第五章相交線與平行線《5.1.1相交線》教案一【教學目標】：1．理解對頂角和鄰補角的概念，能在圖形中辨認．2．掌握對頂角相等的性質和它的推證過程．3.通過在圖形中辨認對頂角和鄰補角，培養學生的識圖能力．【重點】：在較復雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角．【難點】：在較復雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角．【教學過程】一、創設情境，引入課題先請同學觀察本章的章前圖，然后引導學生觀察，并回答問題．學生活動：口答哪些道路是交錯的，哪些道路是平行的．教師導入：圖中的道路是有寬度的，是有限長的，而且也不是完全直的，當我們把它們看成直線時，這些直線有些是相交線，有些是平行線．相交線、平行線都有許多重要性質，并且在生產和生活中有廣泛應用．所以研究這些問題對今后的工作和學習都是有用的，也將為后面的學習做些準備．我們先研究直線相交的問題，引入本節課題．二、探究新知，講授新課1．對頂角和鄰補角的概念學生活動：觀察上圖，同桌討論，教師統一學生觀點并板書．【板書】∠1與∠3是直線AB、CD相交得到的，它們有一個公共頂點O，沒有公共邊，像這樣的兩個角叫做對頂角．學生活動：讓學生找一找上圖中還有沒有對頂角，如果有，是哪兩個角？學生口答：∠2和∠4再也是對頂角．緊扣對頂角定義強調以下兩點：（1）辨認對頂角的要領：一看是不是兩條直線相交所成的角，對頂角與相交線是唇齒相依，哪里有相交直線，哪里就有對頂角，反過來，哪里有對頂角，哪里就有相交線；二看是不是有公共頂點；三看是不是沒有公共邊．符合這三個條件時，才能確定這兩個角是對頂角，只具備一個或兩個條件都不行．（2）對頂角是成對存在的，它們互為對頂角，如∠1是∠3的對頂角，同時，∠3是∠1的對頂角，也常說∠1和∠3是對頂角．2．對頂角的性質提出問題：我們在圖形中能準確地辨認對頂角，那么對頂角有什么性質呢？學生活動：學生以小組為單位展開討論，選代表發言，井口答為什么．【板書】∵∠1與∠2互補，∠3與∠2互補（鄰補角定義），∴∠l＝∠3（同角的補角相等）．注意：∠l與∠2互補不是給出的已知條件，而是分析圖形得到的；所以括號內不填已知，而填鄰補角定義．或寫成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（鄰補角定義），∴∠1＝∠3（等量代換）．學生活動：例題比較簡單，教師不做任何提示，讓學生在練習本上獨立完成解題過程，請一個學生板演。解：∠3＝∠1＝40°（對頂角相等）．∠2＝180°－40°＝140°（鄰補角定義）．∠4＝∠2＝140°（對頂角相等）．三、范例學習學生活動：讓學生把例題中∠1＝40°這個條件換成其他條件，而結論不變，自編幾道題．變式1：把∠l＝40°變為∠2－∠1＝40°變式2：把∠1＝40°變為∠2是∠l的3倍變式3：把∠1＝40°變為∠1：∠2＝2：9四、課堂小結學生活動：表格中的結論均由學生自己口答填出．角的名稱特征性質相同點不同點對頂角①兩條直線相交面成的角②有一個公共頂點③沒有公共邊對頂角相等都是兩直線相交而成的角，都有一個公共頂點，它們都是成對出現。對頂角沒有公共邊而鄰補角有一條公共邊；兩條直線相交時，一個有的對頂角有一個，而一個角的鄰補角有兩個。鄰補角①兩條直線相交面成的角②有一個公共頂點③有一條公共邊鄰補角互補《5.1.1相交線》教案二教學目標1．理解對頂角和鄰補角的概念，能在圖形中辨認．2．掌握對頂角相等的性質和它的推證過程．3.通過在圖形中辨認對頂角和鄰補角，培養學生的識圖能力．重點：在較復雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角．難點：在較復雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角．教學過程一、創設情境，引入課題問題：請同學們觀察下面的圖片，說一說那些道路是交錯的，那些是平行的？教師導入：圖中的道路是有寬度的，是有限長的，而且也不是完全直的，當我們把它們看成直線時，這些直線有些是相交線，有些是平行線．相交線、平行線都有許多重要性質，并且在生產和生活中有廣泛應用．所以研究這些問題對今后的工作和學習都是有用的，也將為后面的學習做些準備．我們先研究直線相交的問題．二、目標導學,探索新知目標導學1：理解對頂角和鄰補角的概念，并會在圖形中進行辨別1.觀察圖片，注意剪刀剪開布片過程中有關角的變化.2.將剪刀抽象為幾何圖形并畫一畫.答：如圖：幾何語言描述圖形：直線AB、CD相交于點O.概念：如果兩條直線有一個公共點，就說這兩條直線相交，公共點叫做這兩條直線的交點。3.觀察上圖，同桌討論。（1）兩條直線相交組成幾個角？（2）這兩條直線相交得到哪幾對角？（3）每對角中兩個角的位置有怎樣的關系？(4)根據它們的位置和度數的關系將這幾對角進行分類.4.概念歸納（1）∠1與∠3是直線AB、CD相交得到的，它們有一個公共頂點O，沒有公共邊，像這樣的兩個角叫做對頂角．（2）∠1與∠2是直線AB、CD相交得到的，有公共頂點O，且有一條公共邊，像這樣的兩個角叫做鄰補角.5.概念深化（1）找一找上圖中還有沒有對頂角，如果有，是哪兩個角？（2）找一找上圖中還有沒有鄰補角，如果有，是哪兩個角？學生口答：∠2和∠4再也是對頂角．∠3與∠2、∠1與∠4、∠3與∠4也互為鄰補角。6.初步應用例1：（1）下列圖中的∠1與∠2是鄰補角嗎？為什么？【教師強調】鄰補角的特點：①頂點相同；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長線；③成對出現。（2）下列各圖中∠1、∠2是對頂角嗎？【教師強調】對頂角的特點：①頂點相同；②角的兩邊互為反向延長線；③成對出現的。（3）請分別畫出下圖中∠1的對頂角和∠2的鄰補角.學習目標2：掌握對頂角的性質并會推導問題：我們在圖形中能準確地辨認對頂角，那么對頂角有什么性質呢？1.動手操作，推出性質已知，直線AB與CD相交于O點(如圖),試猜想∠1、∠3的大小關系，并借助量角器或其他方式驗證你的想法.答：∠1=∠3.思考：你能用說理的方法推出∠1=∠3嗎？解：

∵∠1與∠2互補，∠3與∠2互補（鄰補角定義），∴∠l＝∠3（同角的補角相等）．或寫成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（鄰補角定義），∴∠1＝∠3（等量代換）．教師提醒：∠l與∠2互補不是給出的已知條件，而是分析圖形得到的；所以括號內不填已知，而填鄰補角定義．2.性質歸納：對頂角相等.3.初步應用例１：如圖,直線a、b相交，∠

1=40o，

求∠2，∠3，∠4的度數.解：∵∠1=∠3(對頂角相等)，∠

1=40o（已知）∴∠

3=40o

.又∵∠1+∠2=180o

(鄰補角定義)，∠

1=40o（已知）∠2=∠4(對頂角相等)∴

∠4=∠

2=180o-

∠1

=140o?.4.變式練習學生活動：讓學生把例題中∠1＝40°這個條件換成其他條件，而結論不變，自編幾道題．變式1：把∠l＝40°變為∠2－∠1＝40°變式2：把∠1＝40°變為∠2

是∠l

的3倍變式3：把∠1＝40°變為∠1：∠2＝2：9.三、鞏固訓練，熟練技能1.（1）若∠1與∠2是對頂角，∠1=16o，則∠2=______o；（2）若∠3與∠4是鄰補角，則∠3+∠4

=______o.2.若∠1與∠2為對頂角，∠1與∠3互補，則∠2+∠3=

o.3.要測量兩堵圍墻所形成的∠ＡＯＢ的度數，但人不能進入圍墻，如何測量？四、歸納總結，板書設計教學備注【教師提示】教師統一學生觀點并板書．【教學提示】學生以小組為單位展開討論，選代表發言，并口答為什么．例題比較簡單，教師不做任何提示，讓學生在練習本上獨立完成解題過程，請一個學生板演。【教學說明】要求學生能用文字語言說理，并讓學生寫出推理過程，由于本階段對于推理的要求處在入門階段，因此形式上可不做過分要求。【教學提示】表格中的結論均由學生自己口答填出．教學反思成功之處：本節課是在七年級上冊學過線、角的有關知識的基礎上，進一步研究兩直線位置關系的第一課時.對頂角是幾何求解、證明中的一個基本圖形，其中對頂角相等也是證明中常用的結論，以此實現角之間的相互轉化.內容相對簡單，但又非常重要。對頂角的概念出來后，立即找到生活原型，以加強認識，聯系生活.在辨別給出圖形是否為對頂角的一組題目中，果然如課前所料，學生的幾何語言運用不夠熟練、嚴謹，我耐心地糾正，原因是幾何開始一定要讓學生重視幾何語言的表述，養成學習幾何的好習慣.在這個題目中我始終讓學生對照定義辨別，加強認識.探究對頂角相等這個性質是本課時的重難點，所以我的設計是先畫圖量角，讓學生有一個感性認識，同時讓學生認識到度量是有誤差的，所以叫學生記下讀數，提出可不可以根據一個角的度數，計算出其對頂角的度數這樣一個問題，其實這個問題設計是承上啟下的，因為在證明時我聽到他們說出“和剛才計算一樣”的話.練習題的設置一來是鞏固，二來時讓學生體會轉化思想.不足之處：本節課通過對比教學，學生對概念的理解及簡單的一些推理說明基本能掌握，但可能是課堂上沒有照顧到所有的學生導致部分學習有困難的孩子對推理說明類似的題目在解題過程中出現亂、繁等現象（個別學生甚至無法下手）.課后要根據實際情況及時進行補差補缺，爭取不讓一個孩子掉對.《5.1.1相交線》導學案一【學習目標】1、經歷觀察、推理、交流等過程，了解鄰補角和對頂角的概念，2、掌握鄰補角、對頂角的性質；【學習過程】環節一：復習引入1、復習提問：若∠1和∠2互余，則________________若∠1和∠2互補，則________________2、畫圖：作直線AB、CD相交于點O3、探究新知1A1ACBDO234所形成的角分類位置關系大小關系∠1和∠2,∠2和∠___∠__和∠__,∠__和∠__∠1和∠3,∠__和∠__歸納：有一條公共邊,而且另一邊互為反向延長線的兩個角叫做互為________。如圖中的______和_______如果兩個角有一個公共頂點,而且一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線,那么這兩個角叫做互為_________。如圖中的_________和__________3、想一想：如果改變∠1的大小,∠1和∠2還是鄰補角嗎？_______，它們的大小關系是____________。∠1和∠3還是對頂角嗎？_______，它們的大小關系是________結論：從數量上看，鄰補角__________，對頂角都_______________環節二：例題例：如圖，直線a，b相交，∠1=400，求∠2，∠3，∠4的度數解：∵直線a，b相交∴∠1+∠2=1800（鄰補角的定義）∴∠2=______________=__________________=__________∵直線a，b相交∴∠3=∠____=________∠4=∠____=_________（）環節三：練習A組1、如圖所示,∠1和∠2是對頂角的圖形是()ABCDABCD2、如圖1，AB與CD相交所成的四個角中,∠1的鄰補角是______，∠1的對頂角___.圖2圖2圖13、如圖2所示，直線AB和CD相交于點O，OE是一條射線．（1）寫出∠AOC的鄰補角：________________;（2）寫出∠COE的鄰補角：_________________．（3）寫出與∠BOC的鄰補角：_______________．4、如圖3所示,若∠1=25°,則∠2=_______,理由是____________∠3=______,理由是__________________∠4=_______.，理由是_______________圖4圖4圖3圖35、如圖4所示,已知直線AB,CD相交于O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,則∠AOC=_________，∠BOD=______.6、如圖5所示,直線AB和CD相交于點O,若∠AOD與∠BOC的和為236°,則∠AOD=________∠AOC=______________圖6圖6圖57、下列說法正確的有()①對頂角相等;②相等的角是對頂角;③若兩個角不相等,則這兩個角一定不是對頂角;④若兩個角不是對頂角,則這兩個角不相等.A.1個B.2個C.3個D.4個8、如圖6所示,直線AB,CD,EF相交于點O,則∠AOD的對頂角是_________,∠AOC的鄰補角是_________;若∠AOC=50°,則∠BOD=______,∠COB=_______.9、如圖6所示,三條直線AB,CD,EF相交于一點O,則∠AOE+∠DOB+∠COF等于()A.150°B.180°C.210°D.120°10、如圖7，AB,CD,EF交于點O,∠1=20°,∠BOC=80°,求∠2的度數.圖7圖7圖8圖811、如圖8,AB,CD相交于點O,OE平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE的度數.13、如圖9所示,直線AB,CD相交于點O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成兩部分,且∠BOE:∠EOD=2:3,則∠EOD=________.圖圖9《5.1.1相交線》導學案二【學習目標】1.了解兩條直線相交所構成的角，理解并掌握對頂角、鄰補角的概念和性質。2.理解對頂角性質的推導過程，并會用這個性質進行簡單的計算。3.通過辨別對頂角與鄰補角，培養識圖的能力。【學習重點】鄰補角和對頂角的概念及對頂角相等的性質。【學習難點】在較復雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角。【自主學習】1.閱讀課本P1圖片及文字，了解本章要學習哪些知識?應學會哪些數學方法?培養哪些良好習慣?,2.準備一張紙片和一把剪刀，用剪刀將紙片剪開,觀察剪紙過程,握緊把手時,隨著兩個把手之間的角逐漸變小,剪刀兩刀刃之間的角引發了什么變化?.如果改變用力方向,將兩個把手之間的角逐漸變大,剪刀兩刀刃之間的角又發生什么了變化?.3.如果把剪刀的構造看作是兩條相交的直線,剪紙過程就關系到兩條相交直線所成的角的問題,閱讀課本P2內容,探討兩條相交線所成的角有哪些?各有什么特征?【合作探究】1.畫直線AB、CD相交于點O,并說出圖中4個角,兩兩相配共能組成幾對角?各對角的位置關系如何?根據不同的位置怎么將它們分類?例如:（1）∠AOC和∠BOC有一條公共邊OC，它們的另一邊互為，稱這兩個角互為。用量角器量一量這兩個角的度數，會發現它們的數量關系是（2）∠AOC和∠BOD（有或沒有）公共邊，但∠AOC的兩邊分別是∠BOD兩邊的，稱這兩個角互為。用量角器量一量這兩個角的度數，會發現它們的數量關系是。2.根據觀察和度量完成下表:兩直線相交所形成的角分類位置關系數量關系3.用語言概括鄰補角、對頂角概念.的兩個角叫鄰補角。的兩個角叫對頂角。4.探究對頂角性質.在圖1中,∠AOC的鄰補角有兩個，是和,根據“同角的補角相等”,可以得出=,而這兩個角又是對頂角，由此得到對頂角性質:對頂角相等.注意：對頂角概念與對頂角性質不能混淆，對頂角的概念是確定兩角的位置關系,對頂角性質是確定為對頂角的兩角的數量關系.你能利用“對頂角相等”這條性質解釋剪刀剪紙過程中所看到的現象嗎？【鞏固運用】1.例題:如圖,直線a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度數.提示：未知角與已知角有什么關系？通過什么途徑去求這些未知角的度數？,規范地寫出求解過程.2.練習:完成課本P3練習.【反思總結】本節課你學到了什么？有什么收獲和體會？還有什么困惑？（小組交流，互助解決）【達標測評】1.如圖所示,∠1和∠2是對頂角的圖形有()A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖(1),三條直線AB,CD,EF相交于一點O,∠AOD的對頂角是_____,∠AOC的鄰補角是_______，若∠AOC=50°,則∠BOD=______,∠COB=_______，∠AOE+∠DOB+∠COF=_____。3.如圖，直線AB,CD相交于O,OE平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,求∠EOB的度數.4.如圖,直線a,b,c兩兩相交,∠1=2∠3,∠2=68°,求∠4的度數5.若4條不同的直線相交于一點,圖中共有幾對對頂角?若n條不同的直線相交于一點呢?《5.1.1相交線》同步練習一【課前預習】要點感知1有一條公共邊,另一邊__________,具有這種位置關系的兩個角互為鄰補角.預習練習1-1如圖，直線AB和CD相交于點O，則∠AOC的鄰補角是________.1-2如圖，點Ａ，Ｏ，Ｂ在同一直線上，已知∠BOC=50°，則∠AOC=________.要點感知2有一個公共頂點,并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的__________,具有這種位置關系的兩個角互為對頂角.預習練習2-1如圖，直線AB和CD相交于點O，則∠AOC的對頂角是_______.要點感知3對頂角__________.預習練習3-1如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOD=50°，則∠BOC=__________.【當堂訓練】知識點1認識對頂角和鄰補角1.下列圖形中，∠1與∠2是對頂角的是()2.下列說法中,正確的是()A.相等的兩個角是對頂角B.有一條公共邊的兩個角是鄰補角C.有公共頂點的兩個角是對頂角D.一條直線與端點在這條直線上的一條射線組成的兩個角是鄰補角3.如圖所示，AB與CD相交所成的四個角中，∠1的鄰補角是__________，∠1的對頂角是__________.知識點2鄰補角和對頂角的性質4.下面四個圖形中，∠1=∠2一定成立的是()5.如圖是一把剪刀,其中∠1=40°,則∠2=__________,其理由是____________________.6.在括號內填寫依據：如圖,因為直線a，b相交于點O,所以∠1+∠3＝180°(__________________)，∠1＝∠2(____________________).7.如圖，O是直線AB上一點，∠COB=30°，則∠1=__________.8.如圖所示，已知直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，則∠BOD=__________.【課后作業】9.如圖所示，直線AB和CD相交于點O，若∠AOD與∠BOC的和為236°，則∠AOC的度數為()A.62°B.118°C.72°D.59°10.如圖,三條直線l1，l2，l3相交于一點,則∠1+∠2+∠3等于()A.90°B.120°C.180°D.360°11.如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠DOB.若∠COB＝35°，則∠AOD等于()A.35°B.70°C.110°D.145°12.如圖，若∠1+∠3=180°，則圖中與∠1相等的角有__________個，與∠1互補的角有__________個.13.如圖，直線a，b，c兩兩相交，∠1=80°，∠2=2∠3，則∠4=_______.14.如圖所示，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOC，若∠AOD-∠DOB=60°，則∠EOB=________.15.如圖所示，AB，CD，EF交于點O，∠1=20°，∠2=60°，求∠BOC的度數.16.如圖所示，直線AB與CD相交于點O，OE平分∠AOD，∠BOC=80°，求∠BOD和∠AOE的度數.17.如圖所示,l1,l2,l3交于點O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4的度數.挑戰自我18.探究題：(1)三條直線相交,最少有__________個交點,最多有__________個交點,分別畫出圖形,并數出圖形中的對頂角和鄰補角的對數；(2)四條直線相交,最少有__________個交點,最多有__________個交點,分別畫出圖形,并數出圖形中的對頂角和鄰補角的對數；(3)依次類推,n條直線相交,最少有__________個交點,最多有__________個交點,對頂角有__________對,鄰補角有__________對.參考答案課前預習要點感知1互為反向延長線預習練習1-1∠AOD和∠BOC1-2130°要點感知2反向延長線預習練習2-1∠BOD要點感知3相等預習練習3-150°當堂訓練1.C2.D3.∠2，∠4∠34.B5.40°對頂角相等6.鄰補角互補對頂角相等7.150°8.35°課后作業9.A10.C11.C12.3413.140°14.150°15.因為∠BOF=∠2=60°，所以∠BOC=∠1+∠BOF=20°+60°=80°.16.因為∠BOD與∠BOC是鄰補角，∠BOC=80°，所以∠BOD=180°—∠BOC=100°.又因為∠AOD與∠BOC是對頂角，所以∠AOD=∠BOC=80°.又因為OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠BOC=40°.17.設∠1=∠2=x°,則∠3=8x°.由∠1+∠2+∠3=180°,得10x=180.解得x=18.所以∠1=∠2=18°.所以∠4=∠1+∠2=2x°=36°.18.(1)13(2)16(3)1n(n-1)2n(n-1)《5.1.1相交線》同步練習二一、選擇題:(每小題3分,共15分)1.如圖所示,∠1和∠2是對頂角的圖形有()A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖1所示,三條直線AB,CD,EF相交于一點O,則∠AOE+∠DOB+∠COF等于()A.150°B.180°C.210°D.120°(1)(2)(3)3.下列說法正確的有()①對頂角相等;②相等的角是對頂角;③若兩個角不相等,則這兩個角一定不是對頂角;④若兩個角不是對頂角,則這兩個角不相等.A.1個B.2個C.3個D.4個4.如圖2所示,直線AB和CD相交于點O,若∠AOD與∠BOC的和為236°,則∠AOC的度數為()A.62°B.118°C.72°D.59°5.如圖3所示,直線L1,L2,L3相交于一點,則下列答案中,全對的一組是()A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°;B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°;D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30°二、填空題:(每小題3分,共24分)6.如圖4所示,AB與CD相交所成的四個角中,∠1的鄰補角是______,∠1的對頂角___.(4)(5)(6)7.如圖4所示,若∠1=25°,則∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.8.如圖5所示,直線AB,CD,EF相交于點O,則∠AOD的對頂角是_____,∠AOC的鄰補角是_______;若∠AOC=50°,則∠BOD=______,∠COB=_______.9.如圖6所示,已知直線AB,CD相交于O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,則∠BOD=______.10.對頂角的性質是______________________.11.如圖7所示,直線AB,CD相交于點O,若∠1-∠2=70,則∠BOD=_____,∠2=____.(7)(8)(9)12.如圖8所示,直線AB,CD相交于點O,OE平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,則∠EOB=______________.13.如圖9所示,直線AB,CD相交于點O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成兩部分,

且∠BOE:∠EOD=2:3,則∠EOD=________.三、解答題:(共61分)14.（7分）如圖所示,AB,CD,EF交于點O,∠1=20°,∠BOC=80°,求∠2的度數.15.（10分）如圖所示,L1,L2,L3交于點O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度數.16.（10分）如圖所示,AB,CD相交于點O,OE平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE的

度數.17.（10分）如圖所示,直線AB與CD相交于點O,∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD的度數.18.（12分）如圖