第二章控制系統的數學模型本章主要內容：2-1拉普拉斯變換2-2控制系統的時域數學模型2-3控制系統的復域數學模型2-4控制系統結構圖和信號流圖2-5控制系統的傳遞函數2—1拉普拉斯變換拉普拉斯（laplace）變換簡稱為拉氏變換，是一種用來簡化常系數微分方程求解過程的運算方法。一、定義若將實變量t的函數f(t)，其中s=σ+jω，s是一個復變量，在0到∞之間對t進行積分，就得到一個新的函數F(s)。F(s)稱為f(t)的拉氏變換，可用符號L[f(t)]表示。常稱F(s)為f(t)的變換函數或象函數，而f(t)為F(s)的原函數。例1、求單位階躍函數的拉氏變換解：二、拉氏變換定理（1）線性定理。兩個函數和的拉氏變換等于兩個函數拉氏變換的和，即：函數放大倍的拉氏變換等于函數拉氏變換的倍，即：（2）微分性質若:當：（2）積分性質若:當初始條件為0，則有：（4）位移定理若:（5）初值定理若:（6）終值定理若:例2、求下列函數的拉氏變換。

（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）二、拉氏反變換的形式，則和為F(S)的零點和極點。式子可以寫成：1、只包含互異極點的反變換。式中，為常數，2、包含重極點時的反變換。展開部分分式：引言定義：描述控制系統輸入和輸出之間關系的數學表達式即為數學模型。用途：

1）分析控制系統

2）設計控制系統2-2控制系統的時域數學模型

為什么要建立數學模型？對于控制系統的性能，只是定性地了解系統的工作原理和大致的運動過程是不夠的，希望能夠從理論上對系統的性能進行定量的分析和計算。要做到這一點，首先要建立系統的數學模型。它是分析和設計系統的依據。■表達形式：線性系統傳遞函數微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換時域：微分方程、差分方程、狀態方程復域：傳遞函數、動態結構圖、信號流圖頻域：頻率特性分析法分析法是對組成系統各環節的運動機理進行分析，根據各環節所遵循的物理學定律、化學定律等來列寫系統的微分方程。例如機械系統的牛頓定律、電氣系統的基爾霍夫定律和熱力學系統中的熱力學定律等。

實驗法實驗法是根據實際系統的輸入輸出數據，用適當的數學模型去擬合這些數據，這種方法稱為系統辨識。

建立控制系統數學模型的方法：一、系統微分方程的建立步驟：

1、確定系統的輸入量與輸出量

2、為建立入—出的關系，尋找中間變量

3、總變量數目為n,則需列寫n-1個獨立方程（根據物理規律列寫）

4、從n-1個獨立方程中消去各中間變量，從而建立入-出的關系。例1電學系統其中：電阻為R，電感為L，電容為C。解：系統的微分方程：+-)(tur)(tucRLCi+-1、確立入-出，入-Ur(t),出—Uc(t)；

2、中間變量i(t)

3、n=3，需列寫n-1=2個獨立方程

4、消去中間變量i(t),整理后得：

—線性定常二階微分方程式kF(t)mfy(t)例2、設一彈簧、質量塊、阻尼器組成的系統如圖所示，當外力F(t)作用于系統時，系統將產生運動。試寫出外力F(t)與質量塊的位移y(t)之間的微分方程。解：1、確立入-出，入-F(t),出—y(t)；

2、根據牛頓定律，∑F=ma；移項后，可得到：

—線性定常二階微分方程式對照比較：相似系統相似量：二、線性系統的特性線性系統是由線性元件組成的系統，該系統的運動方程式可由線性微分方程描述，即：1、齊次性2、疊加性三、線性定常微分方程的解例3、在例1中，若已知L＝1H，C＝IF，R＝lΩ，且電容上初始電壓uo(0)=0.1V，初始電流i(0)=0.1A，電源電壓ui(t)=1V。試求電路突然接通電源時，電容電壓uo(t)的變化規律。解在例1中得網絡微分方程為對網絡微分方程兩邊求拉氏變換并代入已知數據，經整理后有在上式中，前兩項是由網絡輸入電壓產生的輸出分量，與初始條件無關，故稱為零狀態響應；后一項則是由初始條件產生的輸出分量，與輸入電壓無關，故稱為零輸入響應，它們統稱為網絡的單位階躍響應。用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過程可歸結如下：考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，將微分方程轉換為變量s的代數方程；由代數方程求出輸出量拉氏變換函數的表達式；對輸出量拉氏變換函數求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。四、非線性微分方程的線性化y=f(x)y0x0xy小偏差線性化示意圖例如，設非線性函數y=f(x)如圖所示，其輸入量為x，輸出量為y，如果在給定工作點y0=f(x0)處各階導數均存在，則在y0=f(x0)附近將y展開成泰勒級數：如果偏差Δx=x-x0很小，則可忽略級數中高階無窮小項，上式可寫為K表示y=f(x)曲線在(x0,y0)處切線的斜率。因此非線性函數在工作點處可以用該點的切線方程線性化。在處理線性化問題時，需要注意以下幾點：

1.上述的線性化是針對元件的某一工作點進行的，工作點不同，得到的線性化方程的系數也將不同。因此在線性化時必須確定元件的工作點。

2.在線性化過程中，略去了泰勒級數中二階以上的無窮小項，如果實際系統中輸入量變化范圍較大時，采用小偏差法建立線性模型必然會帶來較大的誤差。

3.如果描述非線性特性的函數具有間斷點，折斷點或非單值關系而無法作線性化處理時，則控制系統只能應用非線性理論來研究。

4.線性化后的微分方程通常是增量方程，在實用上為了簡便通常直接采用y和x來表示增量。2-3

控制系統的復域數學模型一、傳遞函數的定義和性質線性定常系統在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統的傳遞函數。若線性定常系統的微分方程為在初始條件為零時，對上式進行拉氏變換，得：根據傳遞函數的定義，該線性定常系統的傳遞函數為傳遞函數的性質：1.傳遞函數表示系統傳遞輸入信號的能力，反映系統本身的動態特性，它只與系統的結構和參數有關，與輸入信號和初始條件無關。2.傳遞函數是復變量s的有理分式函數，其分子多項式的次數m低于或等于分母多項式的次數n，即m≤n。且系數均為實數。3.傳遞函數與微分方程有相通性。4.傳遞函數的拉氏反變換是脈沖響應g(t)。例3、求網絡的傳遞函數。解：引進中間變量：列寫四個獨立方程：消去中間變量，可得：二、傳遞函數的零點和極點二、典型環節的傳遞函數一個物理系統是由許多元件組合而成的，雖然元件的結構和作用原理多種多樣，但若考察其數學模型，卻可以劃分成為數不多的幾種基本類型，稱之為典型環節。這些環節是比例環節、慣性環節、積分環節、振蕩環節、微分環節和滯后環節。1、比例環節式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量，K為放大系數（或增）。比例環節的傳遞函數為：比例環節的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量的變化，下圖給出比例環節的實例。結構圖：KAi0R0R1i1uruc+-2.慣性環節慣性環節又稱非周期環節，其輸入、輸出間的微分方程為結構圖：K/Ts+1RCuruc3.積分環節積分環節的微分方程是而T稱為積分時間常數。1/Ts4.微分環節理想微分環節的微分方程為式中為微分時間常數。τsCARuruc+-CARuruc+-RCuruc5.振蕩環節振蕩環節的微分方程是式中T為時間常數，為阻尼比，對振蕩環節有

0≤<1

當輸入為單位階躍函數時，可用拉氏變換求得環節的輸出響應，如右圖所示c(t)10t6.滯后環節當輸入作用到環節以后，其輸出量要等待一段時間后，才能復現輸入信號，在時間0到的時間內，輸出量為零，這種具有延時效應的環節稱為純滯后環節。滯后環節的數學表達式為:)()()()()(==-=-sesRsCsGtrtctt傳遞函數為r(t)1t0tc(t)10

上述各典型環節，是從數學模型的角度來劃分的。它們是系統傳遞函數的最基本的構成因子。在和實際元件相聯系時，應注意以下幾點：⑴系統的典型環節是按數學模型的共性來劃分的，他與系統中使用的元件并非都是一一對應的，一個元件的數學模型可能是若干個典型環節的數學模型的組合。而若干個元件的數學模型的組合也可能就是一個典型的數學模型。⑵同一裝置（元件），如果選取的輸入、輸出量不同，它可以成為不同的典型環節。如直流電動機以電樞電壓為輸入、轉速為輸出時，它是一個二階振蕩環節。但若以電樞電流為輸入、轉速為輸出時，它卻是一個積分環節。⑶在分析和設計系統時，將被控對象（或系統）的數學模型進行分解，就可以了解它是由哪些典型環節所組成的。因而，掌握典型環節的動態特性將有助于對系統動態特性的分析研究。⑷典型環節的概念只適用于能夠用線性定常數學模型描述的系統。

控制系統的結構圖是描述系統各組成元部件之間信號傳遞關系的數學圖形，它表示系統中各變量所進行的數學運算和輸入、輸出之間的因果關系。采用結構圖，不僅能方便地求取復雜系統的傳遞函數，而且能形象直觀地表明信號在系統或元件中的傳遞過程。2-3

控制系統的結構圖與信號流圖一、結構圖的基本組成1.信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，且信號只能單向傳輸。3.比較點：表示兩個或多個信號在此代數相加。其中“+”號表示相加，“-”表示相減。2.信號引出點：表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數值和性質上完全相同。4、方框（環節）：表示對信號進行數學變換。框內寫入傳遞函數，方框的輸出等于方框的輸入與傳遞函數的乘積。G(s)二、結構圖的繪制1、首先寫出各個環節的傳遞函數；2、繪制各個環節的結構圖；3、按照信號傳遞的方向把各個方框依次連接起來。例1、繪制網絡的結構圖CR1R2解：引進中間變量：列寫四個獨立方程：1/R1Ur(s)Uc(s)I1(s)_I2(s)R1CsI1(s)I2(s)I1(s)I(s)R2I(s)Uc(s)根據信號傳遞的方向，用信號線將各個方框依次連接起來：1/R1Ur(s)Uc(s)I1(s)_R1CsI2(s)I1(s)I(s)R2Uc(s)例2、在如圖濾波電路中，輸入電壓為ur，輸出電壓為uc，試畫出其結構圖。

urR1R2ucC2C1i1i21/R1Ur(s)Uc1(s)I1(s)_1/c1s_I2(s)I1(s)Uc1(s)1/R2Uc1(s)Uc(s)I2(s)1/c2sI2(s)Uc(s)1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)---三、結構圖的等效和簡化結構圖變換應按等效原理進行，所謂等效，就是對結構圖的任一部分進行變換時，變換前、后其輸入、輸出總的數學關系應保持不變。1、典型連接的等效傳遞函數（1）串聯前一環節的輸出量是后一環節的輸入量的連接稱為環節的串聯。如下圖所示，各環節的傳遞關系為：G1(s)G2(s)G3(s)R(s)C1(s)C2(s)C(s)串聯連接的等效傳遞函數等于各個傳遞函數的乘積。寫成一般形式為：（2）并聯輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯。如下圖所示，三個環節的輸入部分都為r(t)，而輸出分別為G1(s)G2(s)G3(s)C2(s)C3(s)+++C(s)R(s)C1(s)并聯連接的等效傳遞函數等于各個傳遞函數的代數和。寫成一般形式為：（3）反饋連接如果將系統或環節的輸出反饋到輸入端與輸入信號進行比較，就構成了反饋連接，如下圖所示。G(s)H(s)E(s)B(s)±R(s)C(s)閉環傳遞函數為：G(s)H(s)E(s)B(s)±R(s)C(s)開環傳遞函數為：前向通路：從輸入到輸出每個環節只經過一次的通路。前向通路經過各個環節傳遞函數的乘積，就稱為前向通路傳遞函數。G(s)H(s)E(s)B(s)±R(s)C(s)例3、化簡單回路系統解：例4、化簡單回路無交錯系統G1G2G3G4G5G6--++R(s)C(s)G1G6R(s)-C(s)解：G1G2G3G4+G5G6R(s)--C(s)G6R(s)C(s)-2、變位變換（1）引出點前移要乘（2）引出點后移要除（3）比較點前移要除（4）比較點后移要乘R1(s)R2(s)R3(s)--C(s)R2(s)R1(s)R3(s)--C(s)R1(s)R3(s)R2(s)--C(s)（5）交換或合并比較點（6）負號在支路上的移動G(s)H(s)E(s)B(s)－R(s)C(s)G(s)H(s)E(s)B(s)＋R(s)C(s)－1例5、化簡多回路有交錯系統解：G1G2G3G4G5G6G7G1G2G3G4G5G6G7

1/G4G1G2G6G7

1/G4G1G7負反饋時取“＋”，正反饋時取“－”。例

結構圖化簡例

結構圖化簡(1)結構圖化簡方案ⅠH1H2G1G2G3G4(-)(-)RYRH2+G3H1G1G2G3H2G4(-)Y(a)G4G3H2YR(b)G4YR(c)(3)結構圖化簡方案Ⅲ(2)結構圖化簡方案ⅡH1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(-)RY(a)H2/G3G4RY(b)G1G2G3H1/G1G4RY(-)(a)G4G1G2G3YR(-)(b)信號流圖中常用的名詞術語：

源節點（輸入節點）：在源節點上，只有信號輸出支路而沒有信號輸入的支路，它一般代表系統的輸入變量。

信號流圖的基本性質：

1)

節點標志系統的變量，節點標志的變量是所有流向該節點信號的代數和，用“O”表示；

2)

信號在支路上沿箭頭單向傳遞；

3)

支路相當于乘法器，信號流經支路時，被乘以支路增益而變成另一信號；

4)對一個給定系統，信號流圖不是唯一的。1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)

R21/R1

x1信號流圖及梅遜公式

信號流圖是由節點和支路組成的一種信號傳遞網絡。阱節點（輸出節點）：在阱節點上，只有信號輸入的支路而沒有信號輸出的支路，它一般代表系統的輸出變量。混合節點：在混合節點上，既有信號輸出的支路而又有信號輸入的支路。二、信號流圖的繪制

1.由系統微分方程繪制信號流圖

1）將微分方程通過拉氏變換，得到S的代數方程；

2）每個變量指定一個節點；

3）將方程按照變量的因果關系排列；

4）連接各節點，并標明支路增益。

前向通路：信號從輸入節點到輸出節點傳遞時，每個節點只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益，一般用Pk表示。

回路：起點和終點在同一節點，而且信號通過每一節點不多于一次的閉合通路稱回路。回路上各支路增益之乘積稱回路增益，一般用La表示。

不接觸回路：回路之間沒有公共節點時，稱它們為不接觸回路。上式拉氏變換C1

uiR1R2

uoi1i例信號傳遞流程：Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s)uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1

1)用小圓圈標出傳遞的信號，得到節點。

2)用線段表示結構圖中的方框，用傳遞函數代表支路增益。注意信號流圖的節點只表示變量的相加。G(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(-)(a)結構圖(節點)C(s)R(s)G(s)(節點)(支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s)-H(s)Y(s)D(s)V(s)11(b)信號流圖2.由系統結構圖繪制信號流圖例

繪制結構圖對應的信號流圖(1)。Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)例

繪制結構圖對應的信號流圖。

特征式：

—所有單獨回路增益之和；

—在所有互不接觸的單獨回路中，每次取其中兩個回路增益乘積和；

—在所有互不接觸的單獨回路中，每次取其中三個回路增益的乘積之和。梅遜公式為：

—余因子式，即在信號流圖中，把與第K條前向通路相接觸的回路去掉以后的Δ值。三、梅遜增益公式其中：n—從輸入節點到輸出節點之前向通路總數。

Pk—從輸入節點到輸出節點的第k條前向通路總增益。前向通路有兩條：，沒有與之不接觸的回路：，與所有回路不接觸：