第13招與圓的切線有關的計算與證明的常見類型九年級數學（上）極速提分法如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，E為AC的中點，連接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求AC的長；(2)求證：DE是⊙O的切線．

例解題方法：看到切線，就想作過切點的半徑；看到直徑，就想直徑所對的圓周角是直角；看到判定切線，就想：(1)若已知直線與圓有公共點，則采用判定定理法，其基本思路是：當已知點在圓上時，連接這點與圓心，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡述為：連半徑，證垂直；(2)若未知直線與圓有公共點，則采用數量關系法，其基本思路是：過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于圓的半徑，可簡述為：作垂直，證半徑．(1)解：連接CD，如圖．∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10.類型1證線段平行1.如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，連接AO并延長，交PB的延長線于點C，連接PO，交⊙O于點D.

(1)求證：PO平分∠APC；證明：如圖，連接OB.∵PA，PB是⊙O的切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APC.【點撥】連接OB，根據切線的性質和角平分線的定義可證明；(2)連接DB，若∠C＝30°，求證：DB∥AC.證明：∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.∵∠APO＝∠BPO，【點撥】先證△OBD是等邊三角形，再通過計算得∠DBP＝∠C，最后根據平行線的判定可證明．2.【2023·株洲】中國元代數學家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結角池圖”．“方田一段，一角圓池占之”．意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切)”，如圖所示．類型2求線段長度問題：此圖中，正方形一條對角線AB與⊙O相交于點M，N(點N在點M的右上方)，若AB的長度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長度為________丈．【點撥】3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，E為BC的中點，連接DE并延長交AC的延長線于點F.類型3求圓的直徑(方程思想)(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O的直徑的長．解：設⊙O的半徑長為x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直徑的長為6.類型4求角的大小4.如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點A，連接OB交⊙O于點C，過點A作AD∥OB交⊙O于點D，連接CD.若∠B＝50°，則∠OCD為(

)A．15°

B．20°C．25°D．30°

B【點撥】5.

【2023·新疆節選】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，AC＝CD，連接AD，延長DB交過點C的切線于點E.類型5

證明線段垂直(1)求證：∠ABC＝∠CAD.證明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD.

(2)求證：BE⊥CE.證明：如圖，連接OC.∵CE與⊙O相切于C，∴∠OCE＝90°.∵四邊形ADBC是圓內接四邊形，∴∠CAD＋∠DBC＝180°.∵∠DBC＋∠CBE＝180°，∴∠CAD＝∠CBE.∵∠ABC＝∠CAD，∴∠