第23講冪函數及其性質5種題型【考點分析】考點一：冪函數的定義一般地，(為有理數)的函數，即以\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數為\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數為常數的函數稱為冪函數.冪函數的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數①的系數為1； ②的底數是自變量； ③指數為常數.考點二：常見的冪函數圖像及性質：函數圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減，在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點考點三：冪函數的單調性在區間上，當時，是增函數；當時，是減函數.題型一冪函數的概念解題思路：必須是形如(為有理數)的函數才叫冪函數，系數要為【精選例題】【例1】在函數，，，中，冪函數的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因為，所以是冪函數；由于出現系數2，因此不是冪函數；是兩項和的形式，不是冪函數；（），可以看出，常數函數的圖象比冪函數的圖象多了一個點，所以常數函數不是冪函數.故選：B.【例2】（多選題）已知函數為冪函數，則實數的可能性取值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【詳解】由題意得，解得或，當時，，當時，，均滿足要求.故選：AD【跟蹤訓練】1.已知函數為冪函數，則___.【答案】【解析】由于函數為冪函數，則，即，，解得或，所以，，因此，.故答案為：.2.（多選題）已知函數是冪函數，則m的值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】AC【詳解】因為函數是冪函數，所以，解得或.故選：AC.題型二：冪函數的三要素【精選例題】【例1】已知冪函數的圖象經過點，則（）A．B．C．2D．3【答案】A【分析】把點代入冪函數解析式運算求解即可.【詳解】由題意可得：，所以.故選：A.【例2】冪函數中a的取值集合C是的子集，當冪函數的值域與定義域相同時，集合C為A． B． C． D．【答案】C【詳解】當時，定義域和值域均為，符合題意；時，定義域為，值域為，故不合題意；時，定義域為，值域為，符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意；時，定義域為R，值域為，不符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意.故選：C【例3】已知冪函數的圖象與坐標軸沒有公共點，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據冪函數的性質可得，即可代入求解.【詳解】因為為冪函數，所以，解得，或，又的圖象與坐標軸無公共點，故，所以，故，所以.故選:A.【跟蹤訓練】1.已知冪函數的圖象過點，則函數在區間上的最小值是（

）A．1B．2C．4D．8【答案】D【分析】先求出冪函數的解析式，從而得出的表達式，然后再求的最小值.【詳解】因為冪函數的圖像過點，所以，得，所以，則顯然在區間上單調遞增，所以所求最小值為.故選：D2.若冪函數的圖象經過點，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】設冪函數，代點，可求出n，得到冪函數的解析式，進而可求.【詳解】設冪函數，所以，所以.故選：A3.設α∈，則使函數y＝xα的定義域為R的所有α的值為（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3【答案】A【解析】當時，函數y＝的定義域為，不是R，所以不成立；當時，函數y＝的定義域為，不是R，所以不成立；當或時，滿足函數y＝xα的定義域為R，選：A.4．已知冪函數，其圖像與坐標軸無交點，則實數m的值為__________．【答案】【詳解】由冪函數知，得或.當時，圖象與坐標軸有交點，當時，與坐標軸無交點，∴.故答案為:題型三：冪函數的性質【精選例題】【例1】若冪函數在上單調遞減，則（

）A．2 B． C． D．2【答案】C【分析】由冪函數的定義和性質求解即可.【詳解】由冪函數的定義可知，，即，解得或.當時，，在上單調遞增，不合題意;當時，，在上單調遞減，符合題意，故.故選：C.【例2】“”是“冪函數在上單調遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】判斷“”和“冪函數在上單調遞增”之間的邏輯推理關系，即可得答案.【詳解】當時，冪函數，該函數在上單調遞增,當冪函數在上單調遞增時，需滿足，即，故“”是“冪函數在上單調遞增”的充要條件，故選：C【例3】函數是冪函數，對任意，，且，滿足，若，，且，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【答案】B【分析】利用冪函數的定義以及結合成立等價于函數為減函數可求出的值，利用函數的單調性與奇函數求解即可.【詳解】因為對任意，，且，滿足，所以在上為減函數，由已知是冪函數，可得，解得或，當時，，在上為增函數，故不成立.當時，，在上為減函數，滿足條件，故，，故為奇函數，因為，，所以，所以，所以，所以.故選：B【例4】（多選題）已知冪函數的圖象經過點，則（

）A．函數為增函數 B．函數為偶函數C．當時， D．當時，【答案】ACD【詳解】解：設冪函數，則，解得，所以，所以的定義域為，在上單調遞增，故A正確，因為的定義域不關于原點對稱，所以函數不是偶函數，故B錯誤，當時，，故C正確，當時，，又，所以，D正確．故選：ACD.【例5】已知冪函數，下列能成為“是R上的偶函數”的充分條件的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據冪函數的性質，結合充分條件的定義進行判斷即可.【詳解】當時，，因為函數的定義域，關于原點對稱，且，所以為奇函數，不合題意，故A錯誤；當時，，因為函數的定義域，不關于原點對稱，所以為非奇非偶函數，不合題意，故B錯誤；當時，，定義域為，關于原點對稱，且，所以為偶函數，符合題意，故C正確；當時，，定義域為，關于原點對稱，且，所以為奇函數，不合題意，故D錯誤.故選：C.【例6】寫出同時滿足以下三個條件的一個函數．①；②③且．【答案】（答案不唯一）【分析】根據函數奇偶性、運算性質進行求解即可.【詳解】由①可以判斷該函數是奇函數，設；因為，所以滿足②；當且時，，所以函數滿足③且，故答案為：（答案不唯一）【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是判斷函數是奇函數，根據冪函數的性質進行選擇函數.【跟蹤訓練】1.已知冪函數在區間上是單調增函數，且的圖象關于y軸對稱，則m的值為（

）．A． B．0 C．1 D．2【答案】C【詳解】冪函數在區間上是單調增函數，故，解得，，當時，不滿足條件；當時，滿足條件；當時，不滿足條件；故選：C.2．（多選題）下列說法正確的是（

）A．若冪函數的圖象經過點，則解析式為B．若函數，則在區間上單調遞減C．冪函數始終經過點和D．若冪函數圖像關于軸對稱，則【答案】CD【分析】A選項，代入點的坐標，得到；B選項，判斷出為偶函數，且在上單調遞減，故在上單調遞增；C選項，因為，所以，，故C正確；D選項，先根據函數為冪函數和圖像關于軸對稱，得到，再判斷出，結合函數單調性比較出大小.【詳解】A選項，設，將代入，，即，解得，故解析式為，A錯誤；B選項，因為，所以在上單調遞減，又定義域為，，故為偶函數，故在上單調遞增，B錯誤；C選項，因為，所以，，故冪函數始終經過點和，C正確；D選項，由題意得，解得或，當時，為偶函數，滿足圖像關于軸對稱，當時，為奇函數，不滿足圖像關于軸對稱，舍去，其中恒成立，故，又在上單調遞增，故，D正確.故選：CD3.（多選題）已知是冪函數圖像上的任意兩點，則以下結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用冪函數的單調性判斷ABC；利用作差法判斷D.【詳解】冪函數的定義域為，，，∵函數在單調遞增，，∴，即，故A正確；，，∵函數在單調遞減，，即，∴，即，故B錯誤；∵冪函數在上單調遞增，，∴，，即，∴，故C正確；，∵，∴，即，故D正確.故選：ACD.4.（多選題）若冪函數的圖像經過點，則下列命題中，正確的有（

）A．函數為奇函數 B．函數為偶函數C．函數在為減函數 D．函數在為增函數【答案】AC【分析】先根據冪函數圖像經過點，求出函數解析式，然后利用冪函數的基本性質即可求解.【詳解】因為是冪函數，所以設，又的圖像經過點，所以，所以，即，所以函數為奇函數，且在為減函數，故AC正確，BD錯誤；故選：AC.5．寫出一個具有性質①②③的函數______．①定義域為；②在單調遞增；③．【答案】（答案不唯一）【詳解】的定義域為，在區間遞增，且，所以符合題意.故答案為：（答案不唯一）6．已知x，，滿足，，則（

）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】B【詳解】解：令，，則，∴為奇函數．∵，∴．又∵，∴，∴，．又∵在R上單調遞增，∴，即．故選：B．題型四：冪函數的圖象【精選例題】【例1】右圖的曲線是冪函數在第一象限內的圖象，已知n分別取，，2四個值，相應的曲線對應的n依次為（

）A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【答案】B【分析】利用冪函數的圖象性質逐一觀察判斷即可.【詳解】函數在第一象限內單調遞減，對應的圖象為；對應的圖象為一條過原點的直線，對應的圖象為；對應的圖象為拋物線，對應的圖象應為；在第一象限內的圖象是；所以與曲線對應的n依次為2，1，，.故選：B【例2】已知冪函數的圖象為曲線，有下列四個性質：①為偶函數；②曲線不過原點；③曲線C在第一象限呈上升趨勢；④當時，.寫出一個同時滿足上述四個性質中三個性質的一個函數___________.【答案】【詳解】解：設冪函數的解析式為，若曲線不過原點，則，此時函數在，故②不成立，則當時，，故③不成立，所以冪函數不能滿足②性質，不妨取，函數為偶函數，曲線C在第一象限呈上升趨勢，當時，，所以冪函數滿足性質①③④.故答案為：.（答案不唯一）【跟蹤訓練】1.冪函數在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據冪函數的性質，在第一象限內，的右側部分的圖像，圖像由下至上，冪指數增大，所以由圖像得：，故選：D2.冪函數，及直線將直角坐標系第一象限分成八個“卦限：（如圖所示），那么，而函數的圖象在第一象限中經過的“卦限”是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于冪函數，因為，所以在第一象限單調遞減，根據冪函數的性質可知：在直線的左側，冪函數的指數越大越接近軸，因為，所以的圖象比的圖象更接近軸，所以進過第卦限，在直線的右側，冪函數的指數越小越接近軸，因為，所以的圖象位于和之間，所以經過卦限，所有函數的圖象在第一象限中經過的“卦限”是，故選：B題型五：冪函數的綜合運用【精選例題】【例1】已知冪函數在上單調遞減.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據冪函數的定義與單調性可得出關于的等式與不等式，解出的值，即可得出函數的解析式；（2）由已知可得對任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）解：因為冪函數在上單調遞減，則，解得，故.（2）解：由（1）可知，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，，因此，實數的取值范圍是.【例2】已知函數為冪函數，且為奇函數．(1)求m的值；(2)求函數在的值域．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據冪函數得到或，再驗證奇偶性得到答案.（2）確定，函數在上單調遞增，計算最值得到值域.【詳解】（1）函數為冪函數，則，解得或；當時，為奇函數，滿足條件；當時，為偶函數，不滿足條件，舍去.綜上所述：.（2），函數在上單調遞增，故，，故值域為【例3】已知冪函數在上單調遞增．(1)求m的值及函數的解析式；(2)若函數在上的最大值為3，求實數a的值．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）冪函數在上單調遞增，故，解得，故；（2）由（1）知：，所以，所以函數的圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為直線；由于在上的最大值為3，①當時，在上單調遞增，故，解得；②當時，在上單調遞減，故，解得；③當時，在上單調遞增，在上單調遞減，故，解得（舍去）或（舍去）．綜上所述，．【例4】設函數的定義域為，如果存在，使得在上的值域也為，則稱為“A在內是單調增函數.(1)求函數的解析式.(2)函數是否為“A佳”函數.若是，請指出所在區間；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)是，【詳解】（1）因為冪函數在內是單調增函數，所以，解得，所以函數的解析式為．（2）由（1）知，，函數的定義域為，又，所以函數的值域為，因為在上單調遞增，若存在，使得在上的值域為，則函數在上單調遞增，有，解得或，或，顯然，所以，，即存在，使得在上的值域為，故函數為“佳”函數.“佳”函數的區間為；【例5】若在函數的定義域內存在區間，使得在上單調，且函數值的取值范圍是（是常數），則稱函數具有性質．(1)當時，函數否具有性質?若具有，求出，；若不具有，說明理由；(2)若定義在上的函數具有性質，求的取值范圍．【答案】(1)函數具有性質M，；(2)．【詳解】（1）解：因為在上單調遞增，所以在上的函數值的取值范圍是，即，顯然，所以，故函數具有性質．（2）解：，因為在上單調遞減，在上單調遞增，當時，單調遞減，∴，得，整理得，∵與矛盾，∴當時，不合題意．當時，在單調遞增，∴，知在上有兩個不等實根，即在上有兩個不等實根，令，，由，，，知，綜上可得的取值范圍是．【跟蹤訓練】1.已知冪函數為奇函數.(1)求的值；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）由，得或，當時，是奇函數，滿足題意，當時，是偶函數，不滿足題意，所以，；（2）因為的定義域為，單調減區間為，，由，可得或或，解得或，所以實數的取值范圍為或.2.已知冪函數的圖像關于軸對稱，且在上是減函數，(1)求的值.(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因為冪函數在上單調遞減，所以，解得，又，所以，當時，，當時，，因為函數圖像關于軸對稱，所以是偶數，因此；（2）由（1）可得，故為，因為在上均為減函數，所以等價于：或或解得或，故的取值范圍為或.3.已知冪函數為偶函數．(1)求的解析式；(2)若，求函數在區間上的值域．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：因為函數為冪函數，則，解得或.當時，函數為奇函數，不合乎題意；當時，函數為偶函數，合乎題意.綜上所述，.（2）解：由（1）可得，所以函數在上為減函數，在上為增函數，所以，，.因此，函數在區間上的值域為.4.已知冪函數在上單調遞增(1)求m的值；(2)若且當分別取何值時，有最小值，并求出最小值.【答案】(1)；(2)，最小值為9【詳解】（1）由冪函數的定義得：，∴或，當時，在上單調遞減