重難點專題45離散型隨機變量及其分布列十四大題型匯總題型1普通型 1題型2競賽（游戲）型 7題型3一人比賽（測試）型 18題型4兩人比賽賽制型 26題型5兩隊比賽型 36題型6三人比賽型 45題型7摸球型 53題型8藥物相關型 62題型9商品利潤型 70題型10頻率分布圖型 77題型11分布表型 85題型12折線圖型 97題型13導數型 106題型14數列型 116題型1普通型【例題1】（2023·全國·高三專題練習）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協、教育部共同組織實施，到2022年已經培養了6000多名具有創新潛質的優秀中學生，為選拔培養對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學里挑選優秀學生參加數學、物理、化學、信息技術學科夏令營活動．若化學組的12名學員中恰有5人來自同一中學，從這12名學員中選取3人，ξ表示選取的人中來自該中學的人數，求ξ的分布列和數學期望.【答案】分布列見解析，E【分析】求出ξ的的可能取值及其對應的概率，即可求出隨機變量ξ的分布列，再由期望公式求解即可得出答案.【詳解】由題意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，P(ξ=0)=P(ξ所以，隨機變量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P72171所以E(【變式1-1】1.（2023上·遼寧·高三遼寧實驗中學校考期中）某職稱考試有A，B兩門課程，每年每門課程均分別有一次考試機會，若某門課程上一年通過，則下一年不再參加該科考試，只要在連續兩年內兩門課程均通過就能獲得該職稱.某考生準備今年兩門課程全部參加考試，預測每門課程今年通過的概率均為12；若兩門均沒有通過，則明年每門課程通過的概率均為23；若只有一門沒過，則明年這門課程通過的概率為(1)求該考生兩年內可獲得該職稱的概率；(2)設該考生兩年內參加考試的次數為隨機變量X，求X的分布列與數學期望.【答案】(1)53(2)答案見解析【分析】（1）設該考生兩年內可獲得該職稱的事件為A，計算概率得到答案.（2）X的可能取值為2，3，4，計算概率得到分布列，再計算數學期望即可.【詳解】（1）設該考生兩年內可獲得該職稱的事件為A，PA（2）X的可能取值為2，3，4.PXPXPXX的分布列為：X234p111數學期望為EX【變式1-1】2.（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）某同學進行投籃訓練，已知該同學每次投籃投中的概率均為12(1)求該同學進行三次投籃恰好有兩次投中的概率；(2)若該同學進行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，記X為三次總得分，求X的分布列及數學期望．【答案】(1)3(2)分布列見解析，2【分析】（1）應用獨立事件概率乘積公式計算即可；（2）應用獨立事件概率乘積公式結合對立事件的概率公式計算概率，寫出分布列計算數學期望即得；【詳解】（1）記該同學進行三次投籃恰好有兩次投中為事件“B”，則PB（2）設事件A1根據題意可知X=0,1,2,3,4故P(P(PP(PX所以于X的分布列為：X01234P11111X的數學期望E【變式1-1】3.（2023上·湖南邵陽·高三統考期中）某公司有A，B，C型三輛新能源電動汽車參加陽光保險，每輛車需要向陽光保險繳納800元的保險金，若在一年內出現事故每輛車可賠8000元的賠償金（假設每輛車每年最多賠償一次）.設A,B,C型三輛車一年內發生事故的概率分別為110，(1)求該公司獲賠的概率；(2)設獲賠金額為X，求X的分布列和數學期望.【答案】(1)1(2)分布列見解析，72400【分析】（1）由每輛車發生事故相互獨立，可通過對立事件的概率計算即可;（2）由題意可得獲賠金額可能為0，8000，16000，24000元，分別計算出概率，列出分布列，求出期望即可.【詳解】（1）設該公司獲賠的概率為PD則PD（2）由題意可知：X=0，8000，16000，則PXPXP=1PXX080001600024000P329931EX【變式1-1】4.（2023上·江蘇南通·高三統考期中）2023年9月25日，在富陽銀湖體育中心舉行的杭州亞運會射擊項目男子25米手槍速射團體決賽中，中國隊以1765環的總成績擊敗韓國隊奪得冠軍，并打破世界記錄．現已知男子25米手槍速射決賽規則如下：取資格賽前6名選手進入決賽，5發子彈為一組，每發子彈9.7環以上得1分，否則得0分．若進入決賽的每位選手每組能得5分與4分概率分別為0.6，0.4．(1)求某位進入決賽的選手三組射擊后得分為14分的概率；(2)設某位進入決賽的選手三組射擊后得分為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列與期望．【答案】(1)54(2)分布列見解析，69【分析】（1）根據獨立重復事件的概率公式即可求解.（2）根據獨立事件概率公式求解概率，即可列分布列，由期望公式求解期望即可.【詳解】（1）“某位進入決賽的選手三組射擊后得分為14分”記事件A，所以P答：某位進入決賽的選手三組射擊后得分為14分的概率為54（2）隨機變量ξ的可能取值為12,13,14,15，Pξ=12=Pξ=14=所以隨機變量ξ的分布表為：ξ12131415P8365427E【變式1-1】5.（2023·全國·高三專題練習）某獵人發現在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為35，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準備多次射擊.假設每次射擊結果之間相互獨立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.如果獵人第一次射擊沒有擊中藥物，則獵人經過調整后進行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒有擊中獵物，則第三次射擊時獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進行下去，每次射擊如果沒有擊中，則下一次射擊時獵物和他之間的距離都會增加50米，當獵人擊中獵物或發現下次射擊擊中的概率小于29【答案】分布列見解析，226【分析】設第i次射擊擊中獵物的概率為pi，獵人和獵物之間的距離為di，根據題求得k=60，求得pi【詳解】解：因為獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比，設第i次射擊擊中獵物的概率為pi(i則pi=kdi（k為常數i∈N則pi=60di，所以p當i≥5時，p設獵人的射擊次數為X，則X的所有取值為1，2，3，4，可得PX=1=PX=3=所以隨機變量X的分布列為：X1234P34921所以隨機變量X的數學期望為EX題型2競賽（游戲）型【例題2】（2023上·北京·高三北京市第三十五中學校考期中）某校舉辦知識競賽，已知學生甲是否做對每個題目相互獨立，做對A，B，C三道題目的概率以及做對時獲得相應的獎金如表所示．規則如下：按照A，B，C的順序做題，只有做對當前題目才有資格做下一題．題目ABC做對的概率311獲得的獎金/元3264128[注：甲最終獲得的獎金為答對的題目相對應的獎金總和．](1)求甲沒有獲得獎金的概率；(2)求甲最終獲得的獎金X的分布列及期望；(3)如果改變做題的順序，最終獲得的獎金期望是否相同？如果不同，你認為哪個順序最終獲得的獎金期望最大？（不需要具體計算過程，只需給出判斷）【答案】(1)1(2)分布列見解析，60(3)不同，按照A，B，C的順序獲得獎金的期望最大．【分析】（1）即甲A題沒有答對；（2）由相互獨立事件概率乘法公式計算概率，后可得分布列，由期望公式可得均值；（3）分別求出每種順序的期望，然后比較可知.【詳解】（1）甲沒有獲得獎金為事件M，則P(（2）分別用A，B，C表示做對題目A，B，C的事件，則A，B，C相互獨立．由題意，X的可能取值為0，32，96，224．PXPXPXPX所以甲最終獲得的獎金X的分布列為X03296224P1393E(（3）按照A,PXPXPXP所以甲獲得的獎金X的分布列為X032160224P1933EX=0×1PXPXPXP所以甲獲得的獎金X的分布列為X06496224P1193EX=56按照PXPXPXP所以甲獲得的獎金X的分布列為X064192224P1313EX=51按照PXPXPXP所以甲獲得的獎金X的分布列為X0128160224P3133EX=44按照PXPXPXP所以甲獲得的獎金X的分布列為X0128192224P3113EX按照A，B，C的順序獲得獎金的期望最大．【變式2-1】1.（2023·江西景德鎮·統考一模）某娛樂節目闖關游戲共有三關，游戲規則如下，選手依次參加第一，二，三關，闖關成功可獲得的獎金分別為1000元、2000元、3000元.獎金可累加，若某關闖關成功，選手可以選擇結束闖關游戲并獲得相應獎金，也可以選擇繼續闖關，若有任何一關闖關失敗，則連同前面所得獎金全部歸零，闖關游戲結束.選手小劉參加闖關游戲，已知他第一，二，三關闖關成功的概率分別為45，34，23.第一關闖關成功選擇繼續闖關的概率為35(1)求小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率；(2)設小劉所得獎金為X，求隨機變量X的分布列及數學期望.【答案】(1)21125(2)分布列見解析，數學期望為1544元.【分析】（1）利用獨立事件乘法及互斥事件加法求小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率；（2）首先確定可能X=0,1000,3000,6000，應用乘法公式、加法公式求對應概率，寫出分布列，進而求期望即可【詳解】（1）由題意，要使小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零，選擇闖第二關且失敗，或選擇闖第二關且成功，又選擇闖第三關且失敗，所以小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率P=（2）由題意，X=0,1000,3000,6000，且PP(X=1000)=P(X的分布列如下：X0100030006000P4682712E(X【變式2-1】2.（2023·河南新鄉·統考一模）某闖關游戲共設置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯則停止答題，否則繼續，直到答完所有題目．設選手甲答對第1題的概率為23，甲答對題序為i的題目的概率pi=(1)若甲已經答對了前3題，求甲答對第4題的概率；(2)求甲停止答題時答對題目數量X的分布列與數學期望．【答案】(1)1(2)分布列見解析；期望為230【分析】（1）根據題意，得到pi=2（2）根據題意，得到X可取0,1,2,3,4，取得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解.【詳解】（1）解：因為選手甲答對第1題的概率為23，所以k=2所以若甲已經答對了前3題，則甲答對第4題的概率為16（2）解：由題意得p1=23，p2隨機變量X可取0,1,2,3,4，則P(X=0)=13P(X=3)=所以隨機變量X分布列如下：X01234P1414102所以E(【變式2-1】3.（2023上·廣東佛山·高三統考階段練習）在十一黃金周期間，某商場規定單次消費超過500元的顧客可參與如下的游戲．活動規則如下：現有甲，乙，丙三個游戲，每位參與者從中隨機選擇一個游戲，若不通過，則游戲結束，若通過，則再從剩下的兩個游戲中隨機選擇一個游戲，若不通過，則游戲結束，若通過，則再進行最后一個游戲，最后一個游戲無論是否通過都結束游戲．每通過一個游戲都可獲得對應的獎金，且參與游戲的順序由顧客確定，顧客是否通過每個游戲相互獨立，已知通過游戲的概率以及獲得相應的獎金如下表所示游戲甲乙丙通過的概率0.80.60.4獲得的獎金金額/元100200300(1)求參與游戲的顧客沒有獲得獎金的概率；(2)現有王先生、李先生兩名顧客分別以甲→乙→丙、丙→乙→甲的順序進行游戲，請問哪位顧客獲得獎金的期望值較大？【答案】(1)0.4(2)王先生獲得獎金的期望值較大【分析】（1）利用條件概率與全概率公式計算即可；（2）利用離散型隨機變量的分布列及期望公式計算即可.【詳解】（1）設顧客選擇甲，乙，丙作為第一個游戲分別為事件A1，B1，設顧客通過游戲甲，乙，丙分別為事件A，B，C；顧客沒有獲得獎金等價于顧客一個游戲也沒有通過，設此事件為事件M，由已知得PA1=由全概率公式得：P=13（2）設王先生獲得獎金總額為X，按甲→乙→丙的順序進行，則X的可能取值有0，100，300，600，PX=0=1-0.8=0.2PX=300=0.8×0.6×1-0.4概率分布表為：X0100300600P0.20.320.2880.192EX=0×0.2+100×0.32+300×0.288+600×0.192同理，設李先生獲得獎金總額為Y，按丙→乙→甲的順序進行，則Y的可能取值有0，300，500，600，PY=0=1-0.4=0.6PY=500=0.4×0.6×概率分布表為：Y0300500600P0.60.160.0480.192獲得獎金金額的均值為EY綜上可知王先生獲得獎金的期望值較大．【變式2-1】4.（2023上·四川·高三重慶第二外國語學校校考期中）重慶市第二外國語學校在83周年校慶時組織了“校史”知識競賽，有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得40分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得60分，否則得0分.已知小王同學能正確回答A類問題的概率為0.7，能正確回答B類問題的概率為0.5(1)若小王先回答A類問題，記X為小王的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小王應選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】(1)分布列見解析(2)A類，理由見解析【分析】（1）根據題意得到PX=0=0.3，PX（2）分別算出數學期望，再比較即可得到答案.【詳解】（1）因為PX=0=1-0.7=0.3，P所以分布列為：x040100P0.30.350.35（2）若小王先回答B類問題，記Y為小王的累計得分，因為PY=0=1-0.5=0.5，P所以分布列為：Y060100P0.50.150.35EXEY=0×0.5+60×0.15+100×0.35=44，所以先回答A類問題.【變式2-1】5.（2023上·江蘇南京·高三校聯考期中）某校在一次慶祝活動中，設計了一個“套圈游戲”，規則如下：每人3個套圈，向M，N兩個目標投擲，先向目標M擲一次，套中得1分，沒有套中不得分，再向目標N連續擲兩次，每套中一次得2分，沒套中不得分，根據累計得分發放獎品．已知小明每投擲一次，套中目標M的概率為34，套中目標N的概率為23，假設小明每次投擲的結果相互獨立，累計得分記為(1)求小明恰好套中2次的概率；(2)求X的分布列及數學期望．【答案】(1)49(2)分布列見解析，4112【分析】（1）分類討論及利用概率乘法公式計算即可；（2）利用隨機變量的分布列與期望公式計算即可.【詳解】（1）記“小明恰好套中2次”為事件A，分3種情況第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；則：P（小明恰好套中2次的概率為49（2）由題意可得：X的可能取值為0，1，2，3，4，5，PX=0=P(X=2)=P(X=4)=所以X的分布列為X012345P13412412所以E(題型3一人比賽（測試）型【例題3】（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）小梅參加甲、乙兩項測試，每次測試結果只有3種，分別是優秀、良好、合格，結果為優秀得3分、良好得1分、合格得0分，小梅參加甲項測試結果為優秀的概率為12，良好的概率為13，參加乙項測試結果為優秀的概率為15，良好的概率為3(1)求小梅參加兩項測試恰有一次為合格的概率；(2)求ξ的分布列與數學期望.【答案】(1)3(2)分布列見解析，E【分析】（1）小梅恰有一次為合格這個事件可拆分為四個互斥事件的和：甲項合格乙項優秀，甲項合格乙項良好，甲項優秀乙項合格，甲項良好乙項合格，由互斥事件和獨立事件的概率公式可得；（2）ξ的所有取值為0,1,2,3,4,6，分別求得其概率及其分布列，再由期望公式計算出期望．【詳解】（1）記Ai為事件“小梅參加甲項測試的得分為i分”（i=0，1，則PA3=12記Bi為事件“小梅參加乙項測試的得分為i分”（i=0，1，則PB3=15記D為事件“小梅參加兩項測試恰有一次為合格”，由題意，D=由事件的獨立性和互斥性，P==1所以小梅參加兩項測試恰有一次為合格的概率為310（2）由題意，隨機變量ξ可能的取值為0，1，2，3，4，6，由事件的獨立性與互斥性，得：PξPξPξPξPξPξ可得隨機變量ξ的分布列為：ξ012346P1112111所以數學期望Eξ【變式3-1】1.（2023上·湖南邵陽·高三校聯考階段練習）在一個有獎游戲中，參與者可從A，B兩類數學試題中選擇作答，答題規則如下：規則一：參與者只有在答對第一次所選試題的情況下，才有資格進行第二次選題，且連續兩次選題不能是同一類試題，每人至多有兩次答題機會；規則二：參與者連續兩次選題可以是同一類試題，答題次數不限．(1)小周同學按照規則一進行答題，已知小周同學答對A類題的概率均為0.75，答對一次可得2分；答對B類題的概率均為0.6，答對一次可得3分．如果答題的順序由小周選擇，那么A，B兩類題他應優先選擇答哪一類試題？請說明理由；(2)小南同學按照規則二進行答題，小南同學第1次隨機地選擇其中一類試題作答，如果小南第1次選擇A類試題，那么第2次選擇A類試題的概率為0.6；如果第1次選擇B類試題，那么第2次選擇A類試題的概率為0.8．求小南同學第2次選擇A類試題作答的概率．【答案】(1)小周應該先答A類題，理由見解析(2)0.7【分析】（1）利用概率的分布列和數學期望求解；（2）利用條件概率求解.【詳解】（1）根據題意，小周同學按照規則一進行答題，若先選擇答A類題，設小周獲得的積分為隨機變量為X，則X的所有可能取值為0、2、5，P(X=0)=1-0.75=0.25P(則E(若先選擇答B類題，設小周獲得的積分為隨機變量為Y，則Y的所有可能取值為0、3、5，P(P(所以E(因為2.85>2.7，所以小周應該先答A類題.（2）由于小南同學按照規則二進行答題，設A1:第1次選擇A類題作答；A2:第B：第2次選擇A類試題作答；則P(A1故P(【變式3-1】2.（2023上·北京·高三北京五十五中校考階段練習）某闖關游戲必須闖過若干關口才能成功，其中第一關是答題，分別設置“文史常識題”“生活常識題”“影視藝術常識題”這3道題目，規定有兩種答題方案：方案一：答題3道，至少有2道答對方案二：在這3道題目中，隨機選取2道，這2道都答對．方案一和方案二中只要完成一個，就能通過第一關，假設甲選擇方案一、且答對每一道題的概率是13，乙選擇方案二，且3(1)求甲答對題目數量X的分布列與數學期望；(2)設甲和乙中通過第一關的人數為ξ，求ξ的分布列；(3)若丙答對這3道題中每一道題的概率都是pp∈0,1，且這3道題是否答對相互之間沒有影響，丙選擇方案一通過第一關的概率為p1，選擇方案二通過第一關的概率為p2【答案】(1)分布列見解析，E(2)分布列見解析，E(3)p【分析】（1）寫出隨機變量X的所有取值，求出對應概率，即可得分布列，再根據期望公式求期望即可；（2）先分別求出兩人過關的概率，寫出隨機變量ξ的所有取值，求出對應概率，即可得分布列，再根據期望公式求期望即可；（3）先分別求出p1,【詳解】（1）由題意，X可取0,1,2,3，則PX=0=PX=2=所以分布列如下：X0123P8421所以EX（2）甲通過的概率P甲乙通過的概率P乙ξ可取0,1,2，則PξPξPξ所以分布列如下：ξ012P40347所以Eξ（3）p1=C則p1因為p∈0,1，所以所以p1【變式3-1】3.（2023上·河南·高三校聯考階段練習）第22屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行，這是我國第三次舉辦亞運會．為迎接這場體育盛會，杭州市某社區決定舉辦一次亞運會知識競賽，要求每組參賽隊伍由兩人組成，競賽分為預賽和決賽，其中預賽規則如下：①每組隊伍先從A，B兩類問題中選擇一類，并由兩位選手從中各隨機抽取一個問題回答，答錯的選手本輪競賽結束；答對的選手再從另一類問題中隨機抽取一個問題進行回答，無論答對與否，本輪競賽結束；②若在本輪競賽中每組隊伍的兩名選手合計答對問題的個數不少于3個，則可進入決賽．市民甲與乙組成“夢幻”隊參加了這次競賽，已知甲答對A類中每個問題的概率均為0.7，答對B類中每個問題的概率均為0.5，乙答對A類中每個問題的概率均為0.4，答對B類中每個問題的概率均為0.8．(1)若“夢幻”隊先回答A類問題，記X為“夢幻”隊答對問題的個數，求X的分布列及數學期望；(2)為使“夢幻”隊進入決賽的概率最大，“夢幻”隊應選擇先回答哪類問題？并說明理由．【答案】(1)分布列見解析，期望為1.77(2)應選擇先回答B類問題，理由見解析【分析】（1）根據題意得X的可能取值為0，1，2，3，4，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的計算公式，即可求解；（2）由（1）求得先回答A類問題，“夢幻”隊能進入決賽的概率為P1=0.252，再求得先回答B類問題，“夢幻”隊能進人決賽的概率為P2=0.328【詳解】（1）解：根據題意得X的可能取值為0，1，2，3，4，則PXPXPXPXPX所以X的分布列為X01234P0.180.2340.3340.140.112則EX（2）解：由（1）可知，若先回答A類問題，則“夢幻”隊能進入決賽的概率為：P1若先回答B類問題，記“夢幻”隊答對問題的個數為Y，則PYPY則“夢幻”隊能進人決賽的概率為P2所以P2所以為使“夢幻”隊進人決賽的概率最大，“夢幻”隊應選擇先回答B類問題．【變式3-1】4.（2023上·河南·高三校聯考開學考試）已脫貧的西部地區某貧困縣，鞏固拓展脫貧攻堅成果，全面推進鄉村振興，在國家產業扶貧政策的大力支持下，利用當地自然條件，在山上發展果樹種植，現已開始大量結果，為了普及果樹種植技術，該縣舉辦“果樹種植技術知識競賽”，競賽規則如下：先進行預賽，預賽共進行四輪答題比賽，在每輪答題比賽中，選手可選易，中，難三類題中的一題，答對得分，答錯不得分，四輪答題中，易，中，難三類題中的每一類題最多選兩個，預賽的四輪答題比賽得分不低于10分的進入決賽，某選手A答對各題相互獨立，答對每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對概率313答對得分345(1)若選手A前兩輪都選擇了中等難度題，且對了一題，錯了一題，請你為選手A計劃后兩輪應該怎樣選擇答題，使得進入決賽的可能性更大，并說明理由；(2)選手A四輪答題中，選擇了一個容易題，兩個中等難度題，一個難題，已知容易題答對，記選手A預賽四輪答題比賽得分總和為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．【答案】(1)都選擇容易題進行答題；(2)分布列見解析，172【分析】（1）根據給定條件，確定后兩輪的選擇方案，再利用相互獨立事件的概率公式計算比較作答.（2）求出X的可能值及各個值對應的概率，列出分布列并求出數學期望作答.【詳解】（1）依題意，選手A前兩輪都選擇了中等難度題，兩輪得分和為4，于是選手A后兩輪的選擇有3種方案，方案一：都選擇容易題，則必須都答正確，于是進入決賽的概率P1方案二：都選擇難題，則必須都答正確，于是進入決賽的概率P2方案三：容易題、難題各選1道，則必須都答正確，于是進入決賽的概率P3顯然P1>（2）依題意，X的可能值為：3,7,8,11,12,16，則P(X=3)=P(X=8)=P(X=12)=所以X的分布列為：X378111216P773733數學期望為E(題型4兩人比賽賽制型【例題4】（2023上·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學校考開學考試）為了提高居民參與健身的積極性，某社區組織居民進行乒乓球比賽，每場比賽采取五局三勝制，先勝3局者為獲勝方，同時該場比賽結束，每局比賽沒有平局.在一場比賽中，甲每局獲勝的概率均為p，且前4局甲和對方各勝2局的概率為38(1)求p的值；(2)記該場比賽結束時甲獲勝的局數為X，求X的分布列與期望.【答案】(1)p(2)答案見解析，33【分析】（1）由前4局甲和對方各勝2局的概率為38（2）由題意可知X的取值可能為0,1,2,3，求出相應的概率，從而可求得X的分布列與期望【詳解】（1）由題可知，前4局甲和對方各勝2局的概率為C42則p1-p2=解得p=（2）由題可知，X的取值可能為0,1,2,3，且PXPX則X的分布列為X0123P1331所以E【變式4-1】1.（2023上·遼寧沈陽·高三遼寧實驗中學校考階段練習）甲乙兩人進行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場比賽甲獲勝的概率；(2)這場比賽甲所勝局數的數學期望（保留兩位有效數字）；(3)根據（2）的結論，計算這場比賽甲所勝局數的方差.【答案】(1)0.648(2)1.5(3)0.57【分析】（1）寫出甲勝利的情況，結合組合公式和獨立事件的乘法公式即可得到答案；（2）設甲所勝的局數為X，計算分布列，再利用期望公式即可得到答案；（3）利用方差公式即可得到答案.【詳解】（1）甲勝利的情況有：勝勝；敗勝勝；勝敗勝.甲勝概率為：(0.6)2則甲勝利的概率為0.648.（2）設甲所勝的局數為X，X=0,1,2P(X=0)=P(則分布列為：X012P0.160.1920.648所以E(（3）D(【變式4-1】2.（2023上·貴州·高三凱里一中校聯考開學考試）為了豐富學生的課外活動，某中學舉辦羽毛球比賽，經過三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當參賽甲、乙兩位中有一位先贏得三局比賽時，則該選手獲勝，則比賽結束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設甲在每一局獲勝的概率均為p(0<(1)若比賽進行三局就結束的概率為fp，求f(2)記（1）中，fp取得最小值時，p的值為p0，以p0作為p的值，用X表示甲、乙實際比賽的局數，求X【答案】(1)1(2)分布列見解析，E【分析】（1）若比賽進行三局就結束，則甲連勝三局或乙連勝三局，求出概率fp，利用導數求f（2）由（1）知p0的值，X的可能取值為3,4,5，依次計算概率，列分布列，利用公式求數學期望E【詳解】（1）三局就結束比賽的概率為fp由f'當0<p<1所以f(p)在(0,所以，當p=12時，f（2）由（1）知，p=設實際比賽局數為X，則X的可能取值為3,4,5，所以PXPXPXX的分布列為：X345P133EX【變式4-1】3.（2023上·江蘇蘇州·高三統考開學考試）某校為了弘揚中華優秀傳統文化，在校藝術節上舉辦班級“古詩詞雙人團體賽”，每班限報一隊，每隊兩人，每隊通過回答多個問題的形式進行競賽.現甲，乙兩隊進行競答比賽，比賽規則是：每輪比賽中每隊僅派一人代表答題，兩人都全部答對或者都沒有全部答對則均記1分；一人全部答對而另一人沒有全部答對，則全部答對的隊伍記3分，沒有全部答對的記0分.設每輪比賽中甲隊全部答對的概率為34，乙隊全部答對的概率為23(1)經過1輪比賽，設甲隊的得分為X，求X的分布列和期望；(2)若比賽采取3輪制，請計算第3輪比賽后甲隊累計得分低于乙隊累計得分的概率.【答案】(1)分布列見解析，E(2)211【分析】（1）X的所有可能取值為0，1，3，由獨立事件的概率公式和互斥事件的概率公式計算出概率得分布列，再由期望公式計算出期望．（2）甲隊累計得分低于乙的情形為：①甲至少有2場負于乙；②甲有一場負于乙，另兩場打平，再結合獨立重復試驗的概率公式計算．【詳解】（1）X的所有可能取值為0，1，3，PX=0=14∴X的分布列如下：X013P171EX（2）甲隊累計得分低于乙的情形為：①甲至少有2場負于乙；②甲有一場負于乙，另兩場打平.所求概率為：P=【變式4-1】4.（2023上·福建漳州·高三統考開學考試）甲、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用2n-1n∈N*局n勝制（當一選手先贏下n(1)若n=2，p=12，比賽結束時的局數為(2)若n=3比n=2對甲更有利，求p【答案】(1)分布列見解析，5(2)1【分析】（1）根據題意，得到X所有可能取值為2,3，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解；（2）解法一：分別求得采用3局2勝制和5局3勝制，甲最終獲勝的的概率p1=p2(3-2解法二：用ξ，η表示3局比賽中甲獲勝的局數，得到ξ~B(3,p)和η~B【詳解】（1）解：依題意得，隨機變量X所有可能取值為2,3，可得P(X=2)=所以隨機變量X的分布列為X23P121所以X的數學期望E(（2）解法一：若采用3局2勝制，甲最終獲勝的概率為p1=若采用5局3勝制，甲最終獲勝的概率為：p2若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，則p2即p=3p22解得12解法二：采用3局2勝制，不妨設賽滿3局，用ξ表示3局比賽中甲獲勝的局數，則ξ~甲最終獲勝的概率為：p=p采用5局3勝制，不妨設賽滿5局，用η表示5局比賽中甲獲勝的局數，則η~甲最終獲勝的概率為：p=p若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，則p2即p=3p22解得12【變式4-1】5.（2023·山西臨汾·校考模擬預測）魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發明的機械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風靡程度經久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內復原．廣義的魔方，指各類可以通過轉動打亂和復原的幾何體．魔方與華容道、法國的單身貴族（獨立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議．在2018WCA世界魔方蕪湖公開賽上，杜宇生以3.47秒的成績打破了三階魔方復原的世界紀錄，勇奪世界魔方運動的冠軍，并成為世界上第一個三階魔方速擰進入4秒的選手．(1)小王和小吳同學比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為35，小吳每局比賽獲勝的概率均為25，若采用三局兩勝制，兩人共進行了X局比賽，求(2)小王和小吳同學比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？【答案】(1)分布列見解析；62(2)小王應選擇“五局三勝制”【分析】（1）依題意得到X的可能取值，再利用獨立事件與互斥事件的概率公式求得其對應的概率，從而得解；（2）分類討論小王不同選擇下對應的獲勝概率，從而得解.【詳解】（1）因為采用三局兩勝制，所以X的可能取值為2,3，X=2表示小王或小吳連勝兩局；X所以PX=2=所以X的分布列為：X23P1312則X的數學期望為2×13（2）若小王選擇“三局兩勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝；勝負勝；負勝勝；則小王獲勝的概率為P1若小王選擇“五局三勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝勝；勝勝負勝；勝負勝勝；負勝勝勝；勝勝負負勝；勝負勝負勝；勝負負勝勝；負負勝勝勝；負勝負勝勝；負勝勝負勝；則小王獲勝的概率為P+0.5×0.5×0.6×0.6+0.5×0.6×0.4×0.5×0.5+0.5×0.4×0.5×0.4×0.5+0.5×0.4×0.5×0.5×0.6+0.5×0.5×0.5×0.6×0.6+0.5×0.5×0.4×0.5×0.6+0.5×0.5×0.6×0.4×0.5=0.575，因為0.55<0.575，所以小王應選擇“五局三勝制”.【變式4-1】6.（2023上·山東·高三沂源縣第一中學校聯考開學考試）喜迎新學期，高三一班、二班舉行數學知識競賽，賽制規定：共進行5輪比賽，每輪比賽每個班可以從A,B兩個題庫中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個班的題目必須來自同一題庫，后三輪比賽中每個班的題目必須來自同一題庫，A題庫每題20分，B題庫每題30分，一班能正確回答A,B題庫每題的概率分別為34、1(1)若一班前兩輪選A題庫，后三輪選B題庫，求其總分不少于100分的概率；(2)若一班和二班在前兩輪比賽中均選了B題庫，而且一班兩輪得分60分，二班兩輪得分30分，一班后三輪換成A題庫，二班后三輪不更換題庫，設一班最后的總分為X，求X的分布列，并從每班總分的均值來判斷，哪個班贏下這場比賽？【答案】(1)21(2)分布列見解析，一班贏下這場比賽.【分析】（1）由概率的乘法公式與加法公式求解；（2）由題意求出兩個班的總分可能取值，然后求出對應的概率，進而列出分布列，并根據期望的概念求出期望，比較大小即可判斷.【詳解】（1）由條件知，若一班在前兩輪得20分，后三輪得90分，總分為110分，其概率為C21若一班在前兩輪得40分，后三輪得60分或90分，總分為100或130分，其概率為C22于是一班總分不少于100分的概率為364（2）由條件知，隨機變量X可能取值為60，80，100，120，P(X=60)=PX=100=C所以X的分布列為：X6080100120P192727EX=60×設二班最后的總分為Y，Y可能取值為30，60，90，120，PY=30=PY=90=∴Y的分布列：Y306090120P1248EY=30×因為105>90，所以從總分的均值來判斷，一班贏下這場比賽.題型5兩隊比賽型【例題5】（2024上·吉林白城·高三校考階段練習）科普知識是一種用通俗易懂的語言，來解釋種種科學現象和理論的知識文字，以普及科學知識為目的.科普知識涵蓋了科學領域的各個方面，無論是物理?化學?生物各個學科，還是日常生活無不涉及到科普知識.由于其范圍的廣泛性，奠定了科普知識的重要意義和影響.某校為了普及科普知識，在全校組織了一次科普知識競賽.經過初賽?復賽，甲?乙兩個代表隊（每隊3人）進入了決賽.決賽規則為每人回答一個問題，答對者為本隊贏得5分，答錯或不答者得0分.假設甲隊中3人答對的概率分別為34,12(1)設隨機變量X表示甲隊的總得分，求X的分布列和數學期望；(2)求甲?乙兩隊總得分之和等于15分且乙隊得分高的概率.【答案】(1)分布列見解析，95(2)29【分析】（1）根據已知描述X的所有可能取值為0,5,10,15，求出各情況概率，即可得到其分布列，再根據分布列計算得出其數學期望；（2）甲?乙兩隊總得分之和等于15分且乙隊得分高的情況為甲隊得0分，乙隊得15分或甲隊得5分，乙隊得10分，計算得出兩種情況概率，由互斥事件概率的計算得出兩概率之和即是答案.【詳解】（1）X的所有可能取值為0,5,10,15，所以PXPXPXPXX的分布列為：X051015P1351所以EX（2）甲?乙兩隊總得分之和等于15分且乙隊得分高的情況為甲隊得0分，乙隊得15分或甲隊得5分，乙隊得10分，記“甲隊得0分，乙隊得15分”為事件A，“甲隊得5分，乙隊得10分”為事件B，PAPB所以PA即甲?乙兩隊總得分之和等于15分且乙隊得分高的概率為29192【變式5-1】1.（2023·全國·模擬預測）為了引導人民強健體魄，某市組織了一系列活動，其中乒乓球比賽的冠軍由A，B兩隊爭奪，已知A，B兩隊之間的比賽采用5局3勝制，且本次比賽共設有3000元獎金，獎金分配規則如下：①若比賽進行3局即可決定勝負，則贏方獲得全部獎金，輸方沒有獎金；②若比賽進行4局即可決定勝負，則贏方獲得90%的獎金，輸方獲得10%的獎金；③若比賽打滿5局才決定勝負，則贏方獲得80%的獎金，輸方獲得20%的獎金．已知每局比賽A隊，B隊贏的概率分別為13，2(1)若比賽進行4局即可決定勝負，則A隊贏得比賽的概率為多少？(2)求A隊獲得獎金金額X的分布列及數學期望．【答案】(1)2(2)分布列見解析，6800【分析】（1）由獨立事件乘法公式、組合數公式直接計算即可.（2）由獨立事件乘法公式、組合數公式先求出隨機變量的可能的值及其相應的概率值，然后再列出分布列，由期望公式直接計算即可.【詳解】（1）因為比賽進行了4局即可決定勝負，且A隊贏得比賽，所以第4局必然是A隊贏，且前3局比賽中A隊贏2局，所以若比賽進行了4局即可決定勝負，則A隊贏得比賽的概率為C3（2）由題意知X的所有可能取值為3000，2700，2400，600，300，0，則PX=3000=PX=2400=PX=300=C所以X的分布列為X3000270024006003000P1281688所以EX【變式5-1】2.（2023·全國·模擬預測）某中學為了響應國家雙減政策，開展了校園娛樂活動．在一次五子棋比賽活動中，甲、乙兩位同學每賽一局，勝者得1分，對方得0分，沒有平局．規定當一人比另一人多得5分或進行完10局比賽時，活動結束．假設甲、乙兩位同學獲勝的概率都為12，且兩人各局勝負分別相互獨立．已知現在已經進行了3局比賽，甲得2分，乙得1(1)只有當一人比另一人多得5分時，得分高者才能獲得比賽獎品，求甲獲得比賽獎品的概率；(2)設X表示該活動結束時所進行的比賽的總輪數，求X的分布列及數學期望．【答案】(1)1(2)分布列見解析，623【分析】（1）由題知甲6:1或7:2獲勝時，能獲得比賽獎品，結合題意可求其概率；（2）根據題意求出X的所有可能取值和相應的概率，列出分布列，求得數學期望.【詳解】（1）由題意可知甲6:1或7:2獲勝時，能獲得比賽獎品，此時概率p=（2）X的所有可能取值為7，9，10．P(P(P(所以X的分布列為X7910P1555則E(【點睛】方法點睛：求離散型隨機變量的期望的一般步驟：（1）判斷取值，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；（2）探求概率，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式、對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；（3）寫分布列，即按規范形式寫出分布列，并注意檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；（4）求期望值，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值【變式5-1】3.（2023上·山東淄博·高三統考期中）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚奧林匹克和亞運精神，增強鍛煉身體意識，某學校舉辦一場羽毛球比賽．已知羽毛球比賽的單打規則是：若發球方勝，則發球方得1分，且繼續在下一回合發球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發球方．現甲、乙二人進行羽毛球單打比賽，若甲發球，甲得分的概率為35，乙得分的概率為25；若乙發球，乙得分的概率為45(1)求第三回合甲發球的概率；(2)設前三個回合中，甲的總得分為X，求X的分布列及期望．【答案】(1)11(2)分布列見解析，期望為177【分析】（1）根據相互獨立事件概率乘法公式即可求解，（2）分別求解前三個回合中甲得分的情況，結合獨立事件概率乘法公式即可分類求解概率，進而由期望公式即可求解.【詳解】（1）若第三回合甲發球，則前三回合發球的順序分別為甲甲甲，或者甲乙甲，故第三回合甲發球的概率為3（2）設甲在第i回合得分記為事件Ai,乙在第i回合得分記為事件則P(A1AP(A1P(A1P(A1P(B1P(B1P(B1P(B1故X的分布列為：X0123P32363027故E【變式5-1】4.（2023上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）為了豐富在校學生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運動會活動，學校設置項目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項目B“袋鼠接力跳”.甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個項目，進行班級對抗賽.第一個比賽項目A采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結束）；第二個比賽項目B采取領先3局者獲勝。每局不存在平局.假設在項目A中甲班每一局獲勝的概率為12，在項目B中甲班每一局獲勝的概率為23(1)求甲班在項目A中獲勝的概率；(2)若第二個比賽項目B進行了7局，仍然沒有人領先3局，比賽結束，領先者也獲勝.現比賽已經進行了2局，甲班2局全輸.設甲班在第二個比賽項目B中參加總局數為X、求隨機變量X的分布列及期望.【答案】(1)1(2)分布列見解析，E【分析】（1）根據甲班在項目A中獲勝對應的事件，利用互斥事件的加法公式和獨立事件的乘法公式計算即可；（2）由總局數X可能的取值，計算相應的概率，列出分布列，計算期望.【詳解】（1）記“甲班在項目A中獲勝”為事件A，比分有3:0，3:1，3:2三種情況，則PA所以甲班在項目A中獲勝的概率為12（2）甲班在第二個比賽項目B中參加比賽總局數X∈X=3表示乙班3:0獲勝，X=5表示乙班4:1獲勝，X=7表示甲班5:2獲勝或乙班5:2PX=3=13所以X的分布列如下：X357P1216所以EX【變式5-1】5.（2023·云南·校聯考模擬預測）在2005年世青賽中，被稱作“超白金一代”的中國男足U23代表隊打出了中國男足在世界舞臺上的最好表現．球隊的戰術核心，來自沈陽的陳濤入選了賽事最佳陣容．世青賽的賽制分為小組賽、淘汰賽兩個階段．小組賽中，每個小組4支球隊，按照單循環賽制選出兩支球隊進入淘汰賽．淘汰賽中16支球隊逐隊廝殺，通過4輪比賽決出最后的冠軍．(1)已知在小組賽中，每贏一場記3分，打平一場記1分，輸一場記0分，小組賽階段中國隊與巴拿馬、土耳其、烏克蘭三支球隊分在同一組．首戰中中國隊驚險戰勝了歐洲亞軍土耳其隊，在小組賽占據了優勢．面對后兩場比賽的對手烏克蘭隊和巴拿馬隊，根據賽前球探報告分析，可以近似認為后兩場比賽中國的獲勝的概率都為0.5，打平的概率都為0.2，輸球的概率都為0.3．中國隊三場小組賽之后的總積分為隨機變量X，求出其分布列和期望．(2)10號隊員陳濤作為中國隊的進攻核心，他的表現對中國隊而言舉足輕重．過往數據表示，在所有陳濤出場并且有進球或者助攻的比賽中，中國隊贏得了其中80%的場次，在所有陳濤沒有進球或者助攻的比賽中，中國隊贏得了其中20%的場次，陳濤在其代表中國隊出場的40場比賽中，有30場比賽完成了進球或者助攻．在本屆比賽中，中國隊在小組賽中順利出線，淘汰賽首輪中對陣世界足壇的傳統強隊德國隊．已知在淘汰賽對陣德國隊的比賽中，陳濤代表中國隊出場比賽，雖然經過全隊不懈努力，仍然不敵強大的德國隊，若以過往的數據估計概率，請估計陳濤在本場比賽貢獻進球或者助攻的概率．【答案】(1)分布列見解析，期望為6.4分；(2)37【分析】（1）求出X的可能值，及各個值對應的概率，列出分布列并求出期望.（2）利用全概率公式求出中國隊獲勝的概率，再利用條件概率公式求解.【詳解】（1）依題意，X的可能值為3,4,5,6,7,9，P(X=3)=0.32P(X=6)=C2所以X的分布列如下：X345679P0.090.120.040.30.20.25期望為E(X（2）若A為陳濤取得進球或者助攻，則A為未進球且未助攻，則P(若B為中國隊獲勝，則P(P(B)=P(所以P(A|題型6三人比賽型【例題6】（2023上·遼寧沈陽·高三校聯考階段練習）第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預賽、半決賽和決賽三個階段，只有預賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽．已知甲在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為12和23，乙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為23和34，丙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為p和(1)甲、乙、丙三人中，哪個人進入決賽的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為1136，求p(3)在（2）的條件下，設甲、乙、丙三人中進入決賽的人數為ξ，求ξ的分布列．【答案】(1)乙(2)1(3)分布列見解析【分析】（1）根據題意，結合相互獨立事件的概率乘法公式，求得甲、乙、丙進入決賽的概率，比較，即可得到答案；（2）各級題意，結合獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，列出方程，即可求解；（3）由（2）得到丙進入決賽的概率，根據題意得到隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3，求得相應的概率，列出分布列.【詳解】（1）解：甲進入決賽的概率為12×2丙進入決賽的概率為p?因為13<p顯然，乙進入決賽的概率最大，所以乙進入決賽的可能性最大.（2）解：因為甲、乙、丙三人中恰有兩隊進入決賽的概率為1136則13整理得12p2-16p因為13<p（3）解：由（2）知，丙進入決賽的概率為12所以甲、乙、丙三人進入決賽的概率分布為13根據題意，得到隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3，可得P(P(P(則P(所以隨機變量ξ的分布列為：ξ0123P731115【變式6-1】1.（2023上·湖南·高三邵陽市第二中學校聯考階段練習）2022年北京冬奧會成功舉辦后，冰雪運動深受人們喜愛.高山滑雪運動愛好者乙堅持進行高山滑雪專業訓練，為了更好地提高滑雪技能，使用A,B(1)已知乙第一次去A,B滑雪場訓練的概率分別為0.4和0.6.選擇A,B高山滑雪場的規律是：如果第一次去A滑雪場，那么第二次去A滑雪場的概率為0.6；如果第一次去B滑雪場，那么第二次去A滑雪場的概率為(2)高山滑雪愛好者協會組織高山滑雪挑戰賽，挑戰賽的決賽由一名高山滑雪運動員甲組成的專業隊，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的“飛雪”隊進行比賽，約定賽制如下：“飛雪”隊的乙、丙兩名隊員輪流與甲進行比賽，若甲連續贏兩場比賽則甲獲勝；若甲連續輸兩場比賽則“飛雪”隊獲勝；若比賽三場還沒有決出勝負，則視為平局，比賽結束.各場比賽相互獨立，每場比賽都分出勝負，若甲與乙比賽，乙贏的概率為13；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中13<p<12.賽事組委會規定：比賽結束時，勝隊獲獎金3萬元，負隊獲獎金1.5萬元；若平局，兩隊各獲獎金1.8萬元.若“飛雪”隊第一場安排乙與甲進行比賽，設賽事組委會預備支付的獎金金額共計【答案】(1)0.54(2)4.25,4.3【分析】（1）根據全概率公式即可求解，（2）根據相互獨立事件的概率乘法公式，計算概率，即可得分布列，進而由期望的計算公式求解期望即可.【詳解】（1）設A1：第一次去A滑雪場，A2：第二次去A滑雪場，B1：第一次去B滑雪場，B2：第二次去PA所以P=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54.（2）由已知X=4.5或X因為第一場比賽由“飛雪”隊的乙與甲進行，所以“飛雪”隊獲勝的概率為P1甲獲勝的概率為P2所以非平局的概率為PX平局的概率為PX隨機變量X的分布列為：X4.53.6P81隨機變量X的數學期望為EX又13<p<12【變式6-1】2.（2023上·江蘇·高三校聯考開學考試）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉辦．中國田徑隊擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽．比賽分為預賽、半決賽和決賽，只有預賽和半決賽都獲得晉級才能進入決賽．已知甲在預賽和半決賽中晉級的概率均為34；乙在預賽和半決賽中晉級的概率分別為45和12；丙在預賽和半決賽中晉級的概率分別為p和3(1)試比較甲、乙、丙三人進入決賽的可能性大小；(2)若甲、乙、丙三人都進入決賽的概率為18，求三人中進入決賽的人數ξ【答案】(1)p1>p3>p2(2)分布列見解析；E【分析】（1）根據題意求出甲、乙、丙三人初賽的兩輪中均獲勝的概率并比較大小即可；（2）根據題意先求出p與ξ所有的可能取值，然后分別求出每一個值對應的概率，列出分布列，并計算出期望即可求解.【詳解】（1）甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為p1乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為p2丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為p3因為12<p<5即甲進入決賽的可能性最大.（2）設甲、乙、丙都進入決賽的概率為p，則p=p1p2所以丙在初賽的第一輪和第二輪獲勝的概率分別為23和5兩輪中均獲勝的概率為p3進入決賽的人數ξ的可能取值為0，1，2，3，則pξpξpξpξ所以ξ的分布列為ξ0123p72692771所以Eξ【變式6-1】3.（2023下·江蘇連云港·高二統考期中）甲、乙、丙三人進行乒乓球單打比賽，約定：隨機選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人進行下一局的比賽，先獲勝兩局者為優勝者，比賽結束．已知每局比賽均無平局，且甲贏乙的概率為13，甲贏丙的概率為13，乙贏丙的概率為(1)若甲、乙兩人打第一局，求比賽局數X的概率分布列；(2)求甲成為優勝者的概率；(3)為保護甲的比賽熱情，由甲確定第一局的比賽雙方，請你以甲成為優勝者的概率大為依據，幫助甲進行決策．【答案】(1)答案見解析(2)13(3)甲參加第一局比賽成為優勝者的概率大【分析】（1）分兩局結束，三局結束，四局結束分別求概率，再按步驟寫出隨機變量的分布列；（2）分甲乙第一局，甲丙第一局，乙丙第一局，并分別求出條件概率，應用全概率公式計算即可；（3）根據概率大小比較判斷即可.【詳解】（1）比賽局數X的可能取值為2，3，4．比賽兩局結束，則甲連勝兩局或乙連勝兩局，所以PX比賽三局結束，則第二局、第三局丙連勝，所以PX比賽四局結束，所以PX所以X的分布列為X234P412（2）記甲、乙比賽第一局為事件A，甲、丙比賽第一局為事件B，乙、丙比賽第一局為事件C，甲成為優勝者為事件D．第一局比賽雙方可能是甲乙、甲丙、乙丙共三種情況，則PA所以PDPDPD所以P===13所以甲成為優勝者的概率為1381（3）由（2）知，PD所以甲參加第一局比賽成為優勝者的概率大．【變式6-1】4.（2022·河北石家莊·統考模擬預測）甲?乙?丙三人進行臺球比賽，比賽規則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規則循環下去，三人經過抽簽決定由甲?乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據以往經驗每局比賽中：甲乙比賽甲勝概率為23，乙丙比賽乙勝概率為12，丙甲比賽丙勝概率為1(1)比賽完3局時，求甲?乙?丙各勝1局的概率；(2)比賽完4局時，設丙作為旁觀者的局數為隨機變量X，求的X分布列和期望.【答案】(1)2(2)分布列見解析，期望為116【分析】（1）用表格列舉出4局比賽的可能對手情況，可分析出甲?乙?丙各勝1局的兩種情形，由此可計算出概率；（2）由比賽規則分析丙至少比賽2局，因此可得X的可能值為1或2，計算出概率后得分布列，由期望公式計算期望．【詳解】（1）用表格列出4局比賽可能的對手．1234甲乙甲丙甲乙甲丙乙丙丙乙丙甲乙甲乙丙乙甲乙丙甲丙丙甲丙乙甲乙考慮前3局，甲?乙?丙各勝1局，有兩種情形：第一局若甲勝，則第2局甲丙比賽，丙勝，第3局丙乙比賽，乙勝，第一局若乙勝，則第2局乙丙比賽，丙勝，第3局丙甲比賽，甲勝，所求概率為P=（2）根據比賽規則，丙第一局作為旁觀者，第二局必須參賽，第三局如果是旁觀者，則第四局必定參與比賽，而第三局比賽時，第四局可能參與比賽了可能作為旁觀，X的可能值是1或2．由（1）中表格知，P(P(所以X的分布列為X12P15E(題型7摸球型【例題7】（2023·浙江紹興·統考模擬預測）機器人甲、乙分別在A,B兩個不透明的箱子中取球，甲先A箱子中取2個或3個小球放入B箱子，然后乙再從B箱子中取2個或3個小球放回A箱子，這樣稱為一個回合．已知甲從A箱子中取2個小球的概率為34，取3個小球的概率為14；乙從B箱子中取2個小球的概率為23，取3個小球的概率為13．現A,B兩個箱子各有除顏色外其它都相同的6個小球，其中A箱子中有3個紅球，(1)求第一個回合甲從A箱子取出的球中有2個紅球的概率；(2)求第一個回合后A箱子和B箱子中小球個數相同的概率；(3)兩個回合后，用X表示A箱子中小球個數，用Y表示B箱子中小球個數，求X-【答案】(1)21(2)7(3)分布列見解析，E【分析】（1）根據離散型隨機變量的性質結合條件概率求解即可.（2）根據概率公式進行求解即可.（3）先求出隨機變量X-Y【詳解】（1）在第一個回合中，記事件A1表示“甲從A箱子中取出2個球”事件A2表示“甲從A箱子中取出3個球”事件C表示“甲從A箱子取出的球中有2個紅球”，則P=（2）第一個回合后，A箱子和B箱子中小球個數相同，即甲從A箱子中取出小球的個數與乙從B箱子中取出小球的個數一樣，所以，P=（3）每一個回合后，A,B兩個箱子小球數都保持不變的概率A箱子小球數減少1個，B箱子小球數增加1個的概率P-A箱子小球數增加1個，B箱子小球數減少1個的概率P兩個回合后，X-YPPPPP所以隨機變量X-X--024P176171所以EX【變式7-1】1.（2023上·江蘇徐州·高三統考期中）設有甲?乙?丙三個不透明的箱子，每個箱中裝有除顏色外都相同的5個球，其中甲箱有3個藍球和2個黑球，乙箱有4個紅球和1個白球，丙箱有2個紅球和3個白球.摸球規則如下：先從甲箱中一次摸出2個球，若從甲箱中摸出的2個球顏色相同，則從乙箱中摸出1個球放入丙箱，再從丙箱中一次摸出2個球；若從甲箱中摸出的2個球顏色不同，則從丙箱中摸出1個球放入乙箱，再從乙箱中一次摸出2個球.(1)若最后摸出的2個球顏色不同，求這2個球是從丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每個紅球記2分，每個白球記1分，用隨機變量X表示最后摸出的2個球的分數之和，求X的分布列及數學期望.【答案】(1)44(2)分布列見解析，244【分析】（1）求出甲箱中摸出2個球顏色相同的概率，繼而求得最后摸出的2個球顏色不同的概率，再求出最后摸出的2個球是從丙箱中摸出的概率，根據條件概率的計算公式即可得答案.（2）確定X的所有可能取值，求出每個值相應的概率，即可得分布列，根據期望公式即可求得數學期望.【詳解】（1）從甲箱中摸出2個球顏色相同的概率為P=記事件A為最后摸出的2個球顏色不同，事件B為這2個球是從丙箱中摸出的，則PBPAPAB所以PB（2）X的所有可能取值為2，3，4，則PXPXPX故X的分布列如表：X234P33828故EX【點睛】難點點睛：本題解答的難點在于求分布列時，計算每個值相應的概率，要弄清楚每個值對應的情況，分類求解，注意計算量較大，要十分細心.【變式7-1】2.（2023上·江蘇南京·高三南京市第一中學校考階段練習）某商場在“雙十二”那天進行有獎促銷，規定凡在該商場購物滿500元的顧客，均可獲得一次摸獎機會.摸獎規則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球(紅、黃、白、黑).顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則摸獎停止，否則就繼續摸球.按規定：摸到紅球獎勵30元，摸到白球或黃球獎勵15元，摸到黑球不獎勵.(1)求1名顧客摸球3次摸獎停止的概率；(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數額，求隨機變量X的分布列和數學期望.【答案】(1)14(2)分布列見解析，E【分析】（1）1名顧客摸球3次停止，說明前2次從紅、黃、白中取兩種顏色球，即可得到求1名顧客摸球3次摸獎停止的概率；（2）首先確定隨機X的所有可能取值，然后利用概率公式分別計算出相應的概率，進而得到分布列，并計算其數學期望.【詳解】（1）設“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件A，則PA故1名顧客摸球3次摸獎停止的概率14（2）隨機變量X的所有取值為0,15，30，45，60X=0表示第一次取球取到了黑球，其概率為PX=15表示第一次取到了白球或黃球，第二次取到了黑球，其概率為PX=30表示前兩次取到白球或黃球，第三次取到黑球或第一次取到紅球，第二次取到黑球，其概率為PX=45表示前兩次取球有一次取到白球或黃球，有一次取到紅球，第三次取到黑球，其概率為PX=60表示前三次取到的是紅白黃三個球，第四次取到黑球，其概率為P綜上，隨機變量X的分布列為：X015304560P11111EX【變式7-1】3.（2023·浙江紹興·統考模擬預測）機器人甲、乙分別在A,B兩個不透明的箱子中取球，甲先A箱子中取2個或3個小球放入B箱子，然后乙再從B箱子中取2個或3個小球放回A箱子，這樣稱為一個回合．已知甲從A箱子中取2個小球的概率為34，取3個小球的概率為14；乙從B箱子中取2個小球的概率為23，取3個小球的概率為13．現A,B兩個箱子各有除顏色外其它都相同的6個小球，其中A箱子中有3個紅球，(1)求第一個回合甲從A箱子取出的球中有2個紅球的概率；(2)求第一個回合后A箱子和B箱子中小球個數相同的概率；(3)兩個回合后，用X表示A箱子中小球個數，用Y表示B箱子中小球個數，求X-【答案】(1)21(2)7(3)分布列見解析，E【分析】（1）根據離散型隨機變量的性質結合條件概率求解即可.（2）根據概率公式進行求解即可.（3）先求出隨機變量X-Y【詳解】（1）在第一個回合中，記事件A1表示“甲從A箱子中取出2個球”事件A2表示“甲從A箱子中取出3個球”事件C表示“甲從A箱子取出的球中有2個紅球”，則P=（2）第一個回合后，A箱子和B箱子中小球個數相同，即甲從A箱子中取出小球的個數與乙從B箱子中取出小球的個數一樣，所以，P=（3）每一個回合后，A,B兩個箱子小球數都保持不變的概率A箱子小球數減少1個，B箱子小球數增加1個的概率P-A箱子小球數增加1個，B箱子小球數減少1個的概率P兩個回合后，X-YPPPPP所以隨機變量X-X--024P176171所以EX【變式7-1】4.（2023上·湖北·高三鄂南高中校聯考階段練習）現有大小相同的7個紅球和8個黑球，一次取出4個.(1)求恰有一個黑球的概率；(2)取出紅球的個數為X，求X的分布列和數學期望；(3)取出4個球同色，求全為紅球的概率.【答案】(1)839(2)分布列見解析，28(3)1【分析】（1）由古典概率的公式求解即可；（2）求出X的可能取值，及其對應的概率，即可求出X的分布列，再由數學期望公式即可求出X的數學期望；（3）由條件概率公式求解即可.【詳解】（1）記事件A="求恰有一個黑球"，則由古典概型公式可得PA（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，

PX=0=C84C15PX=3=C81C7X01234P2568481EX=0×239+1×56195+2×84195+3（3）記事件B="取出4個球同色，求全為紅球"PB【變式7-1】5.（2023下·河南開封·高三通許縣第一高級中學校考階段練習）有一種雙人游戲，游戲規則如下：一個袋子中有大小和質地相同的5個小球，其中有3個白色小球，2個紅色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個小球，摸后不放回，摸到第2個紅球的人獲勝，同時結束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準備下一次游戲，且本次游戲中輸掉的人在下一次游戲中先摸球．小胡和小張準備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小胡先摸球．(1)在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；(2)記3次游戲中小胡獲勝的次數為X，求X的分布列和數學期望．【答案】(1)2(2)分布列見解析，198【分析】（1）根據條件概率的計算公式即可求得答案.（2）記“先摸球者獲勝”為事件C，求出PC，確定X的取值，求得每個值對應的概率，即可得分布列，繼而求得數學期望【詳解】（1）記小胡“第一輪摸到白球”為事件A，“小胡獲勝”為事件B，則PA=3故PB（2）記一次游戲中“先摸球者獲勝”為事件C，則PC則X的可能取值為0,1,2,3，則PX=0=P(P(故X的分布列為：X0123P8485712故EX題型8藥物相關型【例題8】（2023上·云南楚雄·高三統考期中）某單位有200名職工，想通過驗血的方法篩查某種病毒攜帶者，假設攜帶病毒的人占5%，每個人是否攜帶病毒互不影響.現有兩種篩查方案，方案1：對每個人的血樣逐一化驗，需要化驗200次；方案2：隨機地按10人一組分組，然后將各組10個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這10個人的血樣全部為陰性，如果混合血樣呈陽性，說明這10個人中至少有一個人的血樣呈陽性，就需要對這10個人每個人再分別化驗一次.(1)某夫妻二人都在這個單位工作，若按照方案1，隨機地進行逐一篩查，則他們二人恰好是先篩查的兩個人的概率是多少；(2)若每次化驗的費用為16元，采用方案2進行化驗時，此單位大約需要總費用多少元？（參考數據：0.9510【答案】(1)1(2)1600（元）【分析】（1）根據古典概型的概率的計算方法計算；（2）寫出采取方案2的化驗的次數的分布列，計算出期望后可得．【詳解】（1）根據古典概型的概率的計算方法，他們二人恰好是先篩查的兩個人的概率P=（2）按方案2，設每組需要化驗的次數為X，則X=1或10個人一組，該組混合血樣呈陰性的概率為1-0.0510則10個人一組，該組需要重新化驗的概率為1-0.60=0.40.X的分布列為X111P0.600.40所以EX總的化驗次數為20010此單位大約需要花費總費用100×16=1600（元）.【變式8-1】1.（2023·湖南永州·統考二模）當前，新冠病毒致死率低，但傳染性較強.經初步統計，體質好的人感染呈顯性（出現感染癥狀）或呈隱性（無感染癥狀）的概率都是12，體質不好的人（易感人群）感染會呈顯性，感染后呈顯性與呈隱性的傳染性相同，且人感染后在相當一段時期內不會二次感染.現有甲乙丙三位專家要當面開個小型研究會，其中甲來源地人群的感染率是12，乙來源地人群的感染率是13，丙來源地無疫情，甲乙兩人體質很好，丙屬于易感人群，參會前三人都沒有感染癥狀，只確定丙未感染.會議期間，三人嚴格執行防疫措施，能隔斷(1)求參會前甲已感染的概率；(2)若甲參會前已經感染，丙在會議期間被感染，求丙感染是因為乙傳染的概率；(3)若參會前甲已感染，而乙?丙均未感染，設會議期間乙?丙兩人中感染的人數為隨機變量X，求隨機變量X的分布列與期望.【答案】(1)1(2)17(3)分布列見解析，22【分析】(1)根據條件概率求解；(2)考慮乙會前是否已經傳染上，分類討論；(3)根據獨立重復實驗，并考慮乙丙互相傳染的情況求分布列和期望.【詳解】（1）設甲會前被傳染的為事件A，無癥狀為事件B，則PA=12，PB則甲在無癥狀的情況下，會前被傳染的概率為PA|B=PAB（2）甲，乙，丙第i輪次感染分別記為事件Ai，Bi，Cii∈N*,無癥狀記為事件E.丙感染記為事件F，P(B1)=P(B1|P(B則F=CP=P(C2=13+1病毒由乙傳染丙記為事件M＝B1P(M＝P(=15×1丙感染是因為乙傳染的事件即為M|F，P(故丙感染是因為乙傳染的概率是1759（3）由甲傳染給乙和丙的概率都是13∴PXX=1或者只有丙被傳染，乙沒有被傳染，乙沒有被傳染包括甲沒有傳染乙和丙沒有傳染乙，∴PX=1=X=2，有3種情況：①甲同時傳染給乙丙，②甲先傳染給乙（沒有傳染給丙）再由乙傳染給丙，③∴PX=2=分布列如下：X012PX49827727EX=0×綜上，甲會前被傳染的概率是13，乙傳給丙的概率是1759，數學期望【變式8-1】2.（2022上·福建福州·高三福建師大附中校考階段練習）核酸檢測也就是病毒DNA和RNA的檢測，是目前病毒檢測最先進的檢驗方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝?丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機體有無病原體感染.某研究機構為了提高檢測效率降低檢測成本，設計了如下試驗，預備12份試驗用血液標本，從標本中隨機取出n份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標本中各取部分，混合后檢測，若結果為陰性，則判定該組標本均為陰性，不再逐一檢測；若結果為陽性，需對該組標本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結果：2份陽性，10份陰性.若每次檢測費用為a元（a為常數），記檢測的總費用為X元.(1)當n=3時，求X的分布列和數學期望(2)以檢測成本的期望值為依據，在n=3與n【答案】(1)分布列答案見解析，數學期望：104(2)n=3【分析】（1）分成2份陽性在一組和2份陽性各在一組兩種情況，由此可確定檢測次數及X所有可能的取值，計算出每個取值對應的概率即可得到分布列，由數學期望公式可求得EX（2）與（1）的方法相同，計算出n=4時檢測費用Y的取值和對應概率，由此可得分布列，由數學期望公式可求得EY，根據E【詳解】（1）當n=3時，共分4當2份陽性在一組時，第一輪檢測4次，第二輪檢測3次，共檢測7次，若2份陽性各在一組，第一輪檢測4次，第二輪檢測6次，共檢測10次，∴檢測的總費用X的所有可能值為7a，10a，任意檢測有C123C∴PX=7∴檢測的總費用X的分布列為：X710P29∴數學期望EX（2）當n=4時，共分3組，當2份陽性在一組，共檢測7若2份陽性各在一組，共檢測11次，∴檢測的總費用Y的所有可能值為7a，11任意檢測有C124C84∴PY=7∴檢測的總費用Y的分布列為：Y711P38∴數學期望EY∵EY>E【變式8-1】3.（2023上·江蘇鎮江·高三統考開學考試）衛生檢疫部門在進行病毒檢疫時常采用“混采檢測”或“逐一檢測”的形式進行，某興趣小組利用“混采檢測”進行試驗，已知6只動物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗來確定患病的動物，血液化驗結果呈陽性的為患病動物，下面是兩種化驗方案：方案甲：將各動物的血液逐個化驗，直到查出患病動物為止.方案乙：先取4只動物的血液混在一起化驗，若呈陽性，則對這4只動物的血液再逐個化驗，直到查出患病動物；若不呈