高級中學名校試卷PAGEPAGE12023年高考數學考前信息必刷卷5（新高考地區專用）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則z的虛部為（

）A． B． C．2 D．〖答案〗C〖解析〗設，則，因為，即有，整理得，解得，所以z的虛部為2．故選：C.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意得，，∴.故選:D．3．已知函數，圖像上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等于（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗根據，可得，故，所以，故的周期為24，所以，，故選：A．4．為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持每日測溫報告，以下是高三一班，二班各10名同學的體溫記錄（從低到高）：高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位：℃），高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（單位：℃）若這兩組數據的第25百分位數、第90百分位數都分別對應相等，則為（

）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3〖答案〗C〖解析〗由，可得第25百分位數分別為和，則；由，可得第90百分位數分別為和，則，解得；故.故選：C.5．如圖，直三棱柱中，，，，點是的中點，點是線段上一動點，點在平面上移動，則，兩點之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．1〖答案〗A〖解析〗連接交于點，連接，∵分別為的中點，則，且平面，平面，∴平面，則點到平面的距離相等，設為，則，兩點之間距離的最小值為，即點到平面的距離為，∵的中點在上，則點到平面的距離為，由題意可得為，由，則，解得，故，兩點之間距離的最小值為.故選：A.6．如圖所示，當籃球放在桌面并被斜上方一個燈泡（當成質點）發出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點是橢圓的右焦點．若籃球的半徑為個單位長度，燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面上的點為，橢圓的右頂點到點的距離為個單位長度，則此時橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗以為坐標原點，可建立如圖所示平面直角坐標系，由題意知：，，，，則直線，即，設，則，點到直線的距離，解得：，，即；設直線，即，點到直線的距離，解得：或，又直線，，即直線，令，解得：，即，，即；由得：，橢圓離心率.故選：D.7．已知數列滿足：當時，，其中為正整數，則使得不等式成立的的最小值為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗記數列的前項和為，當時，，即數列中值為的項數為，則，令，可得，因為，所以，滿足不等式的的最小值為．因為，，，故的最小值為．故選：C.8．已知，，.其中為自然對數的底數，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由，令，令，則，當時，，所以在上單調遞增，又，所以，又，所以，在成立，所以，即，所以，即，令，所以，因為，所以，即，所以在上單調遞減，所以，即令，所以，因為，所以，即，所以在上單調遞減，所以，即，所以，在成立，令，則上式變為，所以，即，綜上，.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．“50米跑”是《國家學生體質健康標準》測試項目中的一項．已知某地區高中女生的“50米跑”測試數據（單位：秒）服從正態分布，且．現從該地區高中女生中隨機抽取5人，并記這5人“50米跑”的測試數據落在內的人數為，則下列正確的有（

）A． B．C． D．〖答案〗BC〖解析〗因為服從正態分布，故，，則，故A錯誤，B正確；5人“50米跑”的測試數據符合二項分布，即，故C正確；，故D錯誤；故選：BC.10．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，是的中點，則（

）A． B．C． D．〖答案〗ABC〖解析〗如圖建立平面直角坐標系，則，對A，，正確；對B，，，正確；對C，，正確；對D，，，錯誤.故選：ABC.11．在中，所對的邊為，，邊上的高為，則下列說法中正確的是（

）A． B． C．的最小值為 D．的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗設邊上的高為，則，，，即，A正確；由余弦定理得：，又，，，B正確；，，，，；，，，，C錯誤，D正確.故選：ABD.12．設，當時，規定，如，．則（

）A．B．C．設函數的值域為M，則M的子集個數為32D．〖答案〗BCD〖解析〗對于A中，例如，則，可得，所以A錯誤；對于B中，由，所以，所以，所以，所以B正確；對于C中，因為，可得，當時，可得，即函數的值域為，所以集合的子集個數為，所以C正確；對于D中，設，若，可得，所以，，則，所以的周期為，又當時，可得，此時；，此時；，此時；，此時，所以，結合周期為，即恒為，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．為了研究高三（1）班女生的身高x（單位；cm）與體重y（單位：kg）的關系，從該班隨機抽取10名女生，根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為．已知，，．該班某女生的身高為170cm，據此估計其體重為________________kg．〖答案〗54.5〖解析〗，，故，解得：，故回歸直線方程為，則當時，(kg).故〖答案〗為：54.514．如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內切與圓外切．則動圓圓心的軌跡的方程為___________.〖答案〗〖解析〗因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，設動圓的半徑為，因為動圓與圓內切，與圓外切，所以，，于是，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，從而，所以.所以動圓圓心的軌跡的方程為．故〖答案〗為：.15．隨著疫情解除，經濟形勢逐漸好轉，很多公司的股票價格開始逐步上升．經調查，A公司的股價在去年年初（時）的股價是每股5元人民幣，到了年末（時）漲到了每股6元人民幣．經過建立模型分析發現，在第t個月的時候，A公司的股價可以用函數來表示，其中k為常數．假設A公司的股價繼續按照上述的模型持續增長，則當A公司的股價漲到10元時，t的值約為______（結果精確到個位數，參考數據：，，．）〖答案〗42〖解析〗解：因為A公司的股價在時是每股5元人民幣，所以，所以．經過12個月后，得到，所以．根據題意，要股價漲到10元，則，所以，所以．故〖答案〗為：42.16．刺繡是中國優秀的民族傳統工藝之一，已經有2000多年的歷史.小王同學在刺繡選修課上，設計了一個螺旋形圖案--即圖中的陰影部分.它的設計方法是：先畫一個邊長為3的正三角形，取正三角形各邊的三等分點，得到第一個陰影三角形；在正三角形中，再取各邊的三等分點，得到第二個陰影三角形；繼續依此方法，直到得到圖中的螺旋形圖案，則______;圖中螺旋形圖案的面積為______.〖答案〗

〖解析〗解：設正三角形的邊長為，后續各正三角形的邊長依次為，，，設第一個陰影三角形面積為,后續陰影三角形面積為由題意知，，，所以為以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，所以；所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數列，故圖中陰影部分面積為，故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，求c的取值范圍．解：（1）由已知及正弦定理，得，即，∴．又∵，∴；（2）由（1）及正弦定理得，∵，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．18．（12分）已知正項數列的前n項和為，且，，．（1）求；（2）在數列的每相鄰兩項之間依次插入，得到數列，求的前100項和.解：（1）因為，當時，，

因為，所以，故．當時，適合上式，所以，.（2）（方法1）因為，，所以當時，．所以所以數列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，設，則，因為，所以.

所以的前100項是由14個1與86個2組成．所以.

（方法2）設，則，因為，所以.

根據數列的定義，知.19．（12分）“稻草很輕，但是他迎著風仍然堅韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當你為未來付出踏踏實實努力的時候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風景都終將在你生命里出現”……當讀到這些話時，你會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學生的閱讀時間，從該校隨機抽取了名學生進行調查，得到了這名學生一周的平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值；（2）為進一步了解這名學生閱讀時間的分配情況，從周平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現從這人中隨機抽取人，記周平均閱讀時間在內的學生人數為，求的分布列和數學期望；（3）以樣本的頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取名學生，用表示這名學生中恰有名學生周平均閱讀時間在內的概率，其中．當最大時，寫出的值．解：（1），.（2）由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時間在，，三組的頻率之比為，人中，周平均閱讀時間在的人數為人；在的人數為人；在的人數為人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數學期望.（3）用頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取名學生，周平均閱讀時間在內的概率；則，若最大，則最大，當時，取得最大值.20．（12分）在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長為2的正方形且平行于底面，，，的中點分別為，，，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）一束光從玻璃窗面上點射入恰經過點（假設此時光經過玻璃為直射），求這束光在玻璃窗上的入射角的正切值．（1）證明：過點作的平行線，由題意可知以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，．設平面的法向量為，，，，，令，則，∵，∴，平面.（2）解：根據圖形易知平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值.（3）解：，入射角為，，因為，所以，.故這束光在玻璃窗上的入射角的正切值為.21．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓：焦距為2，過點的直線與橢圓交于兩點.當直線過原點時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）若存在直線，使得，求的取值范圍.解：（1）因為直線過原點時，，設，由可得：，即設不妨點在第一象限，所以，代入橢圓的方程，可得，又由題意可知，，且，解得，，所以橢圓的標準方程為；（2）易知直線的斜率存在，設：，與橢圓的方程聯立，消去，整理得，由題意可知，，整理得，解得，設，，則，，①由題意，，將①代入上式，整理得，有，由，則，故，即.22．（12分）我國南北朝時期的數學家祖沖之（公元429年-500年）計算出圓周率的精確度記錄在世界保持了千年之久，德國數學家魯道夫（公元1540年-1610年）用一生精力計算出了圓周率的35位小數，隨著科技的進步，一些常數的精確度不斷被刷新．例如：我們很容易能利用計算器得出函數的零點的近似值，為了實際應用，本題中取的值為-0.57．哈三中畢業生創辦的倉儲型物流公司建造了占地面積足夠大的倉庫，內部建造了一條智能運貨總干線，其在已經建立的直角坐標系中的函數〖解析〗式為，其在處的切線為，現計劃再建一條總干線，其中m為待定的常數．注明：本題中計算的最終結果均用數字表示．（1）求出的直線方程，并且證明：在直角坐標系中，智能運貨總干線上的點不在直線的上方；（2）在直角坐標系中，設直線，計劃將倉庫中直線與之間的部分設為隔離區，兩條運貨總干線、分別在各自的區域內，即曲線上的點不能越過直線，求實數m的取值范圍．（1）解：由函數，可得，則且，所以的方程為，即因為函數的零點的近似值，即，所以，可得又因為，所以的直線方程為令其中，則，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，函數取得極大值，也為最大值，即，所以在直角坐標系中，智能運貨總干線上的點不在直線的上方.（2）解：由曲線且，令，要使得兩條運貨總干線、分別在各自的區域內，則滿足恒成立，又由，令，可得，即，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，函數取得最小值，最小值為，令，即，即，即，因為，可得，又因為函數的零點的近似值，即，所以，則，又由，所以，所以實數的取值范圍是.2023年高考數學考前信息必刷卷5（新高考地區專用）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則z的虛部為（

）A． B． C．2 D．〖答案〗C〖解析〗設，則，因為，即有，整理得，解得，所以z的虛部為2．故選：C.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意得，，∴.故選:D．3．已知函數，圖像上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等于（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗根據，可得，故，所以，故的周期為24，所以，，故選：A．4．為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持每日測溫報告，以下是高三一班，二班各10名同學的體溫記錄（從低到高）：高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位：℃），高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（單位：℃）若這兩組數據的第25百分位數、第90百分位數都分別對應相等，則為（

）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3〖答案〗C〖解析〗由，可得第25百分位數分別為和，則；由，可得第90百分位數分別為和，則，解得；故.故選：C.5．如圖，直三棱柱中，，，，點是的中點，點是線段上一動點，點在平面上移動，則，兩點之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．1〖答案〗A〖解析〗連接交于點，連接，∵分別為的中點，則，且平面，平面，∴平面，則點到平面的距離相等，設為，則，兩點之間距離的最小值為，即點到平面的距離為，∵的中點在上，則點到平面的距離為，由題意可得為，由，則，解得，故，兩點之間距離的最小值為.故選：A.6．如圖所示，當籃球放在桌面并被斜上方一個燈泡（當成質點）發出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點是橢圓的右焦點．若籃球的半徑為個單位長度，燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面上的點為，橢圓的右頂點到點的距離為個單位長度，則此時橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗以為坐標原點，可建立如圖所示平面直角坐標系，由題意知：，，，，則直線，即，設，則，點到直線的距離，解得：，，即；設直線，即，點到直線的距離，解得：或，又直線，，即直線，令，解得：，即，，即；由得：，橢圓離心率.故選：D.7．已知數列滿足：當時，，其中為正整數，則使得不等式成立的的最小值為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗記數列的前項和為，當時，，即數列中值為的項數為，則，令，可得，因為，所以，滿足不等式的的最小值為．因為，，，故的最小值為．故選：C.8．已知，，.其中為自然對數的底數，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由，令，令，則，當時，，所以在上單調遞增，又，所以，又，所以，在成立，所以，即，所以，即，令，所以，因為，所以，即，所以在上單調遞減，所以，即令，所以，因為，所以，即，所以在上單調遞減，所以，即，所以，在成立，令，則上式變為，所以，即，綜上，.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．“50米跑”是《國家學生體質健康標準》測試項目中的一項．已知某地區高中女生的“50米跑”測試數據（單位：秒）服從正態分布，且．現從該地區高中女生中隨機抽取5人，并記這5人“50米跑”的測試數據落在內的人數為，則下列正確的有（

）A． B．C． D．〖答案〗BC〖解析〗因為服從正態分布，故，，則，故A錯誤，B正確；5人“50米跑”的測試數據符合二項分布，即，故C正確；，故D錯誤；故選：BC.10．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，是的中點，則（

）A． B．C． D．〖答案〗ABC〖解析〗如圖建立平面直角坐標系，則，對A，，正確；對B，，，正確；對C，，正確；對D，，，錯誤.故選：ABC.11．在中，所對的邊為，，邊上的高為，則下列說法中正確的是（

）A． B． C．的最小值為 D．的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗設邊上的高為，則，，，即，A正確；由余弦定理得：，又，，，B正確；，，，，；，，，，C錯誤，D正確.故選：ABD.12．設，當時，規定，如，．則（

）A．B．C．設函數的值域為M，則M的子集個數為32D．〖答案〗BCD〖解析〗對于A中，例如，則，可得，所以A錯誤；對于B中，由，所以，所以，所以，所以B正確；對于C中，因為，可得，當時，可得，即函數的值域為，所以集合的子集個數為，所以C正確；對于D中，設，若，可得，所以，，則，所以的周期為，又當時，可得，此時；，此時；，此時；，此時，所以，結合周期為，即恒為，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．為了研究高三（1）班女生的身高x（單位；cm）與體重y（單位：kg）的關系，從該班隨機抽取10名女生，根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為．已知，，．該班某女生的身高為170cm，據此估計其體重為________________kg．〖答案〗54.5〖解析〗，，故，解得：，故回歸直線方程為，則當時，(kg).故〖答案〗為：54.514．如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內切與圓外切．則動圓圓心的軌跡的方程為___________.〖答案〗〖解析〗因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，設動圓的半徑為，因為動圓與圓內切，與圓外切，所以，，于是，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，從而，所以.所以動圓圓心的軌跡的方程為．故〖答案〗為：.15．隨著疫情解除，經濟形勢逐漸好轉，很多公司的股票價格開始逐步上升．經調查，A公司的股價在去年年初（時）的股價是每股5元人民幣，到了年末（時）漲到了每股6元人民幣．經過建立模型分析發現，在第t個月的時候，A公司的股價可以用函數來表示，其中k為常數．假設A公司的股價繼續按照上述的模型持續增長，則當A公司的股價漲到10元時，t的值約為______（結果精確到個位數，參考數據：，，．）〖答案〗42〖解析〗解：因為A公司的股價在時是每股5元人民幣，所以，所以．經過12個月后，得到，所以．根據題意，要股價漲到10元，則，所以，所以．故〖答案〗為：42.16．刺繡是中國優秀的民族傳統工藝之一，已經有2000多年的歷史.小王同學在刺繡選修課上，設計了一個螺旋形圖案--即圖中的陰影部分.它的設計方法是：先畫一個邊長為3的正三角形，取正三角形各邊的三等分點，得到第一個陰影三角形；在正三角形中，再取各邊的三等分點，得到第二個陰影三角形；繼續依此方法，直到得到圖中的螺旋形圖案，則______;圖中螺旋形圖案的面積為______.〖答案〗

〖解析〗解：設正三角形的邊長為，后續各正三角形的邊長依次為，，，設第一個陰影三角形面積為,后續陰影三角形面積為由題意知，，，所以為以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，所以；所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數列，故圖中陰影部分面積為，故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，求c的取值范圍．解：（1）由已知及正弦定理，得，即，∴．又∵，∴；（2）由（1）及正弦定理得，∵，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．18．（12分）已知正項數列的前n項和為，且，，．（1）求；（2）在數列的每相鄰兩項之間依次插入，得到數列，求的前100項和.解：（1）因為，當時，，

因為，所以，故．當時，適合上式，所以，.（2）（方法1）因為，，所以當時，．所以所以數列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，設，則，因為，所以.

所以的前100項是由14個1與86個2組成．所以.

（方法2）設，則，因為，所以.

根據數列的定義，知.19．（12分）“稻草很輕，但是他迎著風仍然堅韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當你為未來付出踏踏實實努力的時候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風景都終將在你生命里出現”……當讀到這些話時，你會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學生的閱讀時間，從該校隨機抽取了名學生進行調查，得到了這名學生一周的平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值；（2）為進一步了解這名學生閱讀時間的分配情況，從周平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現從這人中隨機抽取人，記周平均閱讀時間在內的學生人數為，求的分布列和數學期望；（3）以樣本的頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取名學生，用表示這名學生中恰有名學生周平均閱讀時間在內的概率，其中．當最大時，寫出的值．解：（1），.（2）由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時間在，，三組的頻率之比為，人中，周平均閱讀時間在的人數為人；在的人數為人；在的人數為人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數學期望.（3）用頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取名學生，周平均閱讀時間在內的概率；則，若最大，則最大，當時，取得最大值.20．（12分）在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長為2的正方形且平行于底面，，，的中點分別為，，，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）一束光從玻璃窗面上點射入恰經過點（假設此時光經過玻璃為直射），求這束光在玻璃窗上的入射角的正切值