2023-2024學年高一數學上學期期末模擬考試

全解全析

一、單項選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是

符合題目要求的.

1.已知集合4={x|x>0},B={x\-\<x<2},若4「|5二()

A.{x\x<2}B.{x|0<x<2}C.{x11<x<2}D.{x|-1<x<2}

［解析］,:/={%|%>0},B={x\-\<x<2},

/口B={%|0<%<2},

故選：B.

2.下列結論正確的是()

A.若a>b,貝!B.若a?〉"，貝

C.若Q〉6,C<0,貝IJQ+C<6+CD.若則

【解析】對于/：當c=0時，不成立，

對于8：當〃=-2,6=1時，則不成立，

對于C：根據不等式的基本性質可得若a>b,c<0,則Q+c>b+c,故。不成立,

對于。：若曰<冊,則4<6,成立,

故選：D.

3.命題“VxeR,12一%+4=0”的否定是()

A.\/xeR,x2-x+4^0B.VxG7?,x2-x+4>0

22

C.e7??xx+4<0D.G7?,x-x+40

【解析】命題“VxeR,%2一%+4=0”的否定是：3XGA,X2-X+4^0.

故選：D.

4.單位圓上一點尸從(0,1)出發，逆時針方向運動g弧長到達。點，則。的坐標為()

【解析】點尸從點(0,1)出發，沿單位圓逆時針方向運動(弧長到達0點，所以ZQOx=150。(0為坐標原點),

n1

所以。點坐標為(cosl50o,sinl50。)，即為(-三，-).

故選：D.

5.已知函數/(%)=a"g(x)=logflx(a>0,6z1),若f(3)g(3)>0,則/(x)與g(x)的圖象為()

x

【解析】?//(x)=a,g(x)=logax(a>O,tz1),若f(3)g(3)>0,

(3)>0,g(3)>0,

a>\,

即/(%)，g(x)都為增函數，

故選：B.

6.己知函數/=5M。》在區間(_],()內是減函數，則()

A.01B.-1①<0C.co1D.0一1

【解析】由題意，當。>0時，y=sinox在(-]，§上不可能單調遞減，故。<0.

當口<0時，>=sinGX=—sin(-ox),

由/遞減可得sin(-fflx)在(-|,|)上單調遞增，

、％z兀兀、口_|*z①兀0)71、

3xe(----.—)n7,-coxG(-----,-------)，

2222

(07171

「.<22,解得co—1,

0)7171

2

綜上，一1口<0.

故選：B.

111

7.已知q=(5)3i,6=3.12,c=/g',則口，b,c的大小關系為()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c

【解析】；a=(；)3'e(0,l),6=315>1,c=/gl<0,

:.c<a<b?

故選：A.

8.函數/(x)=sin(/+e-x)的圖象大致為()

【解析】??"(_%)=sin("x+/)=/(%),

.??函數/(x)為偶函數，排除選項5和C;

由于f(0)=sin(e°+e°)=sin2>0,排除選項。，

故選：A.

9.已知實數x>0>y,則x-y的最小值是()

x+2\-y6

A.21B.25C.29D.33

【解析】?/x>0>,/.x+2>0,l-j/>0,

，x-y=(x+2)+(l-y)-3=6<J)[(x+2)+(1-y)]-3=6(26(2+,9手)-3=2，當且僅當

-—匕=%+2,即％=10,y=-11時，等號成立，

x+21-y

y的最小值是21.

故選：A.

10.已知函數〃X)=""[I'"'】在r上是減函數，則Q的取值范圍是()

[—x+(2Q+l)x—4Q+2,x1

A.(O1])B.(0,5]C.[-，-]D.[—,+00)

【解析】因為函數/1)=I優]I"”在R上是減函數，

[—x+(2Q+l)x—467+2,x1

0<tz<1

所以迫11,解得，a

232

。+12—2。

故選：C.

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知角。的終邊經過點尸(x,l)(x>0),且tan6?=x,則sin。的值為.

【解析】角。的終邊經過點尸(x,l)(x>0),且tanO=x=L

X

解得X=±1(負值舍去)；

貝ljsine=

2

故答案為：注.

2

12.設函數r),若宿)=；，則實數。=—.

【解析】函數/⑴”叫口“叫若咕」，

[2x(x0)22

可得10g&gg，解得〃=；

13.已知%，％2是關于X的方程-—加工+蘇-6=0的兩個實根，且工+,=-1,則加=

-/馬

【解析】:Xi，%2是關于X的方程--冽X+冽2—6=0的兩個實根，

2

/.xl+x2=m,xx-x2=m—6,且△=加？一里加？一6)0,

11,X,+x_2,八

,/—I---=一1=------9=-m--，可得加之+冽-6=0,

再x2xx-x2m-6

則冽=-3(不滿足40,舍去)或冽=2,

故答案為：2.

14.函數/(x)的定義域為。，給出下列兩個條件：

①對于再，X2eD,當石W%2時，總有/區)。/(%2)；

②"%)在定義域內不是單調函數.

請寫出一個同時滿足條件①②的函數/(X),則/(%)=—.

【解析】結合已知可尋求函數在定義域內不單調，但是在定義域內的一個區間上單調，

結合反比例函數性質可知/(尤)=!符合要求.

1

故答案為：/(%)=-(答案不唯一).

X

15.已知函數/(x)=(x°①，g(x)=f(x)--x+a,若g(x)存在3個零點，則實數。的取值范圍

[|2x-31(x>0)2

為—,

【解析】函數8(幻=〃幻-3+.存在3個零點，等價于〃x)與k;x-a有3個交點，

0

x(x0)3

/W==《3-2x,0<x

|2x-3|(x>0)2

12

畫出函數/(x)和y=；x-a的圖象，如下圖:

1??

由圖知，要使函數/(x)和y=]X-a有3個交點，則-0,即0a<“

故答案為：[0,1).

四、解答題：本題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(14分)

(1)計算2x(6)。+專)-+2x(方1用。3

(2)計算:/og68+3"4+21og6G-m/og281/og272.

［解析］(1)原式=2;6+2*—=2x(#+2x-=44)2一；=0；

-31

(2)原式=log62+4+log63-萬x4x§log23log32=log66+4-2=3.

17.(14分)

4

已知tana=—.

3

(1)當0<a<］時，求sin(a+?)的值；

1+sin2a

(2)求的值.

cos2a

-rr

【解析】(1)當0<a<—時，sina>0,cosor>0.

2

一4

,tsina=--日34

田13，倚cosa=—,sma=—,

si?n2a+?cos2a=i155

./%、.71.717V2

sm(a+—)=sinacos—+cosasm—=----；

44410

4

(2),/tana=一,

3

1+sin2asin2a+cos2a+2sincosatan1a+1+2tana(3)++3

221

cos2。cosa—sina1—tana,/2

18.(15分)

417

已知命題使得加x----成立；命題夕：正數a,b滿足2a+b=l,不等式冽——I——怛成立.

x-1ab

(1)若命題,為真命題，求實數加的取值范圍；

(2)若命題夕和命題q有且僅有一個真命題，求實數冽的取值范圍.

【解析】(1)因為夕為真命題,

4

所以冽(x+-----),

x-1min

因為X＞1,

所以工一1〉0,

44

所以x+——=x-l+——+14+1=5,

X—1X—1

當且僅當=即x=3時取等號，

X-1

所以冽5,

所以加的取值范圍為［5,+oo).

(2)若夕為真，則加(工+3而，

ab

因為2a+b=l,a＞0,b＞0,

所以1+2=(1+2)(20+6)=4+2+”4+4=8,當且僅當2="，即2a=6=1時取等號,

abababab2

所以冽8,

①若夕為真，q為假，則加5且冽＞8,即根〉8,

②若p為假，q為真,則冽＜5且冽8,即冽＜5,

綜上所述，加＜5或加＞8,

所以機的取值范圍為(-<?,5)U(8,+oo).

19.(13分)

已知函數/(x)=/g(l+x)-Zg(l-x).

(1)求函數/(X)的定義域；

(2)判斷函數/(x)的奇偶性，并說明理由；

(3)若〃x)>0,求x的取值范圍.

【解析】(1)1,

[1-%>0

-1<X<1,

.函數/(X)的定義域

(2)函數/(x)=/g(l+x)-/g(l-x).

/(-x)=/g(l-x)-/g(l+x)=-f(x).

〃x)為奇函數

(3)/(x)>0,

—1<X<1

-1+x，求解得出：0<x<1

------>1

」-X

故x的取值范圍：(0,1).

20.(15分)

已知函數〃刈=h?

(1)證明函數/(X)為奇函數；

(2)解關于/的不等式：/(3Z-l)+/(2-f)<0.

a》—1Q_X_i1_a》

【解析】(1)證明：因為函數〃無)=若，則/(.?=■=■=-/(幻,

則函數為奇函數，

y-17

(2)由/(x)=^~-=1-——,得函數〃x)為定義域上的增函數，

3+13+1

X/(3/-l)+/(2-Z)<0,即/'Of-l)—),即/(31)</("2),

則,得/<-,，

2

故不等式的解集為(-鞏-'.

21.(14分)

已知函數/(x)對任意實數加、〃者B滿足等式/(冽一〃)+/(冽+〃)=/(2加)，當x>0時，/(%)<0,且/(2)

(1)判斷/(x)的奇偶性；

(2)判斷/(x)的單調性,求“X)在區間[-3,5]上的最大值；

(3)是否存在實數°,對于任意的xe[-1,1],Z?e[-1,1],使得不等式/(x)</-2.6+2恒成立.若