大學數學應用根底

——線性代數﹒概率論與數理統計(下冊)湖南教育出版社第十章行列式10.1二階、三階行列式10.2三階行列式的性質10.3高階行列式克萊姆法那么湖南教育出版社下頁10.1二階、三階行列式1.二階行列式2.三階行列式上頁下頁首頁10.1二階、三階行列式時,方程組(Ｉ)有唯一解1.二階行列式〔Ⅰ〕二階行列式:行列式的元素.上頁下頁首頁主對角線次對角線線性方程(Ｉ)的解可以表示為:二階行列式的展開式10.1二階、三階行列式上頁下頁首頁如果記:那么線性方程(Ｉ)的解可以簡單的表示為:行列式D是方程組(Ｉ)的系數行列式.10.1二階、三階行列式上頁下頁首頁例1

用行列式解二元一次方程組:解

10.1二階、三階行列式上頁下頁首頁(Ⅱ)

10.1二階、三階行列式2.三階行列式上頁下頁首頁10.1二階、三階行列式三階行列式三階行列式的展開式上頁下頁首頁10.1二階、三階行列式于是方程組的解可以簡單表示為:上頁下頁首頁例2計算以下行列式:10.1二階、三階行列式解三角行列式上頁下頁首頁例3

用行列式解三元線性方程組:解

10.1二階、三階行列式上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質把行列式的行和列依次互換,得到行列式D的轉置行列式上頁下頁首頁性質1行列式和它的轉置行列式相等,即例如10.2三階行列式的性質上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質性質2

交換行列式的任意兩行(列),行列式僅改變符號.推論如果行列式有兩行〔列〕的對應元素相同，那么此行列式的值為零．上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質性質3把行列式的某一行〔列〕中所有元素都乘以同一數,等于以數乘以此行列式．推論1行列式中某一行〔列〕的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論2如果行列式某行〔列〕的元素全為零，那么此行列式的值等于零．上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質推論3如果行列式某兩行〔列〕的元素對應成比例，那么此行列式的值等于零.上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質性質4如果行列式的某一行〔列〕的各元素都是二項的和，那么這個行列式等于兩個行列式的和.上頁下頁首頁性質5

把行列式的某一行(列)的各元素乘以常數k,加到另一行上,行列式的值不變.10.2三階行列式的性質(性質4、推論3)

上頁下頁首頁例1

計算行列式10.2三階行列式的性質解

(性質4的推論3)上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質例2計算行列式：解上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質注意:互換第i、j兩行．:互換第i、j兩列．:將行列式的第行i〔i列〕乘以數k．:將行列式的第j行(j列)乘以k加到第i行(i列)．上頁下頁首頁余子式代數余子式10.2三階行列式的性質上頁下頁首頁性質6

行列式等于它的任意一行(列)的各元素與對應的代數余子式的乘積的和.(行列式的展開性質)10.2三階行列式的性質上頁下頁首頁例3

用行列式的展開性質計算行列式解

10.2三階行列式的性質上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質性質7

行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)對應元素的代數余子式的乘積的和等于零.例如

上頁下頁首頁10.3高階行列式克萊姆法那么1.高階行列式2.克萊姆(Gramer)法那么上頁下頁首頁劃去元素所在的第i行第j列上所有的元素后形成的n-1階行列式10.3高階行列式克萊姆法那么1.高階行列式n階行列式代數余子式余子式主對角線上元素

次對角線上元素

上頁下頁首頁階數n大于3的行列式稱為高階行列式.三階行列式的所有性質對于高階行列式都成立.10.3高階行列式克萊姆法那么上頁下頁首頁10.3高階行列式克萊姆法那么例1

計算解

將行列式按第1行展開,得上頁下頁首頁例2計算以下三角行列式(即主對角線上方的所有元素都為零的行列式):10.3高階行列式克萊姆法那么解

按第一行展開,得上頁下頁首頁對上式中的右邊的n-1階行列式再按第一行展開,得如此下去做n次,得10.3高階行列式克萊姆法那么上頁下頁首頁2.克萊姆(Gramer)法那么n元線性方程組(Ⅲ)系數行列式為10.3高階行列式克萊姆法那么上頁下頁首頁10.3高階行列式克萊姆法那么定理(克萊姆法那么)如果線性方程組〔Ⅲ〕的系數行列式那么該方程組有且只有惟一解上頁下頁首頁證10.3高階行列式克萊姆法那么行列式的展開性質上頁下頁首頁例3用克萊姆法那么解方程組10.3高階行列式克萊姆法那么解上頁下頁首頁且10.3高階行列式克萊姆法那么上頁下頁首頁10.3高階行列式克萊姆法那么注意克萊姆法那么有兩個條件：一是方程組的未知數的個數等于方程的個數，二是系數行列式不等于零．上頁下頁首頁當方程組(Ⅲ)的常數項不全為零時,稱為非齊次線性方程組.(Ⅳ)10.3高階行列式克萊姆法那么齊次線性方程組零解上頁下頁首頁推論2如果齊次線性方程組有非零解,那么它的系數行列式D必為零.推論1如果齊次線性方程組的系數行列式,那么它只有零解.10.3高階行列式克萊姆法那么上頁下頁首頁10.3高階行列式克萊姆法那么例4

k取何值時,齊次線性方程組有非零解?解上頁下頁首頁課堂小結一內容提要本章的主要內容有行列式的概念,行列式的性質,行列式的計算和克萊姆法那么