江西省贛州市重石中學高二數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.甲、乙兩名同學在5次體育測試中的成績統計如下面的莖葉圖所示，其中結論正確的是()

A.，乙比甲的成績穩定；

B.，甲比乙成績穩定；C.，乙比甲成績穩定；

D.，甲比乙成績穩定．參考答案：A2.已知偶函數f(x)在區間上單調遞增，則滿足f(2x-1)<f()的x取值范圍是A．（

）

Ｂ．[

Ｃ．()

Ｄ．[

參考答案：C略3.若實數、、成等比數列，則函數與軸的交點的個數為（

）1

0

無法確定參考答案：B4.甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜想的數字記為b，其中，若|a－b|≤1，則稱甲乙“心有靈犀”。現任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D5.已知命題p：?x∈R，x＞2，那么命題￢p為（）A．?x∈R，x＜2 B．?x∈R，x≤2 C．?x∈R，x≤2 D．?x∈R，x＜2參考答案：B【考點】命題的否定．【專題】簡易邏輯．【分析】直接利用全稱命題否定是特稱命題寫出結果即可．【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以：命題p：?x∈R，x＞2，那么命題￢p為：?x∈R，x≤2．故選：B．【點評】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定故選，基本知識的考查．6.從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數據繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數據可知身高在[120，130]內的學生人數為（

）

A．20

B．25

C．30

D．35莖葉7984464793

參考答案：C略7.如圖，矩形ABCD中，E為邊CD上的一點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率為（）

A.

B.

C.

D.參考答案：C8.已知橢圓，長軸在軸上，若焦距為4，則_________ A.4 B.5 C.7 D.8參考答案：D9.設橢圓的左、右焦點分別為，P是C上的點，，，則C的離心率為()A.

B. C. D.參考答案：D由題意可知，在直角三角形PF1F2中，|F1F2|=2c，，∴|PF1|=，|PF2|=，又|PF1|+|PF2|=2a，∴∴C的離心率e=

10.若點P對應的復數滿足，則P的軌跡是（

）A．直線

B．線段

C.圓

D．單位圓以及圓內參考答案：D設P（a,b）,則由可得,所以即P的軌跡是單位圓以及圓內，故選D.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設變量滿足約束條件，則的最大值是

.參考答案：512.如圖所示，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC內接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，則AF∶FC=

。參考答案：13.方程的實根個數是

參考答案：1略14.某公司13個部門接受的快遞的數量如莖葉圖所示，則這13個部門接受的快遞的數量的中位數為．參考答案：10【考點】莖葉圖．【分析】利用莖圖的性質和中位數的定義直接求解．【解答】解：由莖葉圖的性質得：某公司13個部門接受的快遞的數量按從小到大的順序排的第7個數為中位數，∵第7個數是10，∴這13個部門接收的快遞的數量的中位數為10．故答案為：10．【點評】本題考查中位數的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意莖葉圖的性質和中位數的定義的合理運用．15.過橢圓內一點M引橢圓的動弦AB,則弦AB的中點N的軌跡方程是

.參考答案：16.已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是__

參考答案：17.已知實數x，y滿足不等式組，則目標函數的最大值為

．參考答案：8作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，向上平移直線，增大，當過點時，取得最大值．故答案為8．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽采用7局4勝制（即先勝4局者獲勝，比賽結束），假設兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同．（1）求乙以4比1獲勝的概率；（2）求甲獲勝且比賽局數多于5局的概率．參考答案：【考點】CA：n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率．【分析】（1）記“乙以4比1獲勝”為事件A，則A表示乙贏了3局甲贏了一局，且第五局乙贏，再根據n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率計算公式求得P（A）的值．（2）利用n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率計算公式求得甲以4比2獲勝的概率，以及甲以4比3獲勝的概率，再把這2個概率值相加，即得所求．【解答】解：（1）由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是，記“乙以4比1獲勝”為事件A，則A表示乙贏了3局甲贏了一局，且第五局乙贏，∴P（A）=???=．（2）記“甲獲勝且比賽局數多于5局”為事件B，則B表示甲以4比2獲勝，或甲以4比3獲勝．因為甲以4比2獲勝，表示前5局比賽中甲贏了3局且第六局比賽中甲贏了，這時，無需進行第7局比賽，故甲以4比2獲勝的概率為???=．甲以4比3獲勝，表示前6局比賽中甲贏了3局且第7局比賽中甲贏了，故甲以4比3獲勝的概率為???=，故甲獲勝且比賽局數多于5局的概率為+=．19.設函數f（x）=lnx﹣ax，a∈R．（1）當x=1時，函數f（x）取得極值，求a的值；（2）當a＞0時，求函數f（x）在區間[1，2]的最大值；（3）當a=﹣1時，關于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一實數解，求實數m的值．參考答案：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=．

因為當x=1時，函數f（x）取得極值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．經檢驗，a=1符合題意．（不檢驗不扣分）

（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．令f′（x）=0得x=．因為x∈（0，）時，f′（x）＞0，x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，①當0＜≤1，即a≥1時，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時，f（x）取最大值f（1）=﹣a；②當1＜＜2，即＜a＜1時，f（x）在（1，）上遞增，在（，2）上遞減，所以x=時，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；③當≥2，即0＜a≤時，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．綜上，①當0＜a≤時，f（x）最大值為ln2﹣2a；②當＜a＜1時，f（x）最大值為﹣lna﹣1；③當a≥1時，f（x）最大值為﹣a．

（3）因為方程2mf（x）=x2有唯一實數解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數解，設g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，則g′（x）=，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因為m＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，當x∈（0，x2）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上單調遞減，當x∈（x2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）單調遞增，當x=x2時，g（x）取最小值g（x2）．

則即所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因為m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*），設函數h（x）=2lnx+x﹣1，因為當x＞0時，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解．因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x2=1，即=1，解得m=．略20.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求證：AC⊥BD1（2）求異面直線AC與BC1所成角的大小．參考答案：【考點】直線與平面垂直的性質；異面直線及其所成的角．【分析】（1）根據正方體的性質，結合線面垂直的判定與性質加以證明，可得AC⊥BD1；（2）連結AD1、CD1，可證出四邊形ABC1D1是平行四邊形，得BC1∥AD1，得∠D1AC（或補角）就是異面直線AC與BC1所成角．等邊△AD1C中求出∠D1AC=60°，即得異面直線AC與BC1所成角的大小．【解答】解：（1）∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DD1，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1?平面BDD1，∴AC⊥BD1；（2）連結AD1、CD1，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，ABC1D1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或補角）就是異面直線AC與BC1所成角．∵△AD1C是等邊三角形，∴∠D1AC=60°，即異面直線AC與BC1所成角的大小為60°．21.（本小題滿分13分）已知向量，，設，．(Ⅰ)若，求當取最小值時實數的值;(Ⅱ)若，問：是否存在實數，使得向量和向量的夾角為，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）因為a=，b=（），，

則====

所以當時，取到最小值，最小值為．…….6分（Ⅱ）由條件得cos45=，又因為

==,==,，

則有=，且