第11講分類加法計數原理與分步乘法計數原理【【考點目錄】【【知識梳理】知識點1分類加法計數原理與分步乘法計數原理(1)分類加法計數原理①定義：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.②拓展：完成一件事，如果有n類方案，且：第1類方案中有m1種不同的方法，第2類方案中有m2種不同的方法，…，第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.(2)分步乘法計數原理①定義：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.②拓展：完成一件事，如果需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.知識點2解答計數應用問題的總體思路根據完成事件所需的過程，對事件進行整體分類，確定可分為幾大類，整體分類以后，再確定在每類中完成事件要分幾個步驟，這些問題都弄清楚了，就可以根據兩個基本原理解決問題了.此外，還要掌握一些非常規計數方法，如：①枚舉法：將各種情況一一列舉出來，它適用于種數較少且計數對象不規律的情況；②轉換法：轉換問題的角度或轉換成其他已知問題；③間接法：若用直接法比較復雜，難以計數，則可考慮利用正難則反的策略，先計算其反面情形，再用總數減去即得.【【考點剖析】考點一分類加法計數原理1．（2023春·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學校考階段練習）某校開設A類選修課4門,B類選修課3門,一同學從中選1門,則該同學的不同選法共有（

）A．7種 B．12種 C．4種 D．3種2．（2023秋·江蘇·高二校聯考階段練習）某高中為高一學生提供四門課外選修課：數學史?物理模型化思維?英語經典閱讀?《紅樓夢》人物角色分析.要求每個學生選且只能選一門課程.若甲只選英語經典閱讀，乙只選數學史或物理模型化思維，學生丙?丁任意選，這四名學生選擇后，恰好選了其中三門課程，則他們選課方式的可能情況有___________種.3．（2023春·遼寧葫蘆島·高二校聯考期中）某學校開設4門球類運動課程、5門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學生學習，某位學生任選1門課程學習，則不同的選法共有（

）A．40種 B．20種 C．15種 D．11種4．（2023·高二課時練習）我們把各位數字之和為6的四位數稱為“六合數”（如2130是“六合數”），則其中首位為2的“六合數”共有（

）．A．18個 B．15個 C．12個 D．9個5．（2023春·上海嘉定·高二校考期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若滿足|a－b|≤1，則稱a，b“心有靈犀”．則a，b“心有靈犀”的情形共有_______．6．（2023·高二單元測試）若一個、均為非負整數的有序數對，在做的加法時，各位均不進位，則稱為“簡單的有序實數對”，稱為有序實數對之值，則值為2004的“簡單的有序實數對”的個數是（

）．A．10 B．15 C．20 D．257．（2023秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）如圖所示，玩具計數算盤的三檔上各有7個算珠，現將每檔算珠分為左右兩部分，左側的每個算珠表示數2，右側的每個算珠表示數1（允許一側無珠），記上、中、下三檔的數字和分別為.若成等差數列，則不同的分珠計數法有________種.考點二分步乘法計數原理8．（2023秋·山東聊城·高二山東聊城一中校考期中）全國中學生學科競賽包含數學、物理、化學、生物、信息5個學科，4名同學欲報名參賽，每人必選且只能選擇1個學科參加競賽，則不同的報名方法種數是_______________．9．（2023秋·上海閔行·高二校考期末）現有5名同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數是（

）A． B． C．20 D．910．（2023春·遼寧沈陽·高二同澤高中校考階段練習）將4封信投入3個不同郵筒，且4封信全部投完，不同的投法有______種11．（2023秋·福建·高二福建師大附中校考期中）四名師范生從A，B，C三所學校中任選一所進行教學實習，其中A學校必有師范生去，則不同的選法方案有（

）A．37種 B．65種 C．96種 D．108種12．（2023春·遼寧沈陽·高二同澤高中校考階段練習）為了豐富學生的課余生活，某學校開設了籃球、書法、美術、吉他、舞蹈、擊劍共六門活動課程，甲、乙、丙3名同學從中各自任選一門活動課程參加，則這3名學生所選活動課程不全相同的選法有______種考點三兩個計數原理的綜合實際問題的計數問題13．（2023秋·河北·高二河北省文安縣第一中學校考期末）如圖，要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數為（

）A．5 B．7 C．8 D．1214．（2023秋·山東菏澤·高二統考期中）如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經過乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數為（

）A．3 B．6 C．7 D．815．（2023·高二課時練習）三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有______種．16．【多選】（2023秋·河北石家莊·高二校考階段練習）如圖，線路從到之間有五個連接點，若連接點斷開，可能導致線路不通，現發現之間線路不通，則下列判斷正確的是（

）A．至多三個斷點的有種 B．至多三個斷點的有種C．共有種 D．共有種代數中的計數問題17．（2023·高二課時練習）從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字中任取兩個，其中一個作為底數，另一個作為真數，則可以得到不同對數值的個數為（

）A．64 B．56 C．53 D．5118．【多選】（2023·高二課時練習）已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別記作a，b．則下列說法正確的有（

）A．表示不同的正數的個數是6B．表示不同的比1小的數的個數是6C．（a，b）表示x軸上方不同的點的個數是6D．（a，b）表示y軸右側不同的點的個數是619．（2023·高二課時練習）對于自然數作豎式運算時不進位，那么稱是“良數”，如32是“良數”，由于計算時不進位，23是“良數”，由于計算時要進位，那么小于1000的“良數”有A．36個 B．39個 C．48個 D．64個幾何計數問題20．（2023秋·全國·高二期末）從正十五邊形的頂點中選出3個構成鈍角三角形，則不同的選法有（

）.A．105種 B．225種 C．315種 D．420種21．（2023秋·全國·高二期末）過三棱柱中任意兩個頂點連線作直線，在所有這些直線連線中構成異面直線的對數為（

）A．18 B．30 C．36 D．5422．（2023秋·全國·高二期末）從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（

）.A．20種 B．16種 C．12種 D．8種23．（2023秋·山東聊城·高二校考期中）從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中相互平行或相互垂直的有（

）A．24對 B．16對 C．18對 D．48對24．（2023春·上海寶山·高二上海交大附中校考期中）正方體的8個頂點中，選取4個共面的頂點，有______種不同選法數字排列問題25．（2023·高二課時練習）已知集合，，從A中取一個數作為十位數字，從B中取一個數作為個位數字，能組成______個不同的兩位數，能組成______個十位數字小于個位數字的兩位數．26．（2023·高二課時練習）由2、3、5、7組成無重復數字的四位數，求：(1)這些數的數字和；(2)這些數的和．27．（2023·高二課時練習）由0、1、2、3、4、5這6個數字可以組成______個沒有重復數字的三位偶數.涂色問題28．（2023春·遼寧葫蘆島·高二校聯考期中）如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區域涂色，若相鄰的區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有___________種．29．（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二中校考期中）如圖所示的五個區城中，現要求在五個區域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個區域只涂一種顏色，相鄰區城所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為________（用數字作答）．30．（2023春·寧夏銀川·高二校考階段練習）用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種31．（2023·高二課時練習）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，如圖所示．現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種【【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·廣西百色·高二統考期末）某學校推出了《植物栽培》《手工編織》《實用木工》《實用電工》4門校本勞動選修課程，要求每個學生從中任選2門進行學習，則甲?乙兩名同學的選課中恰有一門課程相同的選法為（

）A．16 B．24 C．12 D．362．（2023秋·河北石家莊·高二統考期末）7月3日，甲、乙兩人從邢臺各自乘坐火車到石家莊，當天從刑臺到石家莊有11個車次，其中有5個車次的發車時間為凌晨1點到凌晨5點，有6個車次的發車時間為早上7點到晚上6點.已知甲選擇凌晨6點以后出發的車次，乙選擇凌晨1點到晚上6點出發的車次，則兩人車次的不同選擇共有（

）A．11種 B．36種 C．66種 D．121種3．（2023秋·湖南長沙·高二長沙縣實驗中學統考期末）從數字1，2，3，4中取出3個數字（允許重復），組成三位數，各位數字之和等于6，則這樣的三位數的個數為（

）A．7 B．9 C．10 D．134．（2023秋·陜西咸陽·高二校考期末）將6封信投入4個郵筒，且6封信全部投完，不同的投法有（

）A．種 B．種 C．4種 D．24科5．（2023秋·河北保定·高二統考期末）在如圖所示的5個區域內種植花卉，每個區域種植1種花卉，且相鄰區域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數是（

）A．1440 B．720 C．1920 D．960二、多選題6．（2023秋·江蘇淮安·高二統考期末）高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，下列說法正確的有（

）A．如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種B．如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有25種C．如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有60種D．如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種7．（2023秋·湖南長沙·高二周南中學校考期末）現有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（

）A．從中選出2個球，正好一紅一黃，有9種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法三、填空題8．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高二統考期末）學習涂色能鍛煉手眼協調能力，更能提高審美能力.現有四種不同的顏色：湖藍色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四個區域涂色，要求相鄰區域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區域內，則共有______種不同的涂色方法.9．（2023秋·山東聊城·高二統考期末）數字2022具有這樣的性質：它是6的倍數并且各位數字之和為6，稱這種正整數為“吉祥數”.在所有的三位正整數中，“吉祥數”的個數為___________.10．（2023秋·江蘇徐州·高二統考期末）由1，2，3，4，5，6組成各位數字既不全相同，也不兩兩互異的四位數，要求，則這樣的四位數的個數為___________.11