第第頁第07講：相似【考點歸納】考點一：比例的性質考點二：相似圖形和性質考點三：平行線分線段成比例定理考點四：相似三角形的判定考點五：相似三角形的性質考點六：相似三角形的實際應用考點七：位似考點八：相似三角形的動點問題考點九：相似三角形的綜合問題【知識歸納】1.相似三角形：對應角相等，對應邊的比相等的兩個三角形叫做相似三角形。對應邊的比叫做相似比。2.相似三角形的判定方法:根據相似圖形的特征來判斷。（對應邊的比相等，對應角相等）

eq\o\ac(○,1).平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似；（預備定理）

eq\o\ac(○,2).如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似；（“角角”）

eq\o\ac(○,3.)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且相應的夾角相等,那么這兩個三角形相似；（“邊比角邊比”）

eq\o\ac(○,4.)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似；（“邊邊邊比”）3.直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。（“斜邊直角邊比”）

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。4.相似三角形的性質:eq\o\ac(○,1).相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比。

eq\o\ac(○,2.)相似三角形周長的比等于相似比。

eq\o\ac(○,3).相似三角形面積的比等于相似比的平方。5、（1）位似圖形的概念：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．（2）位似圖形的性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比．【題型歸納】題型一：比例的性質1．（2023上·湖南株洲·九年級校考期末）已知，則的值為(

)A． B． C．2 D．【答案】B【分析】本題考查比例的性質，分式的約分等知識，設，求出a、b、c，再代入中約分即可得解，運用“設k法”求解是解題的關鍵．【詳解】解：設，則，∴，故選：B．2．（2023下·安徽安慶·九年級統考期末）已知，則（

）A．?3 B．3 C． D．【答案】C【分析】由，可得，再代入計算即可．【詳解】解：∵∴，∴；故選C．【點睛】本題考查的是比例的基本性質，熟練地把比例式化為等積式是解本題的關鍵．3．（2022上·廣東佛山·九年級校考期末）已知，若，則（

）A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A【分析】利用等比性質計算即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，故選A．題型二：相似圖形和性質4．（2023上·山西陽泉·九年級統考期末）學校藝術節上，同學們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的邊框做成藝術墻．下面是王亮從藝術墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內、外邊框的圖形不一定相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據圖形相似的概念進行解答即可．【詳解】解：兩個矩形不一定相似，但兩個正方形、兩個等邊三角形及兩個圓一定相似，故選：A．【點睛】本題考查了兩個圖形的相似，掌握相似多邊形的概念（即邊數相同的兩個多邊形，如果對應角相等，對應邊成比例）是解題的關鍵．5．（2023上·山東濰坊·九年級統考期中）如圖，把矩形對折，折痕為，如果矩形和矩形相似，則它們的相似比為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】此題主要考查了相似多邊形的對應邊的比相等，設矩形的長，寬，根據相似多邊形對應邊的比相等，即可求得．【詳解】解：設矩形的長，寬，則，矩形與矩形相似，，即，即．．故選：A．6．（2023上·浙江嘉興·九年級統考期末）如圖，四邊形與四邊形是位似圖形，點O是位似中心．若，四邊形的面積是25，則四邊形的面積是（

）A．4 B．10 C． D．【答案】A【分析】根據題意可得四邊形與四邊形相似比為，求出，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形與四邊形是位似圖形，，∴四邊形與四邊形相似比為，∴，∵四邊形的面積是25，∴四邊形的面積為，故A正確．故選：A．題型三：平行線分線段成比例定理7．（2023上·陜西渭南·九年級校考期末）如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點和，已知，若，則的長為（

）

A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，根據題意可得，設，則，由此即可求解，掌握平行線的分線段成比例，比例的性質，解方程的方法是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意可得，，設，則，∴，解得，，∴的長為，故選：．8．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統考期末）如圖，，與相交于點，且，，，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．【詳解】解：A．，則，正確，故本選項不符合題意；B．，則，正確，故本選項不符合題意；C．，則，錯誤，故本選項符合題意；D．，則，正確，故本選項不符合題意；故選：C．9．（2023上·湖南婁底·九年級統考期末）如圖所示，直線，另兩條直線分別交于點及點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理得到，進而求出，再根據線段之間的關系逐一判斷即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴，，∴，∴四個選項中只有A選項符合題意，故選A．題型四：相似三角形的判定10．（2023上·吉林·九年級統考期末）如圖，是的邊上一點，則能得到的條件為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據相似三角形的判定方法：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，判斷即可．【詳解】解：由圖可得：，，即時，．故選：A．11．（2023上·陜西榆林·九年級校考期末）如圖，在中，點P在邊上，則在下列條件中，不能證明相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了相似三角形的判定：有兩組角相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，熟記判定定理是解題的關鍵．【詳解】解：A．當時，，，故A不符合題意；B．當時，，，故B不符合題意；C．當時，即，而，∴所以不能判定和相似，故C符合題意．D．當時，∵，，故D不符合題意．故選：C．12．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級統考期末）如圖，在中，是邊上的點，下列條件中不能判定和相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似，判定A、B選項；根據兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，判定C、D選項．【詳解】解：A、∵，，∴，故此選項不符合題意；B、∵，，∴，故此選項不符合題意；C、∵，，∴不能判定和相似，故此選項符合題意；D、∵，，∴，故此選項不符合題意；故選：C．題型五：相似三角形的性質13．（2023上·海南海口·九年級校聯考期末）如圖，在中，，，點D是邊上的一個動點，點E在上，點D在運動過程中始終保持，當時，則的長為（）

A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】先利用等腰三角形的性質可得，再利用等量代換可得，然后利用兩角相等的兩個三角形的相似證明，從而利用相似三角形的性質可求出的長，進而求出的長．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．14．（2022上·廣西百色·九年級統考期末）如下圖所示，在△ABC中，點D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結論一定正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得解．【詳解】解：∵△ABC∽△ADB，∴，∴AB2=AC?AD．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握對應頂點的字母放在對應位置上并準確確定出對應邊是解題的關鍵．15．（2022下·山東威海·八年級統考期末）如圖，矩形與矩形是位似圖形，點是位似中心．若點的坐標為，點的橫坐標為，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由四邊形是矩形，點的坐標為可得，由矩形與矩形是位似圖形可得，，從而得到，，由相似三角形的性質可得，，進行計算可得，從而得到答案．【詳解】解：四邊形是矩形，點的坐標為，，矩形與矩形是位似圖形，，，，，，，點的橫坐標為，四邊形是矩形，，即，，解得：，，故選：B．題型六：相似三角形的實際應用16．（2023上·遼寧沈陽·九年級統考期末）大約在兩千四五百年前，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗，并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質：依題意，，根據物距為，像距為，得，即可作答．【詳解】解：如圖：依題意，∵物距為，像距為∴∵蠟燭火焰倒立的像的高度是∴∴故選：A17．（2023上·山西太原·九年級期末）如圖，為了確定路燈燈泡的位置，小明與小亮選取了長1米的標桿，小明測得標桿在路燈下的影長米，從點B出發沿著所在直線行走7.5米時恰好在路燈的正下方．據此可得，路燈燈泡離地面的距離為（

）A．5.6米 B．6米 C．6.4米 D．7.5米【答案】B【分析】如圖，為燈泡離地面的高度，證明，進行求解即可．【詳解】解：如圖，為燈泡離地面的高度，由題意，得：，∵，∴，∴∴，解得（米）；所以路燈燈泡離地面的距離為6m．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的應用．解題的關鍵是證明三角形相似．18．（2022上·湖南衡陽·九年級統考期末）如圖，為了測量山坡的護坡石壩高，把一根長為的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿上長為時，它離地面的高度為，則壩高為（）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據，可得，可得，進而得出即可．【詳解】解：如圖，，則，∴，，即，解得，故選C．題型七：位似19．（2023上·山西長治·九年級校聯考期末）如圖，老師上課時用投影儀將四邊形投影到屏幕上，占O為投影的光源，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了位似變換．熟練掌握位似的判定與性質是解題的關鍵．由題意知，四邊形與四邊形位似，O為位似中心，根據，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，由題意知，四邊形與四邊形位似，O為位似中心，∴，故選：A．20．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，與是以點O為位似中心的位似圖形，若，的周長為15，則的周長為（

）

A．10 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據位似圖形的性質，得到，根據得到相似比為：，再結合三角形的周長比等于相似比即可得到答案．【詳解】解：∵與是以原點O為位似中心的位似圖形∴的周長為15，故選B．【點睛】本題考查了相似圖形的性質，掌握位似圖形與相似圖形的關系，熟記相似圖形的性質是解決問題的關鍵．21．（2023上·福建泉州·九年級校考階段練習）如圖，已知與位似，位似中心為點O，且的面積等于面積的，則的值為（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是位似圖形的性質，根據位似圖形的面積比等于相似比的平方可得答案，熟記位似圖形的性質是解本題的關鍵.【詳解】解：∵與位似，位似中心為點O，且的面積等于面積的，∴，∴，∴；故選B題型八：相似三角形的動點問題22．（2022上·安徽馬鞍山·九年級校考期末）如圖，在鈍角三角形ABC中，，動點D從點A出發沿以的速度向點B運動，同時動點E從點C出發沿以的速度向點A運動，當以為頂點的三角形與相似時，運動時間是（）A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】如果以點A、D、E為頂點的三角形與相似，由于A與A對應，那么分兩種情況：①D與B對應；②D與C對應．根據相似三角形的性質分別作答．【詳解】解：兩點同時運動，設運動t秒時，以點A、D、E為頂點的三角形與相似，則①當D與B對應時，有，∴，∴，∴；②當D與C對應時，有，∴，∴，∴，∴當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是1.5秒或2.4秒，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．23．（2020·山西·校聯考一模）如圖，在中，，，點從點出發以1個單位長度/秒的速度向點運動，同時點從點出發以2個單位長度/秒的速度向點運動，其中一點到達另一點即停．當以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為（

）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不對【答案】C【分析】首先設秒鐘與以、、為頂點的三角形相似，則，，，然后分兩種情況當和當討論．【詳解】解：設運動時間為秒．，，，當，，即，解得；當，，即，解得，綜上所述，當以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為或，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，注意數形結合思想與分類討論思想．24．（2022上·河南鄭州·九年級鄭州中學校考期末）如圖，中，，，，點P從點A出發，以1cm/s的速度沿向點C運動，同時點Q從點A出發，以2cm/s的速度沿向點C運動，直到它們都到達點C為止．線段PQ的長度為y（cm），點P的運動時間為t（s），則y與t的函數圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據勾股定理可得，然后分兩段：當點Q在AB邊上時，，當點Q在BC邊上時，，分別求出函數關系式，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，根據題意得：點Q到達點B的時間是，到達點C的時間為，點P到達點C的時間為，當點Q在AB邊上時，，，如圖，過點Q作QD⊥AC于點D，則DQ∥BC，∴△ADQ∽△ACB，∴，∴，解得：，，∴，∴，即；當點Q在BC邊上時，，，，如圖，∴，，∴，即，綜上所述，y與t的函數關系式為，∴函數圖象第一段為過原點的直線的一部分，第二段為自左向右逐漸下降的線段．故選：A題型九：相似三角形的綜合問題25．（2022·浙江杭州·統考一模）如圖，△ABC中，點D，E分別是BC，AB上的點，CE，AD交于點F，BD＝AD，BE＝EC．

(1)求證：△ABD∽△CBE；(2)若CD＝CF，試求∠ABC的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，結合∠B＝∠B，可以得到；（2）設∠B＝x，則由（1）和已知條件可以得到關于x的方程，解方程即可得到問題解答．【詳解】（1）證明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE

∴∠BAD＝∠BCE而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE（2）解：設∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝

∴

∴即

【點睛】本題考查相似三角形的綜合問題，熟練掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性質、三角形內角和定理及方程思想方法的應用是解題關鍵．法的應用是解題關鍵．26．（2023上·陜西榆林·九年級校考期末）如圖，在中，，，點P為邊上一動點（不與點B，C重合），過點P作射線交于點M，使．

(1)求證：；(2)當P為中點時，求的值；(3)當時，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，熟知相似三角形的性質與判定條件是解題的關鍵.（1）先根據等邊對等角證明，再根據三角形外角的性質證明即可證明，即可得證；（2）先求出、的長，然后利用相似三角形的性質求解即可；（3）如圖所示，過點A作于D，先利用三線合一定理求出，由勾股定理得：，再根據相似三角形的性質得到，證明，求出，由勾股定理得：，即可求解.【詳解】（1）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，P為中點，∴，∵，∴，即，∴；（3）解：如圖所示，過點A作于D，

∵在中，，∴，∴由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴由勾股定理得：，∴；27．（2021·浙江寧波·統考模擬預測）定義：三角形內部有一小三角形與原三角形相似，其中小三角形的三個頂點在原三角形的三邊上（頂點可重合），則稱這兩個三角形是星相似三角形例如：如圖1，中，，和是星相似三角形．如圖2，是的中點，以為直徑畫圓，交，于點，，．（1）①若，求的長．②設，，試寫出與的函數關系式．（2）若，則與哪個三角形星相似，并證明．（3）在（2）的條件下，求的長．【答案】（1）①；②；（2）△CEG與△FEC星相似，證明見解析；（3）．【分析】（1）①利用勾股定理和等面積法即可求得CE，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD，在利用勾股定理即可求得DE；②證明△FOG∽△EDG，可得，再解直角三角形求得DE和FO，即可求得與的函數關系式；（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊對等角可得∠BCE=∠CGE，從而可證明△FEC∽△CEG，即△CEG與△FEC星相似；（3）可利用三角形外角的性質證明∠GCE=∠GDE，從而可得EC=ED=m，從而可得，，解直角三角形即可得出．【詳解】解：（1）①在Rt△ABC中，，，∴，∵D為AB的中點，∴，∵，在Rt△ABC中，，即，解得，∴；②連接OF，∵OF=OC，∴∠DCB=∠OFC，由①可得BD=CD，∴∠DCB=∠B，∴∠OFC=∠B，∴△FOG∽△EDG，∴，∵CB=x，∴，，，，即，解得，，∴；（2）△CEG與△FEC星相似，由（1）可知OF//CD,又∵O為CD的中點，∴OF為△CBD的中位線，F為BC的中點，∵∠CEB=180°-∠CEA=90°,∴,∴∠BCE=∠FEC，∵CG=CE，∴∠CGE=∠FEC，∴∠BCE=∠CGE，∵∠FEC=∠FEC，∴△FEC∽△CEG，∴△CEG與△FEC星相似；（3）∵CD=BD，BF=EF，∴∠B=∠FCD=∠DEG，∵∠FCE=∠FCD+∠GCE，∠CGE=∠DEG+∠GDE，∴∠GCE=∠GDE，∴EC=ED，設CE=m，則DE=m，，，，即，解得．【強化精練】一、單選題28．（2023上·甘肅平涼·九年級校考期末）如圖，在中，，且，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理：由，根據平行線分線段成比例定理得到，．【詳解】解：，，，故選：A．29．（2023上·四川達州·九年級校考期末）如圖，在平行四邊形中，，E是的中點，在線段上取一點F，使，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，根據平行四邊形的性質，可求出的長，根據相似三角形的性質即可求解，掌握平行四邊形的性質，相似三角形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：已知四邊形是平行四邊形，，，點是的中點，∴，，，若，∴，∴，故選：．30．（2023上·四川達州·九年級校考期末）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與相似的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】此題考查了相似三角形的判定和勾股定理，根據網格中的數據求出，，的長，利用三邊對應成比例的兩三角形相似判斷即可．熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關鍵．【詳解】解：根據題意可得：，，，A．由勾股定理求得三邊分別為，1，，，∵，∴圖中的三角形（陰影部分）與相似；B．由勾股定理求得三邊分別為，，3，∵，∴圖中的三角形（陰影部分）與不相似；C．由勾股定理求得三邊分別為1，，，∵，∴圖中的三角形（陰影部分）與不相似；D．由勾股定理求得三邊分別為2，，，∵，∴圖中的三角形（陰影部分）與不相似；故選：A．31．（2023上·四川達州·九年級校考期末）如圖，在中，，，的延長線交的延長線于N，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，平行線的性質，先得到，再由平行線的性質得到，由此可證明得到，再證明得到，從而得到，由此可得答案．【詳解】解；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，故選B．32．（2023上·山東青島·九年級期末）如圖，矩形的頂點、分別在反比例函數與的圖象上，點、在軸上，、分別交軸于點、，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數的比例系數的幾何意義，反比例函數圖像上點的坐標特征，矩形的性質，利用點的坐標表示相應線段的長度是解答本題的關鍵．設：點坐標為，，利用函數關系式表示出，，，，，利用三角形的面積公式，由此得到答案．【詳解】解：設點坐標為，，則，，點的縱坐標為，點的橫坐標為，，，，，，，，，，故選：．33．（2023上·四川達州·九年級校考期末）在平面直角坐標系中，已知點，，以原點O為位似中心，相似比為，把縮小，則點A的對應點的坐標是（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或根據關于以原點為位似中心的點的坐標特征，把點A的橫縱坐標乘以或得到其對應點的坐標．【詳解】解：∵以原點O為位似中心，相似比為，把縮小，而點A坐標為，∴點A的對應點的坐標是或．故選：D．34．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統考期末）如圖，四邊形中，對角線和相交于點，，（字母“”表示面積），則的值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形相似的判定與性質，過點C作交延長線于點F，過點E作，交于點H，根據，得到，進而得到，即，根據，易得，即可得出結果．【詳解】解：如圖，過點C作交延長線于點F，過點E作，交于點H，，，，即，，，中邊上的高和中邊上的高之比為，，故選：C．35．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統考期末）如圖，在中，，于點D，于點E，與交于點F，連接，下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②【答案】C【分析】根據中，，于點D，得到是等腰直角三角形，得到，根據于點E，，得到，根據，推出，得到，①正確；極端情況，當時，根據，得到A、E、F三點重合，得到，得到，②不正確；根據，得到點D、E都在以為直徑的圓上，推出，結合，推出，③正確；根據,，得到，得到，推出，④正確．正確的有①③④．本題主要考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形，圓周角定理，圓內接四邊形．解題的關鍵是熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形判定和性質，相似三角形判定和性質，圓周角定理推論，圓內接四邊形性質．【詳解】∵于點D，∴，∵，∴，∴，∴，∵于點E，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴①正確；②如圖，當時，由于，∴A、E、F三點重合，此時，∴，∴②不正確；③∵，∴點D、E都在以為直徑的圓上，∴，∵，∴，∴③正確；④∵,，∴，∴，∴，∴④正確．∴正確的有①③④．故選：C．二、填空題36．（2023上·安徽六安·九年級校考期末）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點，如果的長度為，那么的長度為．【答案】【分析】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分成兩段，其中較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，那么這個點就是這條線段的黃金分割點．根據，即可作答．【詳解】解：∵P為的黃金分割點∴故答案為：37．（2023上·吉林·九年級校考期末）如圖，與位似，點為位似中心，點為的中點，則與的周長比為.

【答案】【分析】本題考查了位似圖形的性質，根據周長比等于相似比，相似比等于位似比，即可求解．【詳解】解：∵點為的中點，∴∵與位似，∴位似比為：則與的周長比為，故答案為：．38．（2023上·陜西榆林·九年級校考期末）如圖，在中，點是中點，連接，交于點，如果的面積為，則的面積為．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質應用，由四邊形是平行四邊形，易證得，又由點是中點，的面積為2，即可根據相似三角形的面積比是相似比的平方，求得的面積，繼而求得答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，∴，故，點是的中點，，，的面積是2，，，，．故答案為：24．39．（2023上·陜西榆林·九年級校考期末）若，則．【答案】/0.75【分析】本題考查比例的性質，主要利用了等比性質，解題的關鍵是熟練掌握等比性質．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．40．（2023上·山西長治·九年級校聯考期末）如圖，在的內接四邊形中，，，，垂足為E，則的長為．【答案】3【分析】如圖，作于，則，由勾股定理得，，由，求得，由勾股定理得，，則，由，可得，證明，則，計算求解即可．【詳解】解：如圖，作于，∵，，∴，由勾股定理得，，∵，∴，解得，，由勾股定理得，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，故答案為：3．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，勾股定理，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定與性質．熟練掌握等腰三角形的判定與性質，勾股定理，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．三、解答題41．（2023上·廣東揭陽·九年級校考期末）已知：如圖，在中，D是上一點，E是上一點，且．

(1)求證：；(2)若求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，數形結合是解題關鍵．（1）由是公共角，可證得；（2）由，，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得的長．【詳解】（1）證明：，．（2）42．（2023上·四川達州·九年級校考期末）如圖，方格紙中的每個小正方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點間連接為邊的三角形稱為“格點三角形”，圖中的就是格點三角形，在建立平面直角坐標系后，點A的坐標為．

(1)將沿軸向左平移3個單位，得到，畫出；(2)將以為位似中心放大2倍，得到，畫出；(3)寫出、的坐標．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)的坐標為：；的坐標為：．【分析】考查畫關于平移，位似的圖形；得到關鍵點的對應點的位置是解決本題的突破點．（1）把A、B、C三點向左平移3個單位，得到相應的對應點，順次連接即可；（2）延長到，使，延長到，使，連接即可；

（3）根據各點所在象限及距離坐標軸的距離可得相應坐標．【詳解】（1）解：如圖，．

（2）解：如圖所示；（3）解：的坐標為：；的坐標為：．43．（2023上·廣東揭陽·九年級校考期末）已知：如圖，的頂點P在正方形的邊上，，經過點C，與交于點Q．(1)在不添加字母和輔助線的情況下，圖中；(2)若P為的中點，連接，求證：；(3)若時，試探究線段與線段的數量關系，并加以證明．【答案】(1)(2)見解析(3)，見解析【分析】（1），根據“兩角相等的兩個三角形相似”得出答案；（2），延長交的延長線于點E，先證明，可得，，再根據線段垂直平分線的性質得，進而得出答案；（3），由（1）可知，可得，再根據，求出，即可得出答案.【詳解】（1）．∵，∴，，∴．∵，∴．故答案為：；（2）證明：延長交的延長線于點E．∵P為中點，∴．∵是正方形，∴．∵，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．（3）當時，有．證明：由（1）可知，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，正方形的性質等，過中點構造全等三角形是證明線段相等的常用方法．44．（2023上·甘肅平涼·九年級校考期末）如圖，在中，過點B作，垂足為點E，連接，點F為上一點，且．

(1)求證：．(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質：（1）根據平行四邊形性質得，推，再根據，證三角形相似，用的是兩角對應相等兩個三角形相似；（2）先根據，推，在直角三角形中，求出，的長，再根據，推比例線段，把已知的線段代入計算即可．【詳解】（1）∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴,∵，∴，∴，解得．45．（2023上·河南鄭州·九年級校考期末）日晷儀也稱日晷，是我國古代觀測日影記時的儀器，主要是根據日影的位置，以指定當時的時辰或刻度．小明為了探究日器的奧秘，在不同的時刻對日晷進行了觀察．如圖，日晷的平面是以點O為圓心的圓，線段為日器的底座，點C為日晷與底座的接觸點，與相切于點C，點A，B，F均在上，且為不同時刻晷針的影長（A、O、B共線），的延長線分別與相交于點E，D，連接，已知．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，正確地作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．（1）根據直徑所對的圓周角是直角得到，則，再由平行線的性質可得；（2）連接，證明，由相似三角形的性質得出，則可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AB為圓O直徑，∴，∴，∵，∴．即；（2）解：連接，如圖所示，∵，∴，∵，∴，∴，∵是圓O的切線，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴．46．（2023上·四川達州·九年級校考期末）在中，點D是邊上的點，連接．

(1)如圖①，若平分，過點A作于點E，，，，求的長．(2)如圖②，若是邊上的中線，，過點A作于點E，求證：．(3)如圖③，若，，是邊上的中線，點是的中點，連