專題25多邊形及內(nèi)角和

【專題目錄】

技巧1:三角形內(nèi)角和與外角的幾種常見應(yīng)用類型

技巧2：巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問題

【題型】一、多邊形的內(nèi)角和

【題型】二、計(jì)算多邊形的周長

【題型】三、計(jì)算多邊形對(duì)角線條數(shù)

【題型】四、計(jì)算網(wǎng)格中的多邊形面積

【題型】五、正多邊形內(nèi)角和問題

【題型】六、截角后的內(nèi)角和問題

【題型】七、正多邊形的外角問題

【題型】八、多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用

【題型】九、平面鑲嵌

【考綱要求】

1.了解多邊形的有關(guān)概念，并能解決簡單的多邊形問題.

2.掌握多邊形的內(nèi)角和定理，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算與證明.

【考點(diǎn)總結(jié)】一、多邊形的相關(guān)知識(shí)

1、在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形，多邊形中相鄰兩邊

多

組成的角叫做它的內(nèi)角。多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做外角。

邊多邊形的相關(guān)知

2、連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。

識(shí)

形3、一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)為（n-3）條，其所有的對(duì)角線條數(shù)

〃（〃一3）

為-------

的2

畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，

相凸多邊形

那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形。

關(guān)

正多邊形各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。（兩個(gè)條件缺一不可，除了三角形以外，

因?yàn)槿羧切蔚娜齼?nèi)角相等，則必有三邊相等，反過來也成立）

1、n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n-2>180。

多邊形的內(nèi)角和2、n邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360。，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)。

【技巧歸納】

技巧1:三角形內(nèi)角和與外角的幾種常見應(yīng)用類型

【類型】一、直接計(jì)算角度

1.如圖，在△ABC中，NA=60。，/B=40。，點(diǎn)D,E分別在BC,AC的延長線上，則Nl=

2.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角/A,ZB,/C滿足NB—NA=NC—NB,則NB=

【類型】二、三角尺或直尺中求角度

3.把一個(gè)直尺與一塊三角尺按如圖所示的.方式放置，若Nl=40。，則N2的度數(shù)為（）

A.125°B.120°C.140°D.130°

4.一副三角尺ABC和DEF如圖放置（其中NA=60。，NF=45。），使點(diǎn)E落在AC邊上，且ED〃BC,則

ZCEF的度數(shù)為.

5.一副三角尺如圖所示擺放，以AC為一邊，在△ABC外作NCAF=/DCE,邊AF交DC的延長線于點(diǎn)

F,求NF的度數(shù).

【類型】三'與平行線的性質(zhì)綜合求角度

6.如圖，AB〃CD,NABE=60。，ZD=50°,求NE的度數(shù).

【類型】四、與截角和折疊綜合求角度

7.如圖，在△.ABC中，ZC=70°,若沿圖中虛線截去NC,則/1+/2等于()

A.360°B.250°C.180°D.140°

8.△ABC是一.個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D,E分別是AABC邊AB,AC上的兩點(diǎn).

(1)如圖①，如果沿直線DE折疊，則NBDA，與NA的關(guān)系是；

(2)如果折成圖②的形狀，猜想NBDAlNCEA，和/A的關(guān)系，并說明理由;

(3)如果折成圖③的形狀，猜想NBDA，，NCEA，和/A的關(guān)系，并說明理由.

參考答案

1.80°2.60°3.D4.15°

5.解：因?yàn)镹BCA=90°,NDCE=30°,

所以NACF=180°-/BCA—/DCE=180°—90°—30°=60°.

,因?yàn)镹CAF=NDCE=30。，

所以NF=180。-NCAF—ZACF=180°—30°—60°=90°.

6.解：因?yàn)锳B〃CD,

所以/CFE=NABE=60。.

因?yàn)?D=50。，

所以NE=NCFE—ND.=60°—50°=10°.

7.B

8.解:(l)ZBDAf=2ZA

(2)ZBDA,+NCEA-2NA,

理由：：在四邊形ADA，E中，

NA,+NA'+NADA'+NA'EA=360°,

ZA+/A'=360°LNA.DA'-NA'EA.

,/ZBDA；+/ADA'=180°,ZCEAZ+/A'EA=180°,

NBDA'+NCEA'=360°-NADA'-NA'EA,

，ZBDA(+ZCEA(=ZA+ZA'.

「△ADE是由△ADE沿直線DE折疊而得，

.*.ZA=ZA,,ZBDA%ZCEA,=2ZA.

(3)ZBDA,-ZCEA,=2ZA.

理由：設(shè)DA，交AC于點(diǎn)F,

ZBDA(=ZA+ZDFA,ZDFA=NA，+ZCEAS

ZBDA'=ZA+ZA'+ZCEA',

ZBDA'-NCEA，=ZA+ZA'.

VAA'DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，

.,.ZA=ZA,,

ZB.DA'-ZCEA,=2ZA.

技巧2：巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問題

【類型】一、三角形的內(nèi)接正三角形問題

1.如圖，用下面的方法可以畫AAOB的內(nèi)接等邊三角形，閱讀后證明相應(yīng)問題.

畫法：①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE,使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；②連接OE并延長，交

AB于點(diǎn)日，過點(diǎn)日作E，C〃EC,交OA于點(diǎn)C，，作ETY〃ED,交OB于點(diǎn)D1③連接CIX,則△CDE，

是^AOB的內(nèi)接等邊三角形.

求證：△CDE是等邊三角形.

【類型】二、三角形的內(nèi)接矩形問題

2.如圖，求作：內(nèi)接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的邊EF在BC上，頂點(diǎn)D,G分別在AB,AC上,

并且有DEEF=12.

【類型】三、三角形的內(nèi)接正方形問題(方程思想)

3.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120，M7,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,

使正方形的一邊QM在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)P,N分別在AB,AC上，則這個(gè)正方形零件的邊長是多少？

4.(1)如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D,E,Q分別在AB,AC,BC±,且DE〃BC,AQ交DE于點(diǎn)P.求證：

DPPE

BQ=QC-

(2)在△ABC中，NBAC=90。，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG,AF,分別交DE

于M,N兩點(diǎn).

①如圖②，若AB=AC=1,直接寫出MN的長；

③

參考答案

1.證明：'：E'C'//EC,：.ZC'E,O=ZCEO.

XVZCOE=ZC'OE',

...△OCES/XQC'E'.

?CE_OE

.?Q^7-Qg7.

又；E'D'〃ED,

.,.ZD,E,O=ZDEO.

又：NDOE=/D'OE',

.,.△DOE^AD,OE,,

.DE_OE

,?D^-QE7-

CEDE

；?/CED=NC'E'D',cu，—rvt；”

LcUCL

.,.△CED^AC,E'D,.

又???△CD,E是等邊三角形,

.?.△CDE是等邊三角形.

2.解：如圖，在AB邊上任取一點(diǎn)D，，過點(diǎn)D，作DE_LBC于點(diǎn)E，，在BC上截取EF,使E，F(xiàn)「=2DE,

過點(diǎn)F作PG」BC,過點(diǎn)D作DG〃BC交FC于點(diǎn)G，，作射線BG咬AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GF〃GF“

DG/ZD^^GF^BC于點(diǎn)F,DG交AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE〃D，E，交BC于點(diǎn)E,則四邊形DEF.G為4ABC

的內(nèi)接矩形，且DEEF=12.

3.解：設(shè)符合要求的正方形PQ.MN的邊PN與△ABC的高AD相交于點(diǎn)E.易知AE為△APN的邊PN上

的高，

設(shè)正方形PQMN的邊長為xmm,

：PN〃BC,.".ZAPN=ZB,ZANP^Z.C./?△APN^AABC.

?AEPN

,,AD-BC-

即8：。*=合.解得x=48.

即這個(gè)正方形零件.的邊長是48mm.

4.(1)證明：在△ABQ和△.ADP中，

：DP〃BQ,.

???NADP=NB,NAPD=NAQB.

AAADP^AABQ..

?DPAP

"BQ=AQ-

同理△ACQ^AAEP,

?PEAP?DP_PE

,,QC=AQ^BQ=QC-

(2)①解：MN=*.

②證明：VZB+ZC=90°,ZCEF+ZC=90°.ZB=ZCEF.

又VZBGD=ZEFC=90°,

A人DGBG

△BGDGOZ\EFC."?(、F—FF,

r,q/口DMMNENrMNYDMEN?

，DGEF=CFBG.又；DG=GF=.EF,.,.GF2=CF?BG.由(1)得詼=赤=/..^.(聲J=/.即D

MN2_DMEN

2

■^=BGCF-.\MN=DMEN.

【題型講解】

【題型】一、多邊形的內(nèi)角和

A.80°B.100°C.140°D.160°

【答案】C

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：VZBAD-800,

ZB+ZBCD+ZD=280°,

VAB=AC=AD,

，/B=NACB,/ACD=ZD,

.,.ZBCD=280°-?2=140°,

故選c.

【分析】先根據(jù)已知和四邊形的內(nèi)角和為360。，可求NB+/BCD+/D的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

可得NB=NACB,ZACD=ZD,從而得到/BCD的值.

【題型】二、計(jì)算多邊形的周長

例2、如圖，nABCD紙片，NA=120。，AB=4,BC=5,剪掉兩個(gè)角后，得到六邊形AEFCGH,它的每個(gè)內(nèi)

角都是120。，且EF=1,HG=2,則這個(gè)六邊形的周長為（）

A.12B.15C.16D.18

【答案】B

【解析】如圖，分別作直線AB、BC、HG的延長線和反向延長線使它們交于點(diǎn)B、Q、P.

:六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120°,

二六邊形ABCDEF的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60°.

.,.△APH、△BEF>△DHG.4CQG都是等邊三角形.

二EF=BE=BF=1,DG=HG=HD=2.

，F(xiàn)C=5-1=4,AH=5-2=3,CG=CD-DG=4-2=2.

二六邊形的周長為1+3+3+2+2+4=15.

故選B.

【題型】三、計(jì)算多邊形對(duì)角線條數(shù)

例3、已知一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為120。，則這個(gè)多邊形的對(duì)角線有（）

A.5條B.6條C.8條D.9條

【答案】D

【提示】多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于120。，則每個(gè)外角是60。，而任何多邊形的外角是360。，則求得多邊

形的邊數(shù)；再根據(jù)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線=?1-3,即可求得對(duì)角線的條數(shù).

【詳解】解：???多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于120。，

,每個(gè)外角是6（）度，

則多邊形的邊數(shù)為360。+60。=6,

則該多邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，

則此多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有6-3=3條.

.?.這個(gè)多邊形的對(duì)角線有5（6x3）=9條，

2

故選：D.

【題型】四、計(jì)算網(wǎng)格中的多邊形面積

例4、如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若向正方形網(wǎng)格中投針，落

在^ABC內(nèi)部的概率是（）

【答案】D

【提示】用正方形的面積減去四個(gè)易求得三角形的面積，即可確定AABC面積，用△ABC面積除以正方形

的面積即可.

【詳解】解：正方形的面積=4x4=16,

三角形ABC的面積=16-Lx4x3-1x4x2-』x2x1=5,

222

所以落在^ABC內(nèi)部的概率是』，

16

故選D.

【題型】五、正多邊形內(nèi)角和問題

例5、游戲中有數(shù)學(xué)智慧，找起點(diǎn)游戲規(guī)定：從起點(diǎn)走五段相等直路之后回到起點(diǎn)，要求每走完一段直路后

向右邊偏行.成功的招數(shù)不止一招，可助我們成功的一招是().

A.每走完一段直路后沿向右偏72。方向行走B.每段直路要短

C.每走完一段直路后沿向右偏108。方向行走D.每段直路要長

【答案】A

【提示】根據(jù)題意可知封閉的圖形是正五邊形，求出正五邊形內(nèi)角的度數(shù)即可解決問題.

【詳解】根據(jù)題意可知，從起點(diǎn)走五段相等直路之后回到起點(diǎn)的封閉圖形是正五邊形，

?.?正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：(5—2,80。=]08。

,它的鄰補(bǔ)角的度數(shù)為：180。-108。=72。,

因此，得走完一段直路后沿向右偏72。方向行走，

故選：A.

【題型】六、截角后的內(nèi)角和問題

例6、一個(gè)正方形被截掉一個(gè)角后，得到一個(gè)多邊形，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是()

A.360°B.540°

C.180°或360°D.540°或360°或180°

【答案】D

【提示】剪掉一個(gè)多邊形的一個(gè)角，則所得新的多邊形的角可能增加?個(gè)，也可能不變，也可能減少一個(gè),

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解.，

【詳解】

n邊形的內(nèi)角和是(n-2)780。,

邊數(shù)增加1,則新的多邊形的內(nèi)角和是(4+1-2)x180°=540°,

所得新的多邊形的角不變，則新的多邊形的內(nèi)角和是(4-2)x180°=360°,

所得新的多邊形的邊數(shù)減少1,則新的多邊形的內(nèi)角和是(4-I-2)x1800=180。，

因而所成的新多邊形的內(nèi)角和是540。或360。或180°,

故選D.

【題型】七、正多邊形的外角問題

例7、如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)B,向左轉(zhuǎn)45。后又沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)C,再向

左轉(zhuǎn)45°后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D……照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)所走的路程為（）

A.100米B.80米C.60米D.40米

【答案】B

【提示】根據(jù)題意，小明走過的路程是正多邊形，先用360。除以45。求出邊數(shù)，然后再乘以10米即可.

【詳解】解：???小明每次都是沿直線前進(jìn)10米后再向左轉(zhuǎn)45。，

,他走過的圖形是正多邊形，邊數(shù)n=360°-45°=8,

二小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)所走的路程=8x10=80米.

故選：B.

【題型】八、多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用

例8、如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45。，再沿直線前進(jìn)8米，又向左轉(zhuǎn)45。……照這

樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，共走路程為（）

A.80米B.96米C.64米D.48米

【答案】C

【提示】根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360+45=8次才會(huì)回到原點(diǎn)，所以一共走了8x8=64米.故選：C

【題型】九、平面鑲嵌

例9、下列邊長相等的正多邊形能完成鑲嵌的是（）

A.2個(gè)正八邊形和1個(gè)正三角形B.3個(gè)正方形和2個(gè)正三角形

C.1個(gè)正五邊形和1個(gè)正十邊形D.2個(gè)正六邊形和2個(gè)正三角形

【答案】D

【提示】只需要明確幾個(gè)幾何圖形在一點(diǎn)進(jìn)行平鋪就是幾個(gè)圖形與這一點(diǎn)相鄰的所有內(nèi)角之和等于360。即

可。

【詳解】A.2個(gè)正八邊形和I個(gè)正三角形：135。+135。+60。=330。，故不符合：

B.3個(gè)正方形和2個(gè)正三角形：90°+90°+90°+60°+60°=390°,故不符合；

C.1個(gè)正五邊形和1個(gè)正十邊形：108。+144。=252。，故不符合；

D.2個(gè)正六邊形和2個(gè)正三角形：120。+120。+60。+60。=360。，符合；

故選D.

多邊形及內(nèi)角和（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.下列命題中，是真命題的是（）

A.三角形內(nèi)角和為360。B.對(duì)角線相等的菱形是正方形

C.一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點(diǎn)D.全等的兩個(gè)三角形一定關(guān)于某條直線軸對(duì)稱

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，正方形的判定，一次函數(shù)的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【詳解】解：A,三角形內(nèi)角和為180。，故不符合題意.

B,對(duì)角線相等的菱形是正方形，故符合題意.

C,一次函數(shù)的圖象不一定經(jīng)過原點(diǎn)，故不符合題意.

D,全等的兩個(gè)三角形不一定關(guān)于某條直線軸，如旋轉(zhuǎn)，故不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，正方形的判定，一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握各知

識(shí)點(diǎn)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

2.如圖，以正五邊形A8CDE1的邊DE為邊向外作等邊三角形△。￡*凡連接AF,則乙4尸石等于()

A.6°B.8°C.12°D.14°

【答案】A

【分析】先求出NAE￡)=更二亞笆=108。，再由等邊三角形的性質(zhì)得到EF=DE=AEtZDEF=60°,

5

180°-Z4EF

則NAEF二N￡>EF+NA￡7>168。，即可得至lj/4產(chǎn)治/弘石二------------------=6.

2

【詳解】解：???五邊形ABC。是正五邊形,

52xl80

：.ZAED=（-）°=108°,AE=DEf

5

?.?△￡>￡尸是等邊三角形,

:?EF=DE=AE,ZDEF=60°9

：.ZAEF=ZDEF+ZAED=168°,

ZAFE=ZFAE=180°—A￡F=6°,

2

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角和問題，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的

性質(zhì)等等，熟知正多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求解即可.

【詳解】解：；多邊形的內(nèi)角和=("-2)*180。(〃23),〃代表多邊形的邊數(shù),

???多邊形的邊數(shù)〃越大，內(nèi)角和越大,

*/3<4<5<6，

...六邊形的內(nèi)角和最大.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式：（”-2）、180。（〃23）,熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)

鍵.

4.下列圖形中，內(nèi)角和與外角和相等的多邊形是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)任意多邊形的外角和為360。，四邊形的內(nèi)角和也為360。，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：?..任意多邊形的外角和為360。，四邊形的內(nèi)角和為（4-2）x180=360。，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和與內(nèi)角和，掌握任意多邊形的外角和為360。是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是前3個(gè)正五邊形，要完成這一圓環(huán)還需正五邊

形的個(gè)數(shù)為（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】D

【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（〃-2）?。求出正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再延長五邊形的兩邊

相交于一點(diǎn)，并根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出這個(gè)角的度數(shù)，然后根據(jù)周角等于360。求出完成這一圓環(huán)需要的

正五邊形的個(gè)數(shù)，然后減去3即可得解.

【詳解】解：???五邊形的內(nèi)角和為（5-2）x18（）0=540。，

，正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為540。+5=108。，

.??正五邊形的每個(gè)外角為180。-108。=72。，

如圖，延長正五邊形的兩邊相交于點(diǎn)。，則/1=180。-2、72。=36。,

360°+36°=10,

?.?已經(jīng)有3個(gè)五邊形，

.-.10-3=7,

即完成這一圓環(huán)還需7個(gè)五邊形.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，延長正五邊形的兩邊相交于一點(diǎn)，并求出這個(gè)角的度數(shù)是解題

的關(guān)鍵，注意需要減去已有的3個(gè)正五邊形.

二、填空題

6.如圖，正六邊形戶與平行四邊形G4例N的位置如圖所示，若Z48G=19。，則的度數(shù)是

【分析】由題意易得/A=120。，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得NHGN=139。，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性

質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由正六邊形A8CDEF可知：乙4=120。，

,/NABG=19°,

ZHGN=ZA+ZABG=139°,

???四邊形GHMN是平行四邊形，

GN//HD,HG//MN,

AZW=180°-Z//GN=41°,

?*.ZNMD=ZH=41。；

故答案為41.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)及平行四邊形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.如果一個(gè)“邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，則〃=.

【答案】8

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和外角和為360。可得方程，再解方程即可.

【詳解】由題意得：(n-2)xl80°=360°x3,

解得：〃=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和與外角和，要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系來尋求等量

關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解.

三、解答題

8.如圖，AB〃CQ,AD平分ZftDC,CE//AD,ZZ)CE=150°.

(1)求—BAD的度數(shù)：

(2)若NF=40。，求NE的度數(shù).

【答案】⑴30°

(2)110°

【分析】(1)根據(jù)NOCE=150。和CE〃A。可求得N4DC=30。，然后根據(jù)A5〃CQ,可求得

ZBAD=ZADC=30°；

(2)由4。平分NBOC,可得NCOF=2NM)C=60。，然后由四邊形的內(nèi)角和是360。即可求得一石的度數(shù).

(1)

解：,:CE/3D,

：.ZADC+ZZ)C￡=180%

???ZADC=180°-ZDCE=30°,

,:AB〃CD,

：.ABAD=ZADC=30°；

(2)

解：???AO平分4DC,

???ZCDF=2ZADC=60°,

?.*NE+N/+NC￡>b+NQC￡：=360。，

???Z￡=360°-ZF-ZCDF-ZDCE=360o-40o-60o-150o=110°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和定理、角平分線的的定義，熟記相關(guān)定理是解題的

關(guān)鍵.

多邊形及內(nèi)角和(提升測評(píng))

一、單選題

1.如圖，AB1BC,4E平分NA4Z)交BC于點(diǎn)E,AEVDE,Zl+N2=90。，M,N分別是54,C。延

長線上的點(diǎn)，ZEW和的平分線交于點(diǎn)尸.下列結(jié)論：

①AB//CD；

②ZAE3+NADC=18()。；

③OE平分/4X;；

④？F135?.

其中正確的有()

M

BEC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)AE_L￡)E，AB1BC,可得NCED=/1,從而NC=90。，可得①正確；由①可得

從而/BAZJ+乙40c=180。，又由/AE瓊/84O,可得②錯(cuò)誤；根據(jù)/D4E+/AQE=90。，Zl+Z2=90°,且AE

平分一區(qū)包，可得乙M)E=N2,從而得到③正確；由Nl+N2=90。，可得/后4知+/￡7加=360。-90。=270。，再

由ZE4M和的平分線交于點(diǎn)尸，可得ZEAF+NE力尸=135。，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得④正確.

【詳解】解：；AE_L￡>E，ABJ.BC，

二ZAEB+ZCED=90°,Z1+ZA￡B=90°,

：.ZCED=Z\,

,/Zl+Z2=90°,

ZCED+Z2=90°,

AZC=180°-(ZCED+Z2)=90°,

即DCIBC,

：.ABI/CD,故①正確；

/.ZBAD=ZADN,

'：ZADN+ZADC=1S00,

：.ZBAD+ZADC=\?>00,

"：ZAEB/ZBAD,

：.ZAEB+ZADC^\80°,故②錯(cuò)誤；

VZDAE+AADE=90°,Zl+Z2=90°,且AE平分/SW,

ZADE=Z2,

：.DE平分NADC，故③正確；

,/Z1+Z2=9O°,

，NEAM+NECN=360°-90°=270°,

,/ZEAM和的平分線交于點(diǎn)F,

：.ZEAF+ZEDF=^(NEAM+/EDN)=135°,

,/AEA.DE,

：.NAE￡>=90。，

/.ZF=360°-(NAED+NEAF+NEDF)=135°,故④正確；

故正確的有①③④，共3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和與四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.已知〃邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為與該外角不相鄰的所有內(nèi)角的度數(shù)和為反則a與人的關(guān)系是()

A.”=180。-6B.a=b-(n-1)?180°

C.a=b-(n-2)?180°D.a=b-(n-3)780°

【答案】D

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，

180°-a+b=(n-2)xl80°,

解得a=匕-(n-3)780。，

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，/A+/8+NC+/O+/E+/F的值是()

C.540°D.720°

【答案】B

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及三角形的外角定理即可求解.

【詳解】解：如圖，AC,O尸與BE分別相交于點(diǎn)M、N,

在四邊形MWC￡）中，ZMND+ZCMN+ZC+ZD=360°,

ZCMN=ZA+ZE,ZMVD=ZB+ZF,

:.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=36O°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角與內(nèi)角、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記多邊形的內(nèi)角和公式及

三角形的外角定理.

4.如圖，正五邊形ABCDE中，尸為CD邊中點(diǎn)，連接A廣，則/84尸的度數(shù)是（）

A.50°B.54°C.60°D.72°

【答案】B

【分析】連接AC,AD,正五邊形A8CQE中，得至UA8=AE=8C=DE,ZB=ZE,證得△ABC也△A￡￡>,根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NBAC=/E4C,AC=AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/C4尸=/D4F,即可得到

結(jié)論.

【詳解】解：連接AC,AD,

五邊形ABCDE是正五邊形，

AB=AE=BC=DE,4B=4E,NBAE=108°,

在△ABC和△中

AB=AE

</B=/E

BC=ED

ABC^AAED,

??.ABAC=ZEAD.AC=AD

AFLCD

：.ZCAF=ZDAF

ZBAF=NEAF=-NBAE=54°.

2

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線

構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在四邊形A88中，ZA=110。，NC=80。，將一股WN沿翻折，得到“FMN.若FN//DC,

則一。的度數(shù)為（）

A.75°B.85°C.95°D.100°

【答案】B

【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出110。，NFNB=80°,再利用翻折變換的性質(zhì)得出N尸

NBMN=55。,/FNM=NMNB=40°,進(jìn)而求出/B的度數(shù)，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：'：MF//AD,FN//DC,ZA=110°,ZC=80°,

NFNB=80。,

?將△BMN沿例N翻折得△FMN,

NFMN=NBMN=55。,NFNM=ZWB=40°,

180°-55°-40°=85°,

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，得出

NFMN=NBMN,NMN8是解題關(guān)鍵.

二、填空題

6.如圖，AB//CD,A尸平分NC4B,C尸平分NACO.(1)ZB+Z￡+ZD=；(2)NAFC=

【答案】360090°

【分析】(1)由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)解得NC4B+NACD=180。，再由五邊形內(nèi)角和540。即可解答；

(2)由角平分線的性質(zhì)，解得NE4c=!NBAC,NFCA=1NAC￡>,根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)解得

ZC4B+ZACD=180o,最后由三角形內(nèi)角和180。解答.

【詳解】解：(1)AB//CD,

ZC4B+ZACD=18O°

五邊形的內(nèi)角和為(5-2)x180。=540°

NB+NE+ND=540°-180°=360°

故答案為：360°：

(2)AB//CD,

ZC4B+ZACD=18O°

AF平分/CA8,C/平分/AC。

ZE4C=-ABAC,NFCA=-ZACD