遼寧省名校聯盟2023年高二12月份聯合考試

數學

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復數z滿足（3i）z=4-5i,貝Ijz的共輾復數為（）

54.54.54.54.

A.---------1B.——+-1C.—+—1D.-------1

33333333

2.拋物線x2=-4y的準線方程是（）

B.y=-lD.y=-2

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

4.如圖，在四面體/—BCD中，點。為底面三角形8c。的重心，尸為/。的中點，設方=@,k=B,

~AD=C則麗在基底｛點a?｝下的有序實數組為（）

22￡￡5j_j_

33336'6,6HZ

5.已知6€(0,2兀),。終邊經過點6M3,<:053),則夕=(

6.設片，鳥分別是橢圓C：三+q=l(a〉b〉O)的左、右焦點，過點大的直線交。于M,N兩點，若

7.有很多立體圖形都體現了數學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,

半正多面體因其最早由阿基米德研究發現，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數為24的半正多面體,

它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若E為線

段的中點，且瓦.詼=-1，則該半正多面體外接球的表面積為()

A.4兀B.8兀C.16兀D.24兀

8.十七世紀法國數學家皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與

這個三角形的三個頂點的距離之和最小”.它的答案是：當三角形的三個角均小于女時，即該點與三角形的

3

三個頂點的連線兩兩成角,；當三角形有一內角大于或等于」時，所求點為三角形最大內角的頂點，在

費馬問題中，所求點稱為費馬點.已知在一5。中，C=——,ZC=1,BC=2,CM是“的角平分線,

3

交AB于M,滿足若P為的費馬點，則可.加+Ak?無+蘇.正=()

,3221

A.——B.----C.----D.—

5533

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知定義域為R的奇函數/(x)在(0,+e)單調遞減，且/(-1)=0,則下列選項滿足獷>(x)>0的是

()

A.(-00,B.(-1,0)C.(0,1)D.(l,+oo)

10.函數/（x）=Zsin（ox+9）［z>（）M〉0j9|<m的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是（）

57T

B.直線x=曾是“X）圖像的對稱軸

77T

C./（%）的圖像向右平移告個單位長度得了=sin2x的圖像

D./（X）在區間—上單調遞減

11.已知直線/：x+y-l=0截圓。：必+「="&〉（））所得的弦長為乩，點河,"在圓。上，且直線

/':（1+2加及+（加-1）y-3機=0過定點尸，若尸。為跖V的中點，則下列說法正確的是（）

A.點P坐標為（1』）

B.當直線/與直線/'平行時，m=-2

c.動點。的軌跡是以g］為圓心，亨為半徑的圓

D.的取值范圍為［而―后,指+也］

12.在一個圓錐中，。為圓錐的頂點，。為圓錐底面圓的圓心，尸為線段。。的中點，/￡為底面圓的直

徑，448c是底面圓的內接正三角形，AD=6AB=3,則下列說法正確的是（）

A.6E//平面上4c

B.在圓錐的側面上，點/到。E的中點的最短距離為迪

2

C.二面角8—PC—Z的余弦值為上

（

D.記直線。。與過點尸的平面。所成角為，，當cos，e0,—時，平面0與圓錐側面的交線為橢圓或

部分橢圓

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

uuir2uur

13.已知0（0,0,0）,/（3,2,—4）,3（0,5,1）,若OC=gAB,則。的坐標是.

14.若函數/（x）=,-1|+。有兩個零點，則實數”的取值范圍是.

15.已知函數/（%）=5也［0%一￡］（0>0）在區間［微,兀］內不存在對稱軸，則0的最大值是.

16.如圖，已知直線4II邑幺是4,，2之間的一個定點，點A到4,，2的距離分別為L2,8是直線6上一個動點,

過點A作ZCL48,交直線4于點C,平面內動點G滿足G3+2G5+癡=0,則AGBC面積的最小

值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知拋物線C:/=2內（0>0）的焦點為E,點A在拋物線。上，點3。/），且滿足4麗=成—3礪

（。為坐標原點）.

（1）求。的方程；

（2）求NAF5的角平分線所在直線的方程.

22

18.已知橢圓。：?+方=1（?！?〉0）的一個焦點為廠。,0）,且離心率為。.

（1）求。的方程；

（2）過E作直線/與。交于",N兩點，。為坐標原點，若s°k旦,求/的方程.

AUMJN7

19.如圖，已知棱長為4的正方體48CD—Z/CQi，/為片口的中點，￡為的中點，FeBC,且

EF"面BBRD.

(1)求證：四點共面，并確定點廠位置;

(2)求異面直線/4與之間的距離;

(3)作出經過點的截面(不需說明理由，直接注明點的位置)，并求出該截面的周長.

20.在中，內角4民C的對邊分別為。，仇c且滿足2asin=b+c

(1)求A；

(2)若b=4,B=；，點。在線段上且滿足麗=x無，當|彳萬|取最小值時，求X的值.

21.如圖①，在矩形/BCD中，48=4,40=2,￡為邊。。的中點.將丫2。￡沿/￡翻折至4W￡,連接

PB,PC,得到四棱錐尸—4BCE(如圖②)，”為棱總的中點.

(1)求證：CM〃菌PAE,并求CA/的長;

⑵若PB=25棱N尸上存在動點尸(除端點外)，求直線5廠與面PEC所成角的正弦值的取值范圍.

22

22.已知雙曲線C:5-彳=1(.>0,6>0)的離心率為2,焦點到漸近線的距離為

ab

(1)求C的標準方程；

(2)設不與漸近線平行的動直線/與雙曲線有且只有一個公共點尸，且與直線》=!相交于點。，試探究:

2

在焦點所在的坐標軸上是否存在定點M,使得以尸。為直徑的圓恒過點M?若存在，求出點W坐標；若不

存在，請說明理由.

遼寧省名校聯盟2023年高二12月份聯合考試

數學

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復數z滿足（3i）z=4-5i,貝Ijz的共輾復數為（）

54.54.54.54.

A.------1B.——+-1C.—+—1D.-----1

33333333

【答案】B

【解析】

【分析】由復數的除法運算結合共輒復數的定義求得.

「七桁、義時犯4-5i（4-5i）i54.

【詳解】由寇倚z=------=------=------1，

3i3i233

54

所以z的共軌復數為+

33

故選：B

2.拋物線/=-4y的準線方程是（）

A.y=lB.y=-lc.y=2D.y=-2

【答案】A

【解析】

【分析】結合拋物線的準線方程求解即可.

【詳解】由題知拋物線Y=—2py=-4y,所以。=2,故拋物線f=—4〉的準線方程為y=曰=L

故選：A.

3.已知。=221=108]3,。=108]鼻，則（）

25J

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】c

【解析】

【分析】根據指數，對數相應的值可得/i,6=10813<0,c=log|:〉l從而可求解.

Z?=log3<0

【詳解】因為0<〃_2一具1,l,c=logl|>logl|=l

所以故C項正確，

故選：C.

4.如圖，在四面體力—BCD中，點。為底面三角形BCD的重心，P為/。的中點，設方=1,k=B，

~AD=c則麗在基底｛扇B,耳下的有序實數組為（）

A?〔泊TB."）c.

1333JI333J1666/1666J

【答案】D

【解析】

【分析】根據空間向量的線性運算即可求解.

2

【詳解】取CD的中點E,連接BE.由重心的性質可知忸。|=京8￡],且8?！耆c共線.

因為礪=g（前+而）=；（%_方+詼—方12T+c）,所以

而=|■礪=；?—2萬+0,麗=；停+而）=_:君+^BO

=—1+；x*—2G++—.所以而在基底忖石忑｝下的有序實數組為

故選：D

A

5.已知6?0,2兀）,0終邊經過點儂113,<：053）,則6=（）

3乃c5TT一

A.3--B.1+3C.3D.3

222

【答案】D

【解析】

【分析】根據，的終邊經過點（sin3,cos3）,利用三角函數終邊知識從而可求解

sinf|-3

cos3叫93,

【詳解】由題意得tan，=—^

sin3cosf^--3

故，=/71一3+析:,左eZ.又因為

2

所以sin3>0,cos3<0,所以，“1,2兀），所以左=2,所以，=弓571—3,故D項正確.

2

故選:D.

22

6.設片，鳥分別是橢圓C:三+y=l（a〉b〉O）的左、右焦點，過點大的直線交C于兩點，若

a

___一7

=2gN,且cos/M/%=§,則。的離心率為（）

Ra「6

D.------

32

【答案】A

【解析】

【分析】設閨N|=加，AMNF2中,由余弦定理得加與。的關系，ANFIB中,由余弦定理得c與。的關

系，可求。的離心率.

【詳解】如圖，設閨N|=加，貝!||=2切,=3切.

由橢圓定義可得|以』=2"2叫=2a-加,

則在△兒叫中，由余弦定理得:

一十|6"『一_9m2+(2a-m)2-(2a-2m)2_6m2+4am_7

CGSNJ\dN卜)—;;~;-7r—7r——

一2|A/N-|-|/^7V|6m[2a-m)6m[2a-m)9

"ClXZ7

即54m2+36am—S4am—42m2，解得冽二萬,貝用M=萬，閃川二—.

在△g與中，由余弦定理得

閨耳I=J怩W+閃N『—2怩N|.火留cos/YA^

又14gl=2c,所以其Iq=2c，所以離心率e=g=走.

3a3

故選：A.

7.有很多立體圖形都體現了數學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,

半正多面體因其最早由阿基米德研究發現，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數為24的半正多面體,

它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若E為線

段3c的中點，且瓦.麗=-1，則該半正多面體外接球的表面積為（）

A.4兀B.8兀C.16兀D.24兀

【答案】C

【解析】

【分析】利用割補法將此多面體補成正方體，建立空間直角坐標系，根據幾何關系，從而可求解.

【詳解】將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系.

aa八

令正方體的棱長為2a,則臺伍,。,？。）,］。,。,？。）,〃。,？。,？。）,％?。,？。,。）,6一,一,2a

22

0\2_

（--,-y,0I,所以說.而=_持_=_1,解得后，

則正方體的棱長為2血.令該半正多面體外接球的半徑為,，即2r=2缶/=2,則外接球的表面積為16兀.

故C項正確.

故選：C.

8.十七世紀法國數學家皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與

2兀

這個三角形的三個頂點的距離之和最小”.它的答案是：當三角形的三個角均小于——時，即該點與三角形的

3

2兀2

三個頂點的連線兩兩成角一；當三角形有一內角大于或等于一時，所求點為三角形最大內角的頂點，在

2兀

費馬問題中，所求點稱為費馬點.已知在人45。中，C=—,AC=1,BC=2,CM是一BC的角平分線，

3

交48于滿足若尸為A/MC的費馬點，則萬.麗:+兩？?定+蘇?無=（）

3221

A.一一B.---C.---D.—

5533

【答案】D

【解析】

【分析】應用角平分線的性質及等面積法及數量積即可求解.

【詳解】在445c中，C=g,AC=l,BC=2,

由CM是445c的角平分線，交N3于

設M到兩邊的距離為d,

SBMC\AC\-d1

"LLlx-

故S"

3322

271271

已知AAMC的三個內角均小于一，則點P與AAMC的三個頂點的連線兩兩成角一，

33

所

以?S“MC=5?I尸加ISin三+51PA/HPCIsin3+]|4HPCIsin丁

^(\PA\-\PM\+\PM\-\PC\+\PA\-\PC\)=^~，

46

__2

所以|百HA而I+|A而HAQ|+|A3HAD=3，

所以蘇?河江+而?正+百?無

---->^JL>?JI??JI

^PA\-\PM\COSy+IPMI-IPCIcosy+1|-|PC|cos—

1—-—.—.—-—■—-121

=--(|P/tHPM|+|PMHPC|+|P/lHPC|)=--x-=--.

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知定義域為R的奇函數/(x)在(0,+”)單調遞減，且/(—1)=0,則下列選項滿足獷'(x)>0的是

()

A.(-oo,-l)B.(-1,0)C.(0,1)D.(l,+oo)

【答案】BC

【解析】

【分析】由x<0,x=0,x〉0分類討論，結合奇函數的性質求出不等式的解集，然后判斷各選項.

【詳解】因為/(x)是定義域為R的奇函數，且在(0,+S)單調遞減，且/(—1)=0,

所以/(T)=—/⑴=0，且/⑼=0J(x)在(―鞏0)上單調遞減,

所以當x=0時，M"(x)=0,不滿足題意；

當x<0時，由力(x)>0,可得/(x)<0,所以一1cx<0；

當x>0時，由力(%)>0,可得/(x)>0,所以0<x<l.

綜上，切(x)>0的解集為(TO)U(O1).

故選：BC.

10.函數/(0=然/(3+°)[/〉0,。〉0,嗣<3)的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是(

A.點是/(x)圖像的對稱中心

B.直線x=曾是/(X)圖像的對稱軸

7TC

c./(X)的圖像向右平移五個單位長度得〉=sin2x的圖像

D./(x)在區間1,y上單調遞減

【答案】ABD

【解析】

【分析】由圖象結合五點法求出函數解析式，然后根據正弦函數性質進行檢驗.

31lir7T771

【詳解】由題意可知2=1,—7=------,解得7=兀，所以7=兀=——，解得刃=2.

4126co

將代入/(x)=sin(2x+°)中，得sin12x[+可=0,

解得°=2E—巴，左eZ,因為嗣〈巴，所以當左=0時，夕=一(所以/(力=sin2x

3234-

對于A項，/^yj=sin^2x^-|j=0,所以點(籌,0］是/(x)圖像的對稱中心，故A項正確；

對于B項，/(1^)=sin(2x1^-^)=l,所以直線x=1^是/(x)圖像的對稱軸，故B項正確；

對于C項，/(x)=sin^2x-jj的圖像向右平移魯個單位長度得

(7兀、7i(3兀、

y=sin2lx--I-j=sinI2x—■^J=cos2x的圖像，故C項錯誤；

7TzITTT27rTTTT/TT

對于D項，當％￡［不,—］時，2X——G——,71G—,71，所以/(x)在區間［―,--］上單調遞減，故D

2333223

項正確.

故選：ABD

11.已知直線/：x+y-l=O截圓0：/+/=尸2&〉0)所得的弦長為乩，點","在圓。上，且直線

/':(1+2〃7h+(加-1)了一3機=0過定點兒若尸屈，印，。為跖V的中點，則下列說法正確的是()

A.點P坐標為(1』)

B.當直線/與直線/'平行時，m=-2

c.動點。的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓

D.的取值范圍為［指―拒,、同+上］

【答案】ABD

【解析】

【分析】由直線過定點的求法參變分離，即可列式求解得出定點判斷A；由兩直線平行時斜率的關系列式

得出加判斷B,注意驗證一下，避免兩直線重合；通過圓弦長的幾何求法列式得出半徑廠，設出所求點

Q(x,y),因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出歸。|=曰"乂|=|〃0|,即可通過圓弦長的幾

何求法列式|。叫2=|002+|九@2=|。q2+歸92代入值化簡得出軌跡方程，即可判斷?；通過圓上點到

定點距離的范圍求法得出\PQ\的取值范圍，即可通過|"乂|=2|尸。|得出\MN\的取值范圍判斷D.

【詳角軍】對于A,因為直線/':(l+2〃z)x+(m-l)y-3〃2=0,可化為x-y+加(2x+y-3)=0,

x-y=0x=1

解得《1

2x+y-3=0b=l

所以/':(1+2m)x+(機-l)y-3加=0過定點故A正確；

對于B,當直線/與直線/'平行時，因為直線/：》+>-1=0的斜率為-1,

所以直線/'的斜率也為-1時，

則1±^竺=一1,解得：掰=一2,

此時1:―3x—3>+6=0,即x+y—2=0與直線/:x+y-l=0平行，故B項正確;

15

對于c,圓心到直線的距離為一/=—，

V1+12

設的中點為。(xj),

?;PMLPN,。為的中點,

:.\PQ\=^\MN\=\M^,

?.,點",N在圓。上,

:.\OM\=2,OQLMN,

.■.\OM^=\OQf+\MQf=國2+聞2,

即4=x2+y2+(x_l)2+(y—l)2,化簡可得+[y~^]=|)

所以點。的軌跡是以為圓心，半為半徑的圓，故C錯誤；

對于D,點尸到圓心的距離為曰，在圓[x—g]=1■內'

「后-五"+萬

，|P0|的取值范圍為一-一,一--，

v\MN\=2\PQ\

的取值范圍為[庭-收,指+網，故D項正確.

故選：ABD.

12.在一個圓錐中，。為圓錐的頂點，。為圓錐底面圓的圓心，P為線段。。的中點，ZE為底面圓的直

徑，A45c是底面圓的內接正三角形，AD=43AB=3;則下列說法正確的是（）

A.8￡//平面上4c

B.在圓錐的側面上，點/到DE的中點的最短距離為述

2

C.二面角8—PC—/的余弦值為g

C2丘、

D.記直線。。與過點尸的平面a所成角為。，當cos。e0,—時，平面a與圓錐側面的交線為橢圓或

部分橢圓

【答案】BD

【解析】

【分析】A選項，假設8E//平面上4C,由線面平行的性質得到線線平行，但BE不與ZC平行，所以假

設不成立，A錯誤；B選項，將側面鋪平展開，在平面內得到最短距離；C選項，先求出四面體P-45C為

正四面體，作出輔助線，找到二面角8-PC-Z的平面角，利用余弦定理求出答案；D選項，設圓錐的軸

截面頂角ZADE=2/3,得到cos6=等=受,根據余弦函數的單調性得到從而得到答案.

【詳解】對于A項，假設5￡//平面P/C,因為8Eu平面45C,平面尸2?？谄矫?SC=/C,

所以BE//AC,

由題意得BE不與/C平行，所以假設不成立，則BE不平行平面上4C,故A項錯誤；

對于B項，將側面鋪平展開得AD=DE=3,

因為AD=CAB=3,所以48=百，

AB

故NE=二2,40=1,

cos30°

底面圓周長2兀xl=2兀，所以獲二兀

TT

則NZDE=-,所以點N到。E中點〃的最短距離為AM,

3

A

M

在等邊三角形/DE中，AM=ADsm-=^，故B項正確；

32

對于C項，因為。E=3,AO=1,則。0=5^=2收，

所以「o=goo=J5,所以PZ=(J5)2+1=JI，同理必=PC=G，

又AB=BC=AC=5

所以四面體P—48C為正四面體，

取PC的中點。，連接80,2。，則80J.PC,AQLPC,

則NAQB即為二面角B-PC-A的大小,

其中8Q=/Q=Gsin60°=|,

99_

由余弦定理得cosNAQB=我力丁=":

24QBQ2x33

22

即二面角8-PC-Z的余弦值為上，故C項錯誤；

3

對于D項，設圓錐的軸截面頂角//￡>￡=2,，則cos萬=空=述

DE3

TT

由題意得，e0,-,

_2_

(2夜)

因為cos?e0,-----,所以cosdvcos/?,

7T

又歹=(!05%在xe0,-上單調遞減，

7?

故夕＜6＜一,此時平面a與圓錐側面的交線為橢圓或部分橢圓，D正確.

2

故選：BD.

【點睛】在空間中，用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線是一個圓，

用一個不垂直軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸的夾角a不同時，可以得到不同的截口曲線，設圓錐的

軸截面半頂角為6，

當《＜a時，截口曲線為橢圓，

當，=0時，截口曲線為拋物線，

當父〉a時，截口曲線為雙曲線

如圖所示：

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

/、/、UUUT2uur

13.已知0(0,0,0),/(3,2,—4),5(0,5,1),若則C的坐標是.

【答案】［一2？］］

【解析】

【分析】應用空間向量數乘即向量相等即可.

【詳解】因為0(0,0,0),/(3,2,-4),3(0,5,1),設C(x,y,z)

則AS=(—3,3,5),OC=(x,y,z)

—?2—?（10

所以0C=（x,y,z）二-AB二—2,2,y

則x=-2,y=2,z=W,

3

即q-2,2,§j.

故答案為：f_2,2,—

14.若函數/(》)=，-1|+。有兩個零點，則實數0的取值范圍是.

【答案】(TO)

【解析】

【分析】將問題轉換成工-1|與歹=6的圖像交點問題，數形結合得到答案.

函數/(x)=卜工-1|+a有兩個零點,即y=卜、-1|與V=-。的圖像有兩個交點.

令一a=b,作出y=卜*一1|與y=b的大致圖像如圖所示，

由圖可知0<6<1,則0<—a<l,故實數。的取值范圍是(—1,0).

故答案為：(-1,0)

15.已知函數/(x)=sin［°x—：［0>0)在區間［|■,兀J內不存在對稱軸，則0的最大值是

【答案】-

3

【解析】

【分析】由正弦函數性質及已知條件建立不等式組即可

【詳解】因為Xe1一，兀］，且69〉0,所以-------<CDX---<6971---，

12)2666

因為/（X）在區間［|＞兀］內不存在對稱軸，所以,

a＞7T--＜—+（A；+l）7l

、62v）

45245

解得—F2k4①4—卜k,keZ,當左二—1時，0＜a）＜—-,當左=0時，一＜。＜-；

33333

（21「45-

當左21時，不成立，即刃￡0,—u—,一,

I333

故答案為：—.

3

16.如圖，己知直線1123A是kL之間的一個定點,點A到L,12的距離分別為L2,B是直線Z2上一個動點,

過點A作ZCL4B,交直線/］于點C,平面內動點G滿足03+2豉+癡=0,則AGBC面積的最小

值是.

【解析】

【分析】取ZC的中點M,8c的中點N,先由平面向量運算得到菽+2而=0；表示出

S.GBC=-S.MBC=-X=~S.ABC-再由幾何關系得到48=2,ZC=',最后由三角函數

3326cos"sin"

二倍角公式和取值范圍得到最值.

【詳解】由9+2屈+標=0,^GA+GC+2GB+2GC=0-

取/C的中點8c的中點N,有菽+2而=0,

則S-GBC==TX=：SaABC.

332o

設夕8/。=q#1，由于DE±l,

DE_L/J,2而

兀2[

則/￡/C=——e,由ZO=2,AE=1,得4B=——.AC=——

2cos。sin。

IT

則S“BC=-AB-AC=----------->2,當且僅當26=g,即時取等號,

22cosOsin。sin2824

此時△GC5的面積的最小值為=L

54/LDL3c

故答案為：—

3

【點睛】本題考查平面向量和基本不等式的計算.取/C的中點M,8c的中點N,先由平面向量運算得到

GM+2GN=Q；表示出S^=-S^=-x-S^=-S^,再由幾何關系得到

GBC3MBC32ABCoABC

21

4B=——,AC=——,最后由三角函數二倍角公式和取值范圍得到最值.

cosOsin。

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知拋物線。:必=20尤5>0）的焦點為E,點A在拋物線。上，點8（1,1）,且滿足4屈=拓—3礪

（。為坐標原點）.

（1）求。的方程；

（2）求NN必的角平分線所在直線的方程.

【答案】（1）/=4x

(2)3x—y—3=0

【解析】

【分析】（1）利用向量關系求出點/坐標，代入拋物線方程可得；

（2）求出直線B凡49的方程，設尸（x,y）為N4FS的角平分線所在直線上任一點，利用點到直線的距離

公式可得.

【小問1詳解】

因為4麗=成—3礪，

所以3礪+3屈=成—麗，所以3礪=布，

設/(x,y),則3(l,l)=(x—l,y—1),解得Z(4,4).

因為點A在。上，所以42=2夕4,

所以0=2,所以j?=4x.

【小問2詳解】

由(1)知尸(1,0),所以直線RF的方程為x=l,

44

又3F=］，所以直線力廠的方程為y=§(xT)，即4x-3y-4=0.

由拋物線的圖形知，N4F5的角平分線所在直線的斜率為正數.

設尸(x,y)為N4FS的角平分線所在直線上任一點,

^|4x-3j-4|,,

則nl有J------——?=|x-l|,

若4x—3y—4=5x—5,得x+3y-l=0,

其斜率為負，不合題意，舍去.

所以4x—3y—4=—5x+5,即3x—y—3=0f

所以NAFB的角平分線所在直線的方程為3x-y-3=0.

22

18.已知橢圓。：二+齊=1.〉6〉0)的一個焦點為少。,0),且離心率為

(1)求。的方程；

(2)過廠作直線/與。交于兩點，。為坐標原點，若5^=迪，求/的方程?

AUMN7

22

【答案】(1)土+匕=1

43

(2)x+〉T=O或x-y-l=O.

【解析】

【分析】(1))由離心率和焦點坐標即可求得。的方程.

迪求出直線/的方程.

(2)設出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯立，根據

MN7

【小問1詳解】

c1

由已知得C=l,離心率6=一二一,

a2

得a=2,1）2=a2—c2=3，

22

則。的方程為±+±=1.

43

【小問2詳解】

由題可知，若AQW面積存在，則斜率不為0,

所以設直線/的方程為》=叼+1,加顯然存在,

M（X1,yi）,N（x2,y2）,

[x2y21

聯立《43消去x得（3加2+4）J?+6町_9=o,

x=my+1,

因為直線/過點/，所以A>0顯然成立,

r6m9

且％+V2=-----；----,J,V=------;----,

?123m2+4223m2+4

因為?？诓?一了2卜;.

,144（〃/+1）6后,

]（%+32）2_4%%='?

3m2+47

化簡得18加4—加2-17=0,

解得加2=1或加2o二—17（舍），

18

所以直線/的方程為x+>—1=0或X—了―1=0.

19.如圖，已知棱長為4的正方體48CD—為42的中點，￡為的中點，FeBC,且

EF"面BB\D\D.

(1)求證：四點共面，并確定點廠位置;

(2)求異面直線/4與W之間的距離；

(3)作出經過點的截面(不需說明理由，直接注明點的位置)，并求出該截面的周長.

【答案】(1)e為的中點.證明見解析

⑵2&

(3)截面位置見解析，4A6+2JF7

【解析】

【分析】(1)由線面平行的性質定理得到四點共面，進而確定產的位置；

(2)證明4M同時垂直于兩條異面直線，并求出長度即可；

(3)在線段42，81G上分別取點P,Q，使得4尸=1,G。=1，連接點4個Q,P，畫出四邊形AFQP即

為所求，并求出周長.

【小問1詳解】

證明：因為E尸〃面BB}DXD,EFu面CBM,

面CBMA面BBQQ=MB,

所以EFIIMB,所以E,RM,8四點共面.

又EF"MB,所以尸為5C的中點.

【小問2詳解】

連接4M,

因為44］，面481GA，4MU面4AG。］,所以44］，AXM,

因為Z4HBB［,所以，BB1,

又41M±BQ,BBlcBA=Bx,

所以AXM±面BBXDXD,

又BMu面BBIRD,所以

所以線段4M即為異面直線441與曲/之間的距離，

易得AYM=2J5,

即異面直線AAX與BM之間的距離為20.

【小問3詳解】

如圖，在線段4A,與G上分別取點P,Q,

使得4尸=1,C?=1,連接點4廠,Q,P,則四邊形/尸0尸即為所求.

又AF=PQ=A/42+22=275,AP=QF="+仔=厲,

所以該截面的周長為46