMOutlineDefault\l3點A為數軸上表示-2的點，當點A沿數軸移動4個單位長度到點B時，點B所表示的數為()A.2B.-6C.2或-6D.無法確定答案為：C二、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3數軸上與原點距離是5的點有個，表示的數是．答案為：兩個；±5LISTNUMOutlineDefault\l3從數軸上表示-1的點開始,向右移動6個單位長度,再向左移動5個單位長度,最后到達的終點所表示的數是.答案為：0.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a與b互為相反數，b與c互為相反數，且c=﹣6,則a=答案為：﹣6；LISTNUMOutlineDef