2024年初一上冊數學專項練習一元一次方程的解法（提高）知識講解【學習目標】熟悉解一元一次方程的一般步驟，理解每步變形的依據；掌握一元一次方程的解法，體會解法中蘊涵的化歸思想；進一步熟練掌握在列方程時確定等量關系的方法.【要點梳理】要點一、解一元一次方程的一般步驟變形名稱具體做法注意事項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(1)不要漏乘不含分母的項(2)分子是一個整體的，去分母后應加上括號去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號(1)不要漏乘括號里的項(2)不要弄錯符號移項把含有未知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊(記住移項要變號)(1)移項要變號(2)不要丟項合并同類項把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指數不變系數化成1在方程兩邊都除以未知數的系數a，得到方程的解．不要把分子、分母寫顛倒要點詮釋：（1）解方程時，表中有些變形步驟可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的順序，有些步驟可以合并簡化．(2)去括號一般按由內向外的順序進行，也可以根據方程的特點按由外向內的順序進行.（3）當方程中含有小數或分數形式的分母時，一般先利用分數的性質將分母變為整數后再去分母，注意去分母的依據是等式的性質，而分母化整的依據是分數的性質，兩者不要混淆．要點二、解特殊的一元一次方程1.含絕對值的一元一次方程解此類方程關鍵要把絕對值化去，使之成為一般的一元一次方程，化去絕對值的依據是絕對值的意義．要點詮釋：此類問題一般先把方程化為的形式，再分類討論：(1)當時，無解；（2）當時，原方程化為：；（3）當時，原方程可化為：或.2.含字母的一元一次方程此類方程一般先化為最簡形式ax＝b，再分三種情況分類討論：（1）當a≠0時，；（2）當a＝0，b＝0時，x為任意有理數；（3）當a＝0，b≠0時，方程無解．【典型例題】類型一、解較簡單的一元一次方程 1．關于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，則m的值是（）A.10B.-8C.-10D.8【答案】B．【解析】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2由題意知=m﹣2解之得：m=﹣8．【總結升華】根據題目給出的條件，列出方程組，便可求出未知數．舉一反三：【變式】下列方程的解法對不對?如果不對，錯在哪里?應當怎樣改正?3x+2＝7x+5解：移項得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，系數化為1得．【答案】以上的解法是錯誤的，其錯誤的原因是在移項時沒有變號，也就是說將方程中右邊的7x移到方程左邊應變為-7x，方程左邊的2移到方程右邊應變為-2．正確解法：解：移項得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系數化為1得．類型二、去括號解一元一次方程2.解方程：．【答案與解析】解法1：先去小括號得：．再去中括號得：．移項，合并得：．系數化為1，得：．解法2：兩邊均乘以2，去中括號得：．去小括號，并移項合并得：，解得：．解法3：原方程可化為：．去中括號，得．移項、合并，得．解得．【總結升華】解含有括號的一元一次方程時，一般方法是由內到外或由外到內逐層去括號，但有時根據方程的結構特點，靈活恰當地去括號，以使計算簡便．例如本題的方法3：方程左、右兩邊都含(x-1)，因此將方程左邊括號內的一項x變為(x-1)后，把(x-1)視為一個整體運算．3．解方程：．【答案與解析】解法1：(層層去括號)去小括號．去中括號．去大括號．移項、合并同類項，得，系數化為1，得x＝30．解法2：(層層去分母)移項，得．兩邊都乘2，得．移項，得．兩邊都乘2，得．移項，得，兩邊都乘2，得．移項，得，系數化為1，得x＝30．【總結升華】此題既可以按去括號的思路做，也可以按去分母的思路做．舉一反三：【變式】解方程．【答案】解：方程兩邊同乘2，得．移項、合并同類項，得．兩邊同乘以3，得．移項、合并同類項，得．兩邊同乘以4，得．移項，得，系數化為1，得x＝5．類型三、解含分母的一元一次方程4．解方程﹣=．【思路點撥】方程整理后，去分母，去括號，移項合并同類項，把x系數化為1，即可求出解．【答案與解析】解：原方程可化為6x﹣=，兩邊同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，移項合并，得10x=-7解得：x=﹣0.7．【總結升華】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，把未知數系數化為1，求出解．舉一反三：【變式】解方程．【答案】解：原方程可化為．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括號，得12y+27-15-10y＝15．移項、合并同類項，得2y＝3．系數化為1，得．類型四、解含絕對值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0．【思路點撥】將絕對值里面的式子看作整體，先求出整體的值，再求x的值．【答案與解析】解：原方程可化為：．當x≥0時，得，解得：，當x＜0時，得，解得：，所以原方程的解是x＝或x＝．【總結升華】此類問題一般先把方程化為的形式，再根據（）的正負分類討論，注意不要漏解．舉一反三：【變式】已知關于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解滿足方程|x﹣|=0，則m的值為（）A.B.2C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x代入方程mx+2=2（m﹣x）得：m+2=2（m﹣），解之得：m=2.類型五、解含字母系數的方程6.解關于的方程：【答案與解析】解：原方程可化為：當，即時，方程有唯一解為：；當，即時，方程無解．【總結升華】解含字母系數的方程時，先化為最簡形式，再根據系數是否為零進行分類討論．舉一反三：【變式】若關于x的方程(k-4)x=6有正整數解，求自然數k的值.【答案】解：∵原方程有解，∴原方程的解為：為正整數，∴應為6的正約數，即可為：1，2，3，6∴為：5，6，7，10答：自然數k的值為：5，6，7，10.實際問題與一元一次方程（一）（基礎）知識講解【學習目標】1.熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路．【要點梳理】知識點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．要點詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關系，尋找等量關系；（2）“設”就是設未知數，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數；（3）“列”就是列方程，即列代數式表示相等關系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統一；（4）“解”就是解方程，求出未知數的值；（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．知識點二、常見列方程解應用題的幾種類型（待續）1．和、差、倍、分問題（1）基本量及關系：增長量＝原有量×增長率，現有量＝原有量+增長量，現有量＝原有量-降低量．（2）尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．2．行程問題（1）三個基本量間的關系：路程=速度×時間

（2）基本類型有：

①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關系：相遇路程=速度和×相遇時間Ⅱ．尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關系：追及路程=速度差×追及時間Ⅱ．尋找相等關系：同地不同時出發：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同時不同地出發：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．（3）解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，并且還常常借助畫草圖來分析．3．工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設為1．基本關系式：（1）總工作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和．4．調配問題尋找相等關系的方法：抓住調配后甲處的數量與乙處的數量間的關系去考慮．【典型例題】類型一、和差倍分問題1．在紅城中學舉行的“我愛祖國”征文活動中，七年級和八年級共收到征文118篇，且七年級收到的征文篇數是八年級收到的征文篇數的一半還少2篇，求七年級收到的征文有多少篇？【思路點撥】設七年級收到的征文有x篇，則八年級收到的征文有（118﹣x）篇．結合七年級收到的征文篇數是八年級收到的征文篇數的一半還少2篇，即可列出關于x的一元一次方程，解方程即可得出結論．【答案與解析】解：設七年級收到的征文有x篇，則八年級收到的征文有（118﹣x）篇，依題意得：（x+2）×2=118﹣x，解得：x=38．答：七年級收到的征文有38篇．【總結升華】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是列出方程（x+2）×2=118﹣x．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據數量關系列出方程（或方程組）是關鍵．舉一反三：【變式】學校機房今年和去年共購置了100臺計算機，已知今年購置計算機數量是去年購置計算機數量的3倍，今年購置計算機的數量是（） A． 25臺 B． 50臺 C． 75臺 D． 100臺【答案】C．解：設今年購置計算機的數量是x臺，去年購置計算機的數量是（100﹣x）臺，根據題意可得：x=3（100﹣x），解得：x=75．類型二、行程問題1.一般問題2．小山娃要到城里參加運動會，如果每小時走4千米，那么走完預訂時間離縣城還有0.5千米，如果他每小時走5千米，那么比預訂時間早半小時就可到達縣城．試問學校到縣城的距離是多少千米?【答案與解析】解：設小山娃預訂的時間為x小時，由題意得：4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．答：學校到縣城的距離是12.5千米．【總結升華】當直接設未知數有困難時，可采用間接設的方法．即所設的不是最后所求的，而是通過求其它的數量間接地求最后的未知量．舉一反三：【變式】某汽車在一段坡路上往返行駛，上坡的速度為10千米/時，下坡的速度為20千米/時，求汽車的平均速度．【答案】解：設這段坡路長為a千米，汽車的平均速度為x千米/時，則上坡行駛的時間為小時，下坡行駛的時間為小時．依題意，得：，化簡得：．顯然a≠0，解得．答：汽車的平均速度為千米/時．2.相遇問題（相向問題）3．A、B兩地相距100km，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地出發相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲騎了1h后，乙從B地出發，問甲經過多少時間與乙相遇？【答案與解析】解:設甲經過x小時與乙相遇.由題意得：．解得，x=2.75．答：甲經過2.75小時與乙相遇．【總結升華】等量關系：甲走的路程+乙走的路程=100km舉一反三：【變式】甲、乙兩人騎自行車，同時從相距45km的兩地相向而行，2小時相遇，每小時甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小時各行駛多少千米?【答案】解：設乙每小時行駛x千米，則甲每小時行駛(x+2.5)千米，根據題意，得：．解得：．（千米）答：甲每小時行駛12.5千米，乙每小時行駛10千米3.追及問題（同向問題）4．一隊學生去校外進行軍事野營訓練，他們以5千米/時的速度行進，走了18分鐘時，學校要將一緊急通知傳給隊長，通訊員從學校出發，騎自行車以14千米/時的速度按原路追上去，通訊員用多少分鐘可以追上學生隊伍?【答案與解析】解：設通訊員x小時可以追上學生隊伍，則根據題意，得．得：，小時=10分鐘．答：通訊員用10分鐘可以追上學生隊伍．【總結升華】追及問題：路程差=速度差×時間，此外注意：方程中x表示小時，18表示分鐘，兩邊單位不一致，應先統一單位．4.航行問題（順逆流問題）5．一艘船航行于A、B兩個碼頭之間，輪船順水航行需3小時，逆水航行需5小時，已知水流速度是4千米/時，求這兩個碼頭之間的距離．【答案與解析】解法1：設船在靜水中速度為x千米/時，則船順水航行的速度為(x+4)千米/時，逆水航行的速度為(x-4)千米/時，由兩碼頭的距離不變得方程：3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，（16+4）×3=60（千米）．答：兩碼頭之間的距離為60千米．解法2：設A、B兩碼頭之間的距離為x千米，則船順水航行時速度為千米/時，逆水航行時速度為千米/時，由船在靜水中的速度不變得方程：，解得：．答：兩碼頭之間的距離為60千米．【總結升華】順流速度=靜水速度+水流速度；逆流速度=靜水速度-水流速度，根據兩個碼頭的距離不變或船在靜水中的速度不變列方程．類似地，當物體在空中飛翔時，常會遇到順風逆風問題，解題思路類似順逆流問題．類型三、工程問題6．一個水池有兩個注水管，兩個水管同時注水，10小時可以注滿水池；甲管單獨開15小時可以注滿水池，現兩管同時注水7小時，關掉甲管，單獨開乙管注水，還需要幾小時能注滿水池?【思路點撥】視水管的蓄水量為“1”，設乙管還需x小時可以注滿水池；那么甲乙合注1小時注水池的，甲管單獨注水每小時注水池的，合注7小時注水池的，乙管每小時注水池的．【答案與解析】解：設乙管還需x小時才能注滿水池．由題意得方程：．解此方程得：x＝9．答：單獨開乙管，還需9小時可以注滿水池．【總結升華】工作效率×工作時間=工作量，如果沒有具體的工作量，一般視總的工作量為“1”．舉一反三：【變式】修建某處住宅區的自來水管道，甲單獨完成需14天，乙單獨完成需18天，丙單獨完成需12天，前7天由甲、乙兩人合作，但乙中途離開了一段時間，后兩天由乙、丙合作完成問乙中途離開了幾天?【答案】解：設乙中途離開x天，由題意得：．解得：．答：乙中途離開了3天．類型四、調配問題（比例問題、勞動力調配問題）7．（2015春?衡陽校級月考）某班分兩組去兩處植樹，第一組22人，第二組26人．現第一組在植樹中遇到困難，需第二組支援．問從第二組調多少人去第一組才能使第一組的人數是第二組的2倍？設抽調x人，則可列方程（） A． 22+x=2×26 B． 22+x=2（26﹣x） C． 2（22+x）=26﹣x D． 22=2（26﹣x）【思路點撥】設抽調x人，則調后一組有（22+x）人，第二組有（26﹣x）人，根據關鍵語句：使第一組的人數是第二組的2倍列出方程即可．【答案】B．【解析】解：設抽調x人，由題意得：（22+x）=2（26﹣x），【總結升華】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，關鍵是正確理解題意，表示出調后兩個組的人數．舉一反三：【變式】甲隊有72人，乙隊有68人，需要從甲隊調出多少人到乙隊，才能使甲隊恰好是乙隊人數的.解：設從甲隊調出x人到乙隊.由題意得，．解得，x=12.答：需要從甲隊調出12人到乙隊，才能使甲隊恰好是乙隊人數的.實際問題與一元一次方程（一）（提高）知識講解【學習目標】1.熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路．【要點梳理】知識點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．要點詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關系，尋找等量關系；（2）“設”就是設未知數，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數；（3）“列”就是列方程，即列代數式表示相等關系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統一；（4）“解”就是解方程，求出未知數的值；（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．知識點二、常見列方程解應用題的幾種類型（待續）1．和、差、倍、分問題（1）基本量及關系：增長量＝原有量×增長率，現有量＝原有量+增長量，現有量＝原有量-降低量．（2）尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．2．行程問題（1）三個基本量間的關系：路程=速度×時間

（2）基本類型有：

①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關系：相遇路程=速度和×相遇時間Ⅱ．尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關系：追及路程=速度差×追及時間Ⅱ．尋找相等關系：同地不同時出發：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同時不同地出發：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．（3）解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，并且還常常借助畫草圖來分析．3．工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設為1．基本關系式：（1）總工作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和．4．調配問題尋找相等關系的方法：抓住調配后甲處的數量與乙處的數量間的關系去考慮．【典型例題】類型一、和差倍分問題1．旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

【答案與解析】解：設油箱里原有汽油x公斤，由題意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%.

解得：x=10.

答：油箱里原有汽油10公斤.【總結升華】等量關系為：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.舉一反三：【變式】某班舉辦了一次集郵展覽，展出的郵票若平均每人3張則多24張，若平均每人4張則少26張，這個班有多少學生?一共展出了多少張郵票?【答案】解：設這個班有x名學生，根據題意得：3x+24＝4x-26解得：x＝50.所以3x+24＝3×50+24＝174（張）.答：這個班有50名學生，一共展出了174張郵票．類型二、行程問題1.車過橋問題2.某橋長1200m，現有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個火車在橋上的時間是30s，求火車的長度和速度．【思路點撥】正確理解火車“完全過橋”和“完全在橋上”的不同含義．【答案與解析】解：設火車車身長為xm，根據題意，得：，解得：x＝300，所以．答：火車的長度是300m，車速是30m/s．【總結升華】火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：A點表示火車頭)：(1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時火車走的路程是橋長+車長．(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時火車走的路程是橋長－車長．由于火車是勻速行駛的，所以等量關系是火車從上橋到完全過橋的速度＝整個火車在橋上的速度．舉一反三：【變式】某要塞有步兵692人，每4人一橫排，各排相距1米向前行走，每分鐘走86米，通過長86米的橋，從第一排上橋到排尾離橋需要幾分鐘？【答案】解：設從第一排上橋到排尾離橋需要x分鐘，列方程得：，解得：x＝3答：從第一排上橋到排尾離橋需要3分鐘．2.相遇問題（相向問題）3．昆曲高速公路全長128千米，甲、乙兩車同時從昆明、曲靖兩地高速路收費站相向勻速開出，經過40分鐘相遇，甲車比乙車每小時多行駛20千米．求甲、乙兩車的速度．【思路點撥】設出乙車速度，進而表示出甲車速度，再根據相遇問題，兩車行駛的路程之和為128千米列出方程，解方程求出x的值即可．【答案與解析】解：40分鐘=小時，設乙車速度為x千米/時，甲車速度為（x+20）千米/時，根據題意，得（x+x+20）=128，解得x=86，則甲車速度為：x+20=86+20=106．答：甲車速度為106千米/時，乙車速度為86千米/時．【總結升華】本題主要考查了一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是根據路程=速度×時間公式列出一元一次方程，此題難度不大．舉一反三：【變式】甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩站同時開出，相向而行，途中相遇后繼續沿原路線行駛，在分別到達對方車站后立即返回，兩車第二次相遇時距A站34km，已知甲車的速度是70km/h，乙車的速度是52km/h，求A、B兩站間的距離.【答案】解：設A、B兩站間的距離為xkm，由題意得：解得：x=122答：A、B兩站間的距離為122km.3.追及問題（同向問題）4．一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發2小時后，一輛轎車從甲地去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速度每小時快30千米，但轎車行駛一小時后突遇故障，修理15分鐘后，又上路追這輛卡車，但速度減小了，結果又用兩小時才追上這輛卡車，求卡車的速度．【答案與解析】解：設卡車的速度為x千米/時，由題意得：解得：x=24答：卡車的速度為24千米/時．【總結升華】采用“線示”分析法，畫出示意圖．利用轎車行駛的總路程等于卡車行駛的總路程來列方程，理清兩車行駛的速度與時間．4.航行問題（順逆流問題）5．盛夏，某校組織長江夜游，在流速為2.5千米/時的航段，從A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小時．已知A、C兩地相距10千米，船在靜水中的速度為7.5千米/時，求A、B兩地間的距離．【思路點撥】由于C的位置不確定，要分類討論：（1）C地在A、B之間；（2）C地在A地上游．【答案與解析】解：設A、B兩地間的距離為x千米．(1)當C地在A、B兩地之間時，依題意得：．解這個方程得：x＝20．(2)當C地在A地上游時，依題意得：．解這個方程得：．答：A、B兩地間的距離為20千米或千米．【總結升華】這是航行問題，本題需分類討論，采用“線示”分析法畫出示意圖(如下圖所示)，然后利用“共乘”4小時構建方程求解．類似地，當物體在空中飛翔時，常會遇到順風逆風問題，解題思路類似順逆流問題．5.環形問題6．甲、乙兩人在400米長的環形跑道上跑步，甲分鐘跑240米，乙每分鐘跑200米，二人同時同地同向出發，幾分鐘后二人相遇？若背向跑，幾分鐘后相遇？【思路點撥】在環形跑道上兩人同向而行相遇屬于追及問題，等量關系為：甲路程﹣乙路程=400，兩人背向而行屬于相遇問題，等量關系為：甲路程+乙路程=400．【答案與解析】解：設二人同時同地同向出發，x分鐘后二人相遇，則：240x﹣200x=400，解得：x=10．設兩人背向而行，y分鐘后相遇，則：240y+200y=400，解得：y=．答：二人