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文檔簡介
新疆伊犁市奎屯市第一高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,,則()A. B. C. D.2.對于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.3.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.4.如圖,將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形,將平行四邊形沿對角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.5.點(diǎn)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.7.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},則=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}8.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③9.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.10.已知某口袋中有3個白球和個黑球(),現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個不同顏色的球(即若取出的是白球,則放回一個黑球;若取出的是黑球,則放回一個白球),記換好球后袋中白球的個數(shù)是.若,則=()A. B.1 C. D.211.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù),,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某班星期一共八節(jié)課(上午、下午各四節(jié),其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動),排課要求為:語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)各排一節(jié),從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰(上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法有__________種.14.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足,則的最小值是______.15.某校高二(4)班統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)中午在食堂用餐時間,有7人用時為6分鐘,有14人用時7分鐘,有15人用時為8分鐘,還有4人用時為10分鐘,則高二(4)班全體同學(xué)用餐平均用時為____分鐘.16.已知函數(shù),對于任意都有,則的值為______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知關(guān)于的不等式解集為().(1)求正數(shù)的值;(2)設(shè),且,求證:.18.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為.且經(jīng)過點(diǎn)(1,),A,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D,E兩點(diǎn)(其中D在x軸上方).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若△AEF與△BDF的面積之比為1:7,求直線l的方程.19.(12分)如圖,在平行四邊形中,,,現(xiàn)沿對角線將折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P,點(diǎn)M,N分別在直線,上,且A,B,M,N四點(diǎn)共面.(1)求證:;(2)若平面平面,二面角平面角大小為,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)設(shè),函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)函數(shù).①若,試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點(diǎn);②求證:對任意的,直線都不是的切線;(2)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在極小值,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.21.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)若存在兩個極值點(diǎn),,證明:.22.(10分)如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是邊長為2的菱形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱DC,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn).求證:(1)直線平面EFG;(2)直線平面SDB.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對稱點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號).又與為函數(shù)的“線性對稱點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、D【解析】
集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.4、C【解析】
利用建系,假設(shè)長度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面,然后利用解三角形知識求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,利用的幾何意義即可得到結(jié)論.【詳解】不等式組作出可行域如圖:,,,的幾何意義是動點(diǎn)到的斜率,由圖象可知的斜率為1,的斜率為:,則的取值范圍是:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.6、A【解析】
由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.7、C【解析】
根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集的概念,可得結(jié)果.【詳解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是集合并集,補(bǔ)集的概念,屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識,判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋郑寓僬_.,所以②正確.將的圖象向右平移個單位長度,得,所以③錯誤.所以①②正確,③錯誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
對復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算,并計(jì)算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)椋詚的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念,計(jì)算過程要注意.10、B【解析】由題意或4,則,故選B.11、A【解析】
選取中間值和,利用對數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.12、B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時乘以,化簡整理得詳解:,故選B點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的常考問題,屬于得分題,主要考查的方面有:復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,在運(yùn)算時注意符號的正、負(fù)問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1344【解析】
分四種情況討論即可【詳解】解:數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時有:數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時有:數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時有:數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時有:所以共有1344種故答案為:1344【點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用,注意分類討論,做到不重不漏;基礎(chǔ)題.14、【解析】
先分離出,應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù),進(jìn)而求出最小值.【詳解】解:若取最小值,則異號,,根據(jù)題意得:,又由,即有,則,即的最小值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值,屬于中檔題.15、7.5【解析】
分別求出所有人用時總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).【詳解】故答案為:7.5【點(diǎn)睛】此題考查求平均數(shù),關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算出所有數(shù)據(jù)之和,易錯點(diǎn)在于概念辨析不清導(dǎo)致計(jì)算出錯.16、【解析】
由條件得到函數(shù)的對稱性,從而得到結(jié)果【詳解】∵f=f,∴x=是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的一條對稱軸.∴f=±2.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型三角函數(shù)的對稱性,注意對稱軸必過最高點(diǎn)或最低點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)將不等式化為,求解得出,根據(jù)解集確定正數(shù)的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質(zhì),得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號綜上.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求絕對值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)(2).【解析】
(1)利用離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)建立方程組,求解即可.(2)把面積之比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可求.【詳解】解:(1)設(shè)焦距為2c,由題意知:;解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知:F(﹣1,0),設(shè)l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直線l的方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題,橢圓方程一般利用待定系數(shù)法,建立方程組進(jìn)行求解,面積問題的合理轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)余弦定理,可得,利用//,可得//平面,然后利用線面平行的性質(zhì)定理,//,最后可得結(jié)果.(2)根據(jù)二面角平面角大小為,可知N為的中點(diǎn),然后利用建系,計(jì)算以及平面的一個法向量,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)不妨設(shè),則,在中,,則,因?yàn)椋裕驗(yàn)?/,且A、B、M、N四點(diǎn)共面,所以//平面.又平面平面,所以//.而,.(2)因?yàn)槠矫嫫矫妫遥云矫妫驗(yàn)椋云矫妫驗(yàn)椋矫媾c平面夾角為,所以,在中,易知N為的中點(diǎn),如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,設(shè)平面的一個法向量為,則由,令,得.設(shè)與平面所成角為,則.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理以及線面角,熟練掌握利用建系的方法解決幾何問題,將幾何問題代數(shù)化,化繁為簡,屬中檔題.20、(1)①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明見解析;(2)且;【解析】
(1)①令,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可;②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求出切線方程,得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;(2)求出的解析式,通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定的范圍即可.【詳解】解:(1)①當(dāng)時,函數(shù),令,,則,,故,又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線,故函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明:假設(shè)存在,使得直線是曲線的切線,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,且,則切線在點(diǎn)切線方程為,即,從而,且,消去,得,故滿足等式,令,所以,故函數(shù)在和上單調(diào)遞增,又函數(shù)在時,故方程有唯一解,又,故不存在,即證;(2)由得,,,令,則,,當(dāng)時,遞減,故當(dāng)時,,遞增,當(dāng)時,,遞減,故在處取得極大值,不合題意;時,則在遞減,在,遞增,①當(dāng)時,,故在遞減,可得當(dāng)時,,當(dāng)時,,,易證,令,,令,故,則,故在遞增,則,即時,,故在,內(nèi)存在,使得,故在,上遞減,在,遞增,故在處取得極小值.②由(1)知,,故在遞減,在遞增,故時,,遞增,不合題意;③當(dāng)時,,當(dāng),時,,遞減,當(dāng)時,,遞增,故在處取極小值,符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的范圍是且.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.21、(1)見解析;(2)見解析【解析】
(1)求得的導(dǎo)函數(shù),對分成兩種情況,討論的單調(diào)性.(2)由(1)判斷出的取值范圍,根據(jù)韋達(dá)定理求得的關(guān)系式,利用差比較法,計(jì)算,通過構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,由此證得,進(jìn)而證得不等式成立.【詳解】(1).當(dāng)時,,此時在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,由解得或,∵是增函數(shù),∴此時在和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)由(1)知.,,,不妨設(shè),∴,,令,∴,∴在上是減函數(shù),,∴,即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.22、(1)見解析(2)見解析【解析
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