試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁九年級教學情況調研測試數學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1．的倒數是（

）A． B．4 C． D．2．截止2024年1月31日，理想汽車累計交付量達到約輛，其中可用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．3．計算的結果是（

）A． B． C． D．4．如圖是由5個完全相同的小正方體組成的幾何體，則該幾何體的主視圖是A． B． C． D．5．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是（）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．只有一個實數根 D．沒有實數根6．當x＝2時，代數式ax3+bx+1的值為6，那么當x＝﹣2時，這個代數式的值是（）A．1 B．﹣4 C．6 D．﹣57．如圖，為的六等分點，甲同學從中任取三點畫一個三角形，乙同學用剩下的點畫一個三角形，則甲乙兩位同學所畫的三角形全等的概率為（

）A． B．1 C． D．8．小麗從常州開車去南京，開了一段時間后，發現油所剩不多了，于是開到服務區加油，加滿油后又開始勻速行駛，下面哪一幅圖可以近似的刻畫該汽車在這段時間內的速度變化情況（

）A． B．C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）9．4的算術平方根是．10．使有意義的x的取值范圍是．11．分解因式：x2y-4y=．12．點關于直線對稱的點的坐標是．13．已知反比例函數，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是．14．已知扇形的圓心角為，半徑為，則這個扇形的面積．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA＝．16．如圖，是的直徑，是的切線，交于點，連結，若，則的大小為．17．如圖，正方形的邊長為，，，，則線段的長為．18．如圖，正方形的邊長為6，為正方形對角線的中點，點在邊上，且，點是邊上的動點，連接，點為的中點，連接，當時，線段的長為．三、解答題（共84分，其中19至26題每題8分，27、28題每題10分）19．計算(1)(2)20．解方程和不等式(1)解方程：(2)解不等式組：21．為增進學生對數學知識的了解，某校開展了兩次知識問答活動，從中隨機抽取了30名學生兩次活動的成績（百分制），并對數據（成績）進行整理、描述和分析．如圖1是將這30名學生的第一次活動成績作為橫坐標，第二次活動成績作為縱坐標繪制而成．(1)學生甲第一次成績是分，則該生第二次成績是分．(2)兩次成績均達到或高于分的學生有個．(3)為了解每位學生兩次活動平均成績的情況，如圖2是這30位學生兩次活動平均成績的頻數分布直方圖（數據分成8組：，，，，，，，），在的成績分別是77、77、78、78、78、79、79，則這30位學生平均成績的中位數是．(4)假設全校有1200名學生參加此次活動，請估計兩次活動平均成績不低于90分的學生人數．22．2024年春晚，魔術師表演了一個與紙牌相關的魔術，讓人大開眼界，這個魔術中隱含了一個數學問題——約瑟夫問題，春晚結束后，小華和小麗玩起了抽撲克牌游戲，他們從同一副撲克牌中選出四張牌，牌面數字分別為3，6，7，9．將這四張牌背面朝上，洗勻．(1)小麗從中隨機抽出一張牌，則抽到這張牌是奇數的概率是______；(2)小麗從中隨機抽取一張，記下牌面上的數字后放回，背面朝上，洗勻，接著小華再從中隨機抽取一張，記下牌面上的數字，請求出他們抽到的兩張撲克牌牌面數字之和恰好是3的倍數的概率．23．如圖，在菱形中，對角線，相交于點，過點作，過點作，與相交于點．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的周長．24．《九章算術》中記載了這樣一個問題：“假設頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據以上譯文，提出以下兩個問題：(1)求每頭牛、羊各值多少兩銀子？(2)若某商人準備用兩銀子買牛和羊共只，要求羊的數目不超過牛的數目的兩倍，且銀兩有剩余，請問商人有幾種購買方法？列出所有可能的購買方案．25．如圖，，，反比例函數的圖像過點，反比例函數經過點．(1)求和的值．(2)過點作軸，與雙曲線交于點，求的面積．26．定義：若實數滿足（為常數，），則在平面直角坐標系中，稱點為的“值友好點”．例如，點是點的“1值友好點”．(1)在，，，四點中，點______是點的“值友好點”．(2)設點是點的“值友好點”．①當時，求的值．②若點坐標為，當時，請直接寫出點的坐標以及的值．27．如圖，拋物線，拋物線交軸于點（點在點的右側），交軸于點，拋物線與拋物線關于原點成中心對稱．

(1)求拋物線的函數表達式和直線對應的函數表達式．(2)點是第一象限內拋物線上的一個動點，連接與相交于點．①作軸，垂足為，當時，求點的橫坐標．②請求出的最大值．28．如圖1，小明借助幾何軟件進行數學探究：中，，，是邊的中點，是線段上的動點（不與點、點重合），邊關于對稱的線段為，連接．(1)當為等腰直角三角形時，的大小為______．(2)圖2，延長，交射線于點．①請問的大小是否變化？如果不變，請求出的大小；如果變化，請說明理由．②若，則的面積最大為______，此時______．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】本題考查倒數的定義，掌握乘積等于1的兩個數互為倒數，即可解題．【詳解】解：的倒數是，故選：A．2．C【分析】本題考查了科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值大于與小數點移動的位數相同．【詳解】解：，故選：C．3．D【分析】本題考查了冪的乘方與積的乘方，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，由此計算即可．【詳解】解：，故選：D．4．A【分析】根據從正面看得到的視圖是主視圖，觀察即可得答案．【詳解】從正面看第一層是三個小正方形，第二層左邊一個小正方形，如圖所示，故選A．【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，解題的關鍵是明確從正面看得到的視圖是主視圖．5．B【詳解】解：根據題意得：△=，則方程有兩個不相等的實數根．故選：B6．B【分析】根據題意可得，再將x＝﹣2代入代數式，即可求解．【詳解】解：∵當x＝2時，代數式ax3+bx+1的值為6，∴，∴，當x＝﹣2時，．故選：B【點睛】本題主要考查了求代數的值，利用整體代入思想解答是解題的關鍵．7．B【分析】本題主要考查了幾何概率，由對稱性可知甲從六個點中選擇任意的三個點組成的三角形，與剩下的三個點組成的三角形的三條邊分別對應相等，可得甲乙兩人所畫的三角形一定全等，據此可得答案．【詳解】解；∵為的六等分點，∴由對稱性可知甲從六個點中選擇任意的三個點組成的三角形，與剩下的三個點組成的三角形的三條邊分別對應相等，∴甲乙兩人所畫的三角形一定全等，∴甲乙兩位同學所畫的三角形全等的概率為1，故選：B．8．B【分析】主要考查了函數圖象的讀圖能力和函數與實際問題結合的應用．橫軸表示時間，縱軸表示速度，根據加速、勻速、減速時，速度的變化情況，進行選擇．【詳解】解：汽車經歷：加速?勻速?減速到站?加速?勻速，加速：速度增加，勻速：速度保持不變，減速：速度下降，到站：速度為0.觀察四個選項的圖象是否符合題干要求，只有B選項符合.故選B.9．2【分析】本題考查了算術平方根的定義，熟練掌握算術平方根的概念是解題的關鍵；根據算術平方根的概念即可求出結果．【詳解】解：，4的算術平方根是2，故答案為：2．10．【詳解】由條件得：3x﹣1≥0，解得：x≥，故答案為x≥．11．y(x+2)(x-2)【分析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續分解因式．【詳解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，故答案為：y(x+2)(x-2)．【點睛】提公因式法和應用公式法因式分解．12．【分析】本題主要考查了關于垂直坐標軸的直線對稱的點坐標．設點關于直線對稱的點為，根據題意得出，即可求解．【詳解】設點關于直線對稱的點為，∴，解得，，∴．故答案為：．13．##【分析】本題主要查了反比例函數的性質，根據反比例函數，當，時，隨增大而減小列不等式求解即可．【詳解】解：反比例函數，當時，隨的增大而減小，，解得．故答案為：．14．【分析】本題考查了扇形面積的計算，直接根據扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：依題意，，故答案為：．15．【分析】根據已知條件設出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據勾股定理求出另一直角邊的長，運用三角函數的定義解答．【詳解】由sinA＝知，可設a＝4x，則c＝5x，b＝3x，∴tanA＝=．故答案為．【點睛】本題考查了同角三角函數的關系．求銳角的三角函數值的方法：利用銳角三角函數的定義，通過設參數的方法求三角函數值，或者利用同角（或余角）的三角函數關系式求三角函數值．16．【分析】本題考查切線的性質、圓周角定理等知識，三角形內角和定理，利用切線的性質求出，由三角形內角和定理求出，根據三角形外角的性質即可求出．【詳解】解：是的直徑，是的切線，，，，，，，，，故答案為：．17．【分析】本題考查了相似三角形的性質與判定，根據題意得出，得出，則，可得，進而列出比例式，代入數據，即可求解．【詳解】解：∵正方形的邊長為，，，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，，∴，∴∴∴解得：，故答案為：．18．【分析】連接，根據已知得出四點共圓，則是直徑，進而證明是等腰直角三角形，，得出，則，勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵四邊形是正方形，∴，∵點為的中點，∴當時，∴四點共圓，∵∴是直徑∴∵為正方形對角線的中點，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴在中，∴∴∴在中，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，圓周角定理，勾股定理，全等三角形的性質與判定，證明是解題的關鍵．19．(1)(2)【分析】本題考查了實數的混合運算，整式的乘法運算；（1）根據二次根式的性質化簡，特殊角的三角函數值，零指數冪進行計算即可求解；（2）根據完全平方公式，平方差公式進行計算即可求解．【詳解】（1）（2）20．(1)(2)【分析】本題考查了解分式方程，一元一次不等式組；（1）先去分母，然后化為整式方程，解方程并檢驗，即可求解；（2）分別解兩個不等式，求公共部分的解集，即可求解．【詳解】（1）解：∴解得：經檢驗，是原方程的根，∴原方程的根為（2）解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：．21．(1)75(2)8(3)79(4)1200名學生參加此次活動，估計兩次活動平均成績不低于90分的學生人數為360人．【分析】（1）找到橫坐標為時，對應的縱坐標的值即可得解；（2）找到橫縱坐標均大于等于的點的個數，即可得解；（3）將數據進行排序后，找到第15和第16位數據，兩個數據的平均值，即為中位數；（4）利用總人數乘以抽樣中兩次活動平均成績不低于90分的占比即可得解．【詳解】（1）解：由圖1可知，橫坐標為時，對應的縱坐標為，∴該生第二次成績是75分；故答案為：75；（2）由圖1可知：橫縱坐標均大于等于的點的個數為個，∴兩次成績均達到或高于分的學生有8個；故答案為：8；（3）解：將平均成績按從低到高排序，可知，中位數為第15個和第16個數據的平均數，∴中位數位于這一組數據中，第15個和第16個數據均為，∴中位數為79；（4）解：由直方圖可知，兩次活動平均成績不低于90分的學生人數有：人，∴1200名學生參加此次活動，估計兩次活動平均成績不低于90分的學生人數為：人；答：1200名學生參加此次活動，估計兩次活動平均成績不低于90分的學生人數為360人．【點睛】本題考查統計圖，頻數分布直方圖，中位數，以及利用樣本估計總體，解題的關鍵是從統計圖和頻數分布直方圖中，有效的獲取信息．22．(1)(2)【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式；（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中抽到這張牌是奇數的結果有3種，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結果數以及他們抽到的兩張撲克牌牌面數字之和恰好是3的倍數的結果數，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：由題意知，共有4種等可能的結果，其中抽到這張牌是奇數的結果有：，，，共種，抽到這張牌是奇數的概率為．故答案為：．（2）列表如下：共有種等可能的結果，其中他們抽到的兩張撲克牌牌面數字之和恰好是的倍數的結果有：，，，，，，，，，共種，他們抽到的兩張撲克牌牌面數字之和恰好是的倍數的概率為23．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）如圖，首先證明四邊形是平行四邊形，然后證明，即可解決問題．（2）如圖，首先證明，；運用勾股定理求出，即可解決問題．【詳解】（1）證：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形∴，∴四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形為菱形，∴，，，由勾股定理得：，而，∴，由（1）得四邊形是矩形，∴四邊形的周長．【點睛】本題考查了矩形的性質、菱形的性質及勾股定理的知識，解題的關鍵是熟練掌握菱形和矩形的性質并能靈活運用．24．(1)每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子；(2)有商人種購買方案，①購買頭牛，只羊；②購買頭牛，只羊；③購買頭牛，只羊．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，（1）設每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，根據頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設購買頭牛，則購買只羊，根據某商人準備用兩銀子買牛和羊共只，要求羊的數目不超過牛的數目的兩倍，且銀兩有剩余，列出一元一次不等式組，解不等式組，即可解決問題．【詳解】（1）解：設每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，由題意得：，解得：，答：每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子；（2）設購買頭牛，則購買只羊，依題意得：，解得：，為整數，，，，有商人種購買方案：①購買頭牛，只羊；②購買頭牛，只羊；③購買頭牛，只羊．25．(1)(2)【分析】本題考查了反比例函數值的幾何意義，相似三角形的性質與判定，待定系數法求反比例函數解析式（1）根據條件可得，利用一線三垂在得到，利用相似比求出點坐標即可解得值；（2）根據軸可得點的坐標為，，可得，依據代入數據計算即可．【詳解】（1）解：反比例函數的圖象過點，，即，，，如圖所示，作軸，軸，垂足分別為，，，，，，，點的坐標為，將點坐標代入得，．（2）軸，，將代入中，得，點的坐標為，所在的直線為，當時，即，，26．(1)(2)①；②時，，時，【分析】（1）根據“k值友好點”的定義代入驗證即可；（2）①先求得，進而根據得出，根據點是點的“值友好點”．得出，進而根據，建立方程，解方程，即可求解．②設的中點為，則即

，作軸，軸，交于點，則，根據圓周角定理可得，進而根據，建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：若是的“k值友好點”，則，不合題意；若是的“k值友好點”，則，不合題意；若是的“k值友好點”，則，不合題意，若是的“k值友好點”，則，符合題意，故答案為：；（2）①∵∴∵∴∵點是點的“值友好點”．∴∴∴即解得：②∵，設的中點為，則即

如圖所示，作軸，軸，交于點，則∴是直角三角形，∴，且，以為圓心為半徑作圓，∴∴∵，∴解得：（舍去）或∴同理可得當以為圓心時，，綜上所述，時，，時，．【點睛】本題考查了坐標與圖形，新定義，勾股定理，圓周角定理，理解新定義是解題的關鍵．27．(1)，；(2)①P的橫坐標為；②的最大值為：．【分析】（1）根據中心對稱的性質可得的表達式，再令，求解，的坐標即可；（2）①如