2024年普通高等學校招生全國統一考試模擬試題

數學試卷（一）

（考試時間：120分鐘，滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.設全集U={0423,4,5},集合M={1,3,4},N={0,3,5},則M&N）=（）

A.{0,5}B.{1,2,3,4}

C.{1,2,3,4,5}D.U

【答案】B

【解析】

【分析】根據集合并補運算即可求得.

【詳解】U={012,3,4,5},N={0,3,5},所以gV={1,2,4},

所以M&N）={1,2,3,4},

故選：B.

2.已知復數z滿足（4+3i）z=—i,貝”的虛部為（）

4.

D.—1

25

【答案】A

【解析】

【分析】由復數除法運算法則直接計算，結合復數的虛部的概念即可求解.

-i-i(4-3i)34

【詳解】因為(4+3i)z=-i,所以z=-----=-——~J=--------i,

一用牛/?八，尸心4+3i(4+3i)(4—3i)2525

4

所以Z的虛部為----.

25

故選：A.

3.將函數/(x)=Sin2x的圖象向左平移9個單位后得到函數g(x)的圖象，若函數y=/(%)+g(x)的最大

值為〃，則。的值不可能為()

A.1B.72-1

C.2D.&+1

【答案】D

【解析】

【分析】根據圖象的平移變換得到g(x)=sin(2x+20,然后根據和差公式和輔助角公式整理得到

V=/(x)+g(x)=，2+2cos2osin(2x+a),最后根據三角函數的性質求。的范圍即可.

【詳解】由題意得g(x)=sin(2x+20,

貝(Iy=〃x)+g(x)=sin2x+sin(2x+20)

=sin2x+cos2(psin2x+sin2(pcos2x

=(1+cos20sin2x+sin20cos2x

=J(l+cos29y+sin220sin(2x+a)

i-----------/、sin2(p

=,2+2cos20sin(2x+a),tanar=—---—,

因為cos2。e[—1,1],所以j2+2cos2ee[0,2｝所以ae[0,2].

故選：D.

4.在等比數列｛a.｝中，若為一確定的常數，記數列｛4｝的前幾項積為北.則下列各數為常數的

是()

A.T7B.I8C.幾D.Tu

【答案】D

【解析】

【分析】根據已知條件判斷出《為確定常數，再由此確定正確答案.

【詳解】設等比數列｛。“｝的公比為心

依題意，一“5=4?囚4"，“悶”=（。刈5）3為確定常數，即6為確定常數?

I-aya1a6a7=4不符合題意；

￡=a7a8=（。4。5『不符合題意；

幾=%%a9ai0=（”5。6）5不符合題意；

看1=4%%0。11=a：］為確定常數，符合題意.

故選：D

4x—1

5.關于函數y=——,xeN，N為自然數集，下列說法正確的是（）

2%-5

A.函數只有最大值沒有最小值

B.函數只有最小值沒有最大值

C.函數沒有最大值也沒有最小值

D.函數有最小值也有最大值

【答案】D

【解析】

【分析】先對函數整理化簡，根據反比例函數的性質，結合復合函數單調性的“同增異減”，即可求出函數

的最小值與最大值.

4x-l2（2x-5）+995

【詳解】y=——Z,n------f人

2x—52x-52x-52

由反比例函數的性質得：

y在［■|，+00）上單調遞減，此時y>2,

y在1—8,g］上單調遞減，止匕時y<2,

又因為xeN,N為自然數集，

所以Vmin在S，!"）上取到，X=2時，Vmin=-7,

同理Jmax在[g，+°°]上取至IJ,%=3時，Vmax=11，

所以當xeN,N為自然數集時，函數有最小值也有最大值.

故選：D

6.已知函數/(x)=cos[x—Aj,g(x)=sinl4x+-^-I,則“曲線y=/(%)關于直線x=〃?對稱”是“曲

線y=g（x）關于直線彳二相對稱”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【解析】

【分析】分別求出兩個函數的對稱軸的集合，利用兩個集合的關系即可判斷.

JTJT

【詳解】令加一口=《兀（勺GZ）,得加二五+左1兀（尤￡Z）,

所以曲線y=/（x）關于直線-4+匕?；痚Z）對稱.

jrjr71

令4機+=,+42Mz2金Z),得m=-----1-

12

所以曲線y=g（x）關于直線x=5+42兀

~T（左2eZ）對稱.

兀7C

m=

因[m\m=—+k1n(<kleZ)}{m\

所以“曲線y=f（x）關于直線x=m對稱”是“曲線y=g（x）關于直線x=m對稱”的充分不必要條件.

故選：A.

7.O為坐標原點，F為拋物線C:V=8x的焦點，〃為C上一點，若IMF|=6,則AMOF的面積為（）

A.4A/3B.2A/2C.472D.8

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據焦半徑公式求點/的坐標，再代入面積公式，即可求解.

【詳解】設點〃（％兀），-2,0）,所以|MF|=x0+2=6,得毛=4,為=±40,

所以AWO尸的面積S=510同義岡=萬X2X4、歷=4近.

故選：C

8.仇。為三個互異的正數，滿足c—。=2111（>0,（質）"=30+1,則下列說法正確的是（）

A.c-a>2—bB.c—2VZ?—a

C.c+2<a+bD.c-\-2<a+b

【答案】A

【解析】

【分析】對于C-a=21n：>0可構造函數/（x）=x—2hu,利用導函數可求出其單調性，利用數形結合

可得0<a<2<c,對于（國『=30+1,可在同一坐標系下畫出函數y=（&6廠及y=3'+l的圖象,

可得0<〃<力<2,再由不等式性質可知A正確.

【詳解】由。一。=21口￡>。得c-21nc=a-21na且c>”，

a

2

構造函數〃x）=x-21nx,所以八￡）=1一一,

易得〃龍）在（0,2）上單調遞減，在（2,+8）上單調遞增，其函數圖象如下圖所示：

易知函數y=（V10）'及y=3*+1交于點（2,10），作出函數y=（Ji6廣及y=3"+1的圖象如下圖所

所以0<a<Z?<2<c,即a<b,2<c,由此可得a+2<》+c,即c-a>2-6.

故選：A

【點睛】方法點睛：在求解不等式比較大小問題時，經常利用同構函數進行構造后通過函數單調單調性

比較出大小，畫出函數圖象直接由圖象觀察得出結論.

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有兩

個或兩個以上選項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0

分）

9.已知10個數據的第75百分位數是31,則下列說法正確的是（）

A.這10個數據中至少有8個數小于或等于31

B.把這10個數據從小到大排列后，第8個數據是31

C.把這10個數據從小到大排列后，第7個與第8個數據的平均數是31

D.把這10個數據從小到大排列后，第6個與第7個數據的平均數是31

【答案】AB

【解析】

【分析】由百分位數的概念可判斷.

【詳解】因為這10個數據的第75百分位數是31,由10x0.75=7.5,可知把這10個數據從小到大排列

后，第8個數為31,

可知，選項A,B正確，C,D錯誤.

故選：AB.

（、f2,xeQ

10.函數,則下列結論正確的是（）

A.D（^-）＞0（3.14）B.。（％）的值域為[2,3]

C.。（。（尤））是偶函數D.VaeR,D（x+a）=D（a-x）

【答案】AC

【解析】

【分析】根據函數解析式，結合分段函數的性質，逐項判斷即可.

【詳解】。（1）=3,0（3.14）=2,￡）（%）＞0（3.14）,A正確；

12,%eQ/、（、

￡＞（z%x）=則。（x）的值域為{2,3},B錯誤;

xeQ時，-xeQ,Z＞（D（x））=D（2）=2,￡＞（￡＞（-%））=￡＞（2）=2,所以

D（D（x））=D（D（-x））,xcQ時，—xcQ,D（D（x））=D（3）=2,D（D（-x））=D（3）=2,

D（D（x））=D（D（-x））,所以。（。（司）為偶函數，C正確；

尤=0時，取0=1-0，此時o(x+a)=o⑴=2,￡>(a—%)=￡>(1-20)=3,則

D(x+a)^D(a-x),D錯誤.

故選：AC

11.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺。。2,軸截面A8C。為等腰梯形，且滿

足CD=2A5=2A￡>=26C=4cm.下列說法正確的是()

A.該圓臺軸截面ABCD的面積為3，5cm之

B.該圓臺的表面積為Ihrcm?

C,該圓臺的體積為zJ^Ttcn?

D.該圓臺有內切球，且半徑為Yicm

2

【答案】AB

【解析】

【分析】求出圓臺的高。1。2可判斷A；由圓臺的表面積和體積公式可判斷B,C；由內切圓的性質以及切

線長定理易知軸截面A8C。不存在內切圓可判斷D.

【詳解】對于A,由CD=2AB=2AZ)=25C=4cm,可得高q。？=—=若，

則圓臺軸截面ABC。的面積為gx(2+4)xj^=3^cm2,故A正確;

對于B,圓臺的側面積為S側=7r(l+2)x2=6兀(cn?),

又S上:Tixl2=兀(cm?),S下=兀?22=47i(cm2),

所以S表=6兀+兀+4兀=11兀(cn?),故B正確；

對于C,圓臺的體積為丫=；兀.百*(1+4+2)=子兀(加3),故C錯誤；

對于D,若圓臺存在內切球，則必有軸截面A8C。存在內切圓，

由內切圓的性質以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內切圓，故D錯誤,

故選：AB.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知〃x）=2a&—工在點（1,7（功處的切線為直線x—2y+/=0,則。=.

X

【答案】—工##-0.5

2

【解析】

【分析】結合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答案.

【詳解】因為〃x）=2a?—L所以/'（%）=一+二，

XX

因為/（元）在點處的切線為直線x—2y+/=。，

所以/'（l）=a+l=g,解得a=—g.

故答案為：—

2

13.己知力51禹黑，滿足惻=眄|=國=2,且FI+F2+F3=0,則國—F?|=N.

【答案】73

【解析】

【分析】將K+F?+F3=0變形后平方得到相應結論，然后將國-Fz|平方即可計算對應的值.

【詳解】由4+F?+F3=0,可得耳+F2=-F?,所以（-F3）2=（E+F2）2，化簡可得

F；=F：+F；+2F",

因為國|=同=闖=1,所以24黑=-1,

所以「=7（^22F1E+F；=71-（-D+i=百?

|FF2|-F2）=JF；_

故答案為g

【點睛】本題考查向量中的力的計算，難度較易.本題除了可以用直接分析計算的方式完成求解，還可以

利用圖示法去求解.

22

14.已知雙曲線C：——齊=1（?！?］〉0）的左右焦點分別為耳，工，過耳作無軸的垂線交C于點P

.月于點M（其中。為坐標原點），且有P月=3"招，則C的離心率為.

V6+V2

Hn2sin—1

即-—6=J-

sinCsinC

BD2

在RtZXABD中，AD=------=-------,

sinAsinA

2121?4.「

------1-----————I------——sinA+sinC

ADCD21，

sinAsinC

ZABC=—,:.A+C=~,

33

21..".（兀一）?一?兀萬-.萬.（萬兀

------1=smA+sinC=smC+smC=sin—cosC-cos—smC+smC=smC+—

ADCD{3J33I3

16.已知數列｛%｝的前幾項和為S“，4>0,且42+24=4S〃—1.

(1)求｛為｝的通項公式;

s

(2)設包=-」的前〃項和為7；,求

aa

n?+l

【答案】(1)4=2〃-1

2

(2)4=衛士

4〃+2

【解析】

【分析】(1)先用(〃+1)替換原式中的〃，然后兩式作差，結合a”與S”的關系，即可得到｛%,｝為等差

數列，從而得到其通項.

s

(2)由(1)的結論，求得S,及4用，代入年=——化簡，得到7；的式子，裂項相消即可.

anan+l

【小問1詳解】

Qan+2a“=4S?-1,

a

n+i+2。"+1=4SI1+1-1,

兩式作差得：(4+[+an)(an+1-an-2)=0,

Qa,>0：.an+1-an=2,

，｛4｝成等差數列，

又當〃=1時，(0―1)2=0,

所以Q]=1

即%=1+(〃—1)x2=2〃—1

【小問2詳解】

由(1)知%=2n-l,

則s/(…)/(1+2"1)=后

"22

即6=2=_Y_』+______1_______

"44+1(2n-l)(2?+l)41(2/I-1)(2H+1)

^4-----T

48(2幾-12n+lJ

n1f11111)

故<=—+—1——+———+L+-—------

"4、3352n-l2n+l)

=-I-1---------=—I-----------=--------.

48V2n+lJ48〃+44n+2

17.己知橢圓C：W+：=l（a〉6〉0）過[1,：和3,半j兩點.耳，鳥分別為橢圓的左、右焦點，P為

橢圓上的點（P不在x軸上），過橢圓右焦點居的直線/與橢圓交于兩點.

（D求橢圓的標準方程；

（2）求的范圍.

22

【答案】（1）L+2L=i

43

（2）[3,4]

【解析】

【分析】（I）將點（1,6,（夜，手）代入橢圓方程，即可求出橢圓C的標準方程；

（2）分類討論直線斜率是否為0,從而假設直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理與弦長公式得到

關于〃2的關系式，再分析即可得解;

【小問1詳解】

由題意可知，將點代入橢圓方程,

9

1,1-1

L店一1

得《，解得/=44=3,

6

2,4,

所以橢圓的標準方程為—+^=1.

43

【小問2詳解】

由（1）知耳（—1,0）,耳（1,0）,

當直線/的斜率為0時，|A@=2a=4,

當直線/的斜率不為。時，設直線/的方程為1=%+1,6（%，%），

（22

土+匕=1

聯立《43，消去x,得（3加2+4）/+672—9=0,

x=my+l

易得A=（6m）2+36（3m2+4）>0,則%+%=,%%=、:，

3m+43m+4

所以|=，（％-%『+（%-X）2=Vl+m2+4%%

-6mV_9）_12—+12_4_4

3m2+4J13m~+4J3m~+43m2+4

4,,

因為m220,所以37川+424,所以0<一；一<1,所以3WA5<4,

3斤+411

綜上，3<|AB|<4,即|鉆|的范圍是[3,4].

18.《中國制造2025》提出“節能與新能源汽車”作為重點發展領域，明確了“繼續支持電動汽車、燃料電

池汽車發展，掌握汽車低碳化、信息化、智能化核心技術，提升動力電池、驅動電機、高效內燃機、先

進變速器、輕量化材料、智能控制等核心技術的工程化和產業化能力，形成從關鍵零部件到整車的完成

工業體系和創新體系，推動自主品牌節能與新能源汽車與國際先進水平接軌的發展戰略，為我國節能與

新能源汽車產業發展指明了方向.某新能源汽車制造企業為了提升產品質量，對現有的一條新能源零部件

產品生產線進行技術升級改造，為了分析改造的效果，該企業質檢人員從該條生產線所生產的新能源零

部件產品中隨機抽取了1000件，檢測產品的某項質量指標值，根據檢測數據整理得到頻率直方圖（如

（1）從質量指標值在［55,75）的兩組檢測產品中，采用分層抽樣的方法再抽取5件.現從這5件中隨機抽

取2件作為樣品展示，求抽取的2件產品恰好都在同一組的概率.

（2）經估計知這組樣本的平均數為8=61，方差為S?=241.檢驗標準中為=5xj=一卜

2=5x-^―,“eN*，其中國表示不大于X的最大整數，｛尤｝表示不小于X的最小整數，S值四

舍五入精確到個位.根據檢驗標準，技術升級改造后，若質量指標值有65%落在［a，4］內，則可以判斷

技術改造后的產品質量初級穩定，但需要進一步改造技術；若有95%落在［%，8］內，則可以判斷技術改

造后的產品質量穩定，認為生產線技術改造成功.請問：根據樣本數據估計，是否可以判定生產線的技術

改造成功？

【答案】（1）y;

(2)詳見解析；

【解析】

【分析】(1)根據分層抽樣確定抽取比例，然后運用組合求解即可；

(2)根據題中公式，計算出區間并判段數據落在該區間的概率，然后與題中條件比較即可得出結論.

【小問1詳解】

聚5.65)0.33

由題意可知1-----=-

打65,75)U.Z2

C2+C242

所以抽取的2件產品恰好都在同一組的概率為：P=32==；

C；105

【小問2詳解】

因為$2=241,知s-16,

,uf61-161,U「61+16］ru

貝［|a］=5xj--—>=45,偽=5x---=75,

該抽樣數據落在［45,75］內的頻率約為0.16+0.3+0.2=66%>65%，

uf61—2x16］”,u「61+2x16］”

又%—5x<------->=30,Z?2=5x-------=90,

該抽樣數據落在［30,90］內的頻率約為1—0.03—0.04=0.93=93%<95%,，

所以可以判斷技術改造后的產品質量初級穩定，但不能判定生產線技術改造成功.

19.如圖，AD/ABC,且AD=23C,ADLCD,EG//AD且EG=AD,CDI/FG