第四章數列章末重點題型歸納知識點1數列及其有關概念1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用a2表示……，第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．注：數列的第n項與項數n：數列{an}的第n項為an，an在數列{an}中的項數為n2.數列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．3.對數列概念的理解（1）數列是按一定“順序”排列的一列數，一個數列不僅與構成它的“數”有關，而且還與這些“數”的排列順序有關，這有別于集合中元素的無序性．因此，若組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數列．（2）數列中的數可以重復出現，而集合中的元素不能重復出現，這也是數列與數集的區別．（3）數列是一種特殊的函數數列是一種特殊的函數，其定義域是正整數集和正整數集的有限子集.所以數列的函數的圖像不是連續的曲線，而是一串孤立的點.知識點2數列的分類分類標準類型含義按項數有窮數列項數有限的數列無窮數列項數無限的數列按項的變化趨勢遞增數列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列，即恒有an＋1>an(n∈N*)遞減數列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列，即恒有an＋1<an(n∈N*)常數列各項都相等的數列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)按其他標準周期數列一般地，對于數列{an}，若存在一個固定的正整數T，使得an＋T＝an恒成立，則稱{an}是周期為T的周期數列按其他標準有界(無界)數列任一項的絕對值都小于某一正數的數列稱為有界數列，即?M∈R，|an|≤M，否則稱為無界數列擺動數列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列知識點3數列的表示方法1．列表法列出表格來表示數列{an}的第n項與序號n之間的關系．見下表：序號n123…n…項ana1a2a3…an…2．圖象法在平面直角坐標系中，數列的圖象是一系列橫坐標為正整數的孤立的點(n，an)．3．通項公式法如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．即,不是每一個數列都有通項公式,也不是每一個數列都有一個個通項公式.數列的通項公式實際上是一個以正整數集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數的表達式．注：通項公式就是數列的函數解析式，以前我們學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列是自變量為離散的數的函數．4．遞推公式法如果已知數列的第1項(或前幾項)，且從第2項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．注：常見數列的通項(1)1，2，3，4，…的一個通項公式為an＝n.(2)2，4，6，8，…的一個通項公式為an＝2n.(3)3，5，7，9，…的一個通項公式為an＝2n＋1.(4)2，4，8，16，…的一個通項公式為an＝2n.(5)－1，1，－1，1，…的一個通項公式為an＝(－1)n.(6)1，0，1，0，…的一個通項公式為an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).(7)a，b，a，b，…的一個通項公式為an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).(8)9，99，999，…的一個通項公式為an＝10n－1.知識點4數列的前n項和Sn與an的關系1.把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．數列的前項和和通項的關系：則特別地，若a1滿足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，則不需要分段．知識點5數列的性質（1）數列的單調性----遞增數列、遞減數列或是常數列；在數列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))數列的周期性.根據給出的關系式求出數列的若干項，通過觀察歸納出數列的周期，進而求有關項的值或者前n項的和．注：由于數列是特殊的函數，所以可以用研究函數的思想方法來研究數列的相關性質，如單調性、最大值、最小值等，此時要注意數列的定義域為正整數集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．知識點6等差數列的有關概念1.等差數列定義：一般地，如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示.用遞推公式表示為或.注：(1)要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數，那么此數列不是等差數列．(2)注意區分等差數列定義中同一個常數與常數的區別．(3)等差數列（通常可稱為數列）的單調性：在公差為d的等差數列{an}中：①d＞0?{an}為遞增數列；②d＝0?{an}為常數列；③d<0?{an}為遞減數列.2.等差數列的通項公式：；?當d≠0時，an是關于n的一次函數模型．等差數列通項公式的變形及推廣設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的幾何意義是點(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以用來利用任一項及公差直接得到通項公式，不必求a1.③可用來由等差數列任兩項求公差．3.從函數角度認識等差數列{an}若數列{an}是等差數列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d

；(2)這些點的橫坐標每增加1，函數值增加d.4.等差中項的概念：定義：如果，，成等差數列，那么叫做與的等差中項,其中.，，成等差數列.注：在等差數列{an}中，從第二項起，每一項都是它前后兩項的等差中項，即{an}成等差數列?an＋1＋an－1＝2ann≥2.知識點7等差數列的四種判斷方法(1)定義法：對于數列，若(常數)，則數列是等差數列；(2)等差中項：對于數列，若，則數列是等差數列;(3)通項公式：(為常數,)?是等差數列;(4)前項和公式：(為常數,)?是等差數列;(5)是等差數列?是等差數列.提醒：判斷時易忽視定義中從第2項起，以后每項與前一項的差是同一常數，即易忽視驗證a2－a1＝d這一關鍵條件.知識點8等差數列的性質（1）通項公式的推廣：在等差數列中，對任意，，，；（2）在等差數列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項.（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差數列，公差為md(k，m∈N*)；（4）兩個等差數列與的和差的數列仍為等差數列，{pan＋qbn}也是等差數列（5）若數列是等差數列,則仍為等差數列．（6）如果兩個等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是兩個原等差數列公差的最小公倍數．知識點9等差數列的前n和公式已知量首項，末項與項數首項，公差與項數求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d注：（1）等差數列的前n和公式的推導對于一般的等差數列{an}，如何求其前n項和Sn？設其首項為a1，公差為d.(倒序相加法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))兩式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq\f(na1＋an,2)，上述過程實際上用到了等差數列性質里面的首末“等距離”的兩項的和相等．（2）等差數列{an}的前n項和公式的函數特征Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5())Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n?當d≠0時，Sn關于n的表達式是一個常數項為零的二次函數式，即點(n，Sn)在其相應的二次函數的圖象上，這就是說等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標為正整數的一系列孤立的點．且d>0時圖象開口向上，d<0時圖象開口向下.（3）公式一反映了等差數列的性質，任意第k項與倒數第k項的和都等于首末兩項之和；知識點10等差數列前n項和的性質（1）等差數列被均勻分段求和后，得到的數列仍是等差數列，即SKIPIF1<0成等差數列，公差為n2d；（2）設數列是等差數列，且公差為，（Ⅰ）若項數為偶數2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；（Ⅱ）若項數為奇數，設共有項，則S2n－1＝(2n－1)an；(中間項)；②.等差數列中，,則,.注：在等差數列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n)（4）若與為等差數列，且前項和分別為與，則.（5）若{an}是等差數列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數列，其首項與{an}首項相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；知識點11等差數列的前n項和的最值(1)利用等差數列的單調性或性質，求出其正負轉折項，便可求得和的最值．在等差數列{an}中，當，時，有最大值(即所有非負項之和)；，時，有最小值(即所有非正項之和)；若已知，則最值時的值（）則當，，滿足的項數使得取最大值，當，時，滿足的項數使得取最小值.(2)利用等差數列的前n項和：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n((為常數,))，若d≠0，則從二次函數的角度看：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值．當n取最接近對稱軸的正整數時，Sn取到最值,通過配方或借助圖像，二次函數的性質等，將等差數列的前n項和最值問題轉化為二次函數的最值的方法求解.注：當a1>0，d>0時Sn有最小值S1，當a1<0，d<0時Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值時的n不一定唯一．知識點12等比數列有關概念1.等比數列定義一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母表示，即：.注：(1)定義的符號表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定義強調“從第2項起”，因為第一項沒有前一項；(3)比必須是同一個常數；(4)等比數列中任意一項都不能為0；(5)公比可以為正數、負數，但不能為0.2．等比數列通項公式為：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通項公式還可以寫成，它與指數函數有著密切的聯系，從而可以利用指數函數的性質來研究等比數列．注：（1）等比數列通項公式的推導設一個等比數列的首項是a1，公比是q，則由定義可知eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．方法一an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，當n＝1時，上式也成立．方法二a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…由此可得an＝a1qn－1，當n＝1時，上式也成立．由等比數列的通項公式可以知道：當公比時該數列既是等比數列也是等差數列；（3）等比數列的通項公式知：若為等比數列，則.3．等比中項如果在中間插入一個數，使成等比數列，那么叫做的等比中項，即G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數列?G2＝ab．注：①只有當兩個數同號時，這兩數才有等比中項，且等比中項有兩個，它們互為相反數.②在等比數列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等比中項；③與等比數列中的任一項“等距離”的兩項之積等于該項的平方，即在等比數列中，．④等比中項與等差中項的異同，對比如下表：對比項等差中項等比中項定義若a，A，b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項若a，G，b成等比數列，則G叫做a與b的等比中項定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個數a與b的等差中項唯一a與b的等比中項有兩個，且互為相反數備注任意兩個數a與b都有等差中項只有當ab＞0時，a與b才有等比中項知識點13等比數列的通項公式與指數型函數的關系1．當q>0且q≠1時，等比數列{an}的第n項an是指數型函數f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)當x＝n時的函數值，即an＝f(n)．2．任意指數型函數f(x)＝kax(k，a是常數，k≠0，a>0且a≠1)，則f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…構成一個等比數列{kan}，其首項為ka，公比為a.注意點：(1)a1>0，q>1時，數列{an}為正項的遞增等比數列；(2)a1>0,0<q<1時，數列{an}為正項的遞減等比數列；(3)a1<0，q>1時，數列{an}為負項的遞減等比數列；(4)a1<0,0<q<1時，數列{an}為負項的遞增等比數列；(5)q＝1時，數列{an}為常數列；(6)q<0時，數列{an}為擺動數列；奇數項符號相同，偶數項符號相同．知識點14等比數列的判定與證明證明等比數列的方法1．定義法：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q為不為0的常數)；2．等比中項法：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；3．通項公式法：an＝a1qn－1.注：用定義法證明時，eq\f(an,an－1)和eq\f(an＋1,an)中的n的范圍不同知識點15等比數列的性質在等比數列中，相隔等距離的項組成的數列是等比數列，如：，，，，……；，，，，……；注：若m，p，n成等差數列，則am，ap，an成等比數列．（2）在等比數列中，對任意，，； （3）在等比數列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中項.也就是：，如圖所示：.注：(1)性質的推廣：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)該性質要求下標的和相等，且左右兩側項數相同；(3)在有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項之積都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….(4)等比數列下標為奇數的項正負相同，下標為偶數的項正負相同；（4）若{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數列．（5）在等比數列{an}中按序號從小到大取出若干項：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差數列，那么是等比數列.（6）公比不為1的等比數列，其相鄰兩項的差也依次成等比數列，且公比不變，即，，，…成等比數列，且公比為.（7）等比數列的單調性當或時，為遞增數列，當或時，為遞減數列．知識點16等差數列與等比數列的區分與聯系(1)如果數列成等差數列，那么數列(總有意義)必成等比數列．(2)如果數列成等比數列，且，那么數列(，且)必成等差數列．(3)如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列．數列是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件．(4)如果由一個等差數列與一個等比數列的公共項順次組成新數列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進行討論，且以等比數列的項為主，探求等比數列中哪些項是它們的公共項，構成什么樣的新數列．知識點17等比數列的前n項和公式已知量首項a1，項數n與公比q首項a1，末項an與公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))注：（1）等比數列前n項和公式的推導若等比數列{an}的首項是a1，公比是q，如何求該等比數列的前n項的和？思路一：因為Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一項都乘等比數列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，發現上面兩式中有很多相同的項，兩式相減可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，當q≠1時，有Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，而當q＝1時，Sn＝na1.上述等比數列求前n項和的方法，我們稱為“錯位相減法”．思路二：當q≠1時，由等比數列的定義得：eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝…＝eq\f(an,an－1)＝q，根據等比數列的性質，有eq\f(a2＋a3＋…＋an,a1＋a2＋…＋an－1)＝eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q，eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q?(1－q)Sn＝a1－anq，所以當q≠1時，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，該推導方法圍繞基本概念，從等比數列的定義出發，運用等比數列的性質，推導出了公式，通過上述兩種推導方法，我們獲得了等比數列的前n項和的兩種形式，而這兩種形式可以利用an＝a1qn－1相互轉化．思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1?Sn＝a1＋q(Sn－an)?(1－q)Sn＝a1－anq，所以當q≠1時，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)或Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，顯然方程的思想在本次推導過程中顯示了巨大的威力，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使我們不拘泥于課本，又能使問題得到解決．（2）在通項公式和前n項和公式中共出現了五個量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個，可求其余兩個.(和各已知三個可求第四個（3）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（4）應用求和公式時，必要時應討論的情況.在應用公式求和時，應注意到Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)的使用條件為q≠1，而當q＝1時應按常數列求和，即Sn＝na1.（5）等比數列前n項和公式的函數特征當公比q≠1時，設A＝eq\f(a1,q－1)，等比數列的前n項和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指數型函數.（Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，設A＝－eq\f(a1,1－q)，則Sn＝Aqn－A.）當公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數.知識點18等比數列前n項和的性質1．數列{an}為公比不為－1的等比數列(或公比為－1，且n不是偶數)，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構成等比數列．注意點：等比數列片段和性質的成立是有條件的，即Sn≠0.注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比數列，證明如下：思路一：當q＝1時，結論顯然成立；當q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q).S2n－Sn＝eq\f(a11－q2n,1－q)－eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn1－qn,1－q)，S3n－S2n＝eq\f(a11－q3n,1－q)－eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，而(S2n－Sn)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq\f(a11－qn,1－q)×eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列．思路二：由性質Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列．2．{an}為等比數列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數列．3．若{an}是公比為q的等比數列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)?qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)．注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.4．若{an}是公比為q的等比數列，S偶，S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，則：（1）在其前2n項中，eq\f(S偶,S奇)＝q；（2）在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).S奇＝a1＋qS偶．注：若等比數列{an}的項數有2n項，則其偶數項和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇數項和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易發現兩列式子中對應項之間存在聯系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq\f(S偶,S奇)＝q.＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，從項數上來看，奇數項比偶數項多了一項，于是我們有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．知識點19等比數列前n項和的實際應用1．解應用問題的核心是建立數學模型．2．一般步驟：審題、抓住數量關系、建立數學模型．3．注意問題是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答數列應用題要注意步驟的規范性：設數列，判斷數列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項公式時，一定要將項數n計算準確．(3)在數列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系．(4)在近似計算時，要注意應用對數方法，且要看清題中對近似程度的要求．題型一數列的概念1．（2022·高二課時練習）下面四個結論：①數列可以看作是一個定義在正整數集（或它的有限子集）上的函數；②數列若用圖像表示，從圖像上看都是一群孤立的點；③數列的項數是無限的；④數列通項的表達式是唯一的．其中正確的是（

）．A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④2．【多選】（2022春·廣東揭陽·高二統考期末）下列四個選項中，正確的是（

）A．數列的圖象是一群孤立的點B．數列1，0，1，0，…與數列0，1，0，1，…是同一數列C．數列，，，，…的一個通項公式是D．數列，，…，是遞減數列3．【多選】（2022春·福建漳州·高二校聯考期中）下列有關數列的說法正確的是（

）A．數列與數列是同一個數列B．數列的通項公式為,則110是該數列的第10項C．在數列中,第8個數是D．數列3,5,9,17,33,…的通項公式為4．（2022春·天津寶坻·高二校考期末）已知數列的通項公式，則數列的前5項為______.題型二數列的通項公式由前n項歸納數列的通項公式5．（2022秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知數列：，則是數列中的（

）A．第18項 B．第19項 C．第20項 D．第21項6．（2022秋·河南濮陽·高二統考期末）“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中虛線上的數1，3，6，10，…構成的數列的第n項，則的值為（

）A．1225 B．1275 C．1326 D．13627．（2022春·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學校考期末）數列的一個通項公式為（

）A． B． C． D．8．（2022秋·廣西百色·高二統考期末）若數列的前6項為：1，，，，，，則數列的通項為（

）A． B． C． D．9．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市阿城區第一中學校校考階段練習）1766年，德國有一位名叫提丟斯的中學數學老師，把數列0，3，6，12，24，48，96，……經過一定的規律變化，得到新數列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科學家發現，新數列的各項恰好為太陽系行星與太陽的平均距離，并據此發現了“天王星”、“谷神星”等行星，這個新數列就是著名的“提丟斯-波得定則”．根據規律，新數列的第8項為______．由與的關系求通項公式10．（2022春·湖北隨州·高二隨州市曾都區第一中學校考期末）數列的前項和，則的通項公式___________.11．（2022春·陜西渭南·高二統考期末）已知是數列的前項和，若，則____________．12．（2022秋·上海松江·高二統考期末）已知數列前項和滿足，則________.13．（2022秋·廣東珠海·高二統考期末）已知數列，滿足，則_______.14．（2022秋·上海虹口·高二統考期末）記數列的前項和為，若，（為正整數），則數列的通項公式為________．15．（2022秋·上海金山·高二上海市金山中學校考期末）已知數列的前項和為，則_____．定義法求通項公式16．（2022春·陜西西安·高二校聯考期中）在數列中，，，且，則數列的通項公式是__________．17．（2022春·廣東廣州·高二廣州大學附屬中學校考期末）已知數列滿足：（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前n項和為．若對恒成立．求正整數m的最大值．18．（2021秋·浙江寧波·高二統考期末）已知數列滿足，，，，數列滿足，．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．由遞推公式求通項公式19．（2022春·山東·高二沂水縣第一中學期末）已知數列滿足，，則（

）A． B． C． D．20．（2022春·福建莆田·高二莆田第六中學校考階段練習）已知數列滿足，則（

）A． B． C． D．21．（2022春·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學校考階段練習）已知數列中，，則等于（

）A． B．C． D．22．（2022·高二課時練習）已知在數列中，，，則______．23．（2022春·山東菏澤·高二菏澤一中校考階段練習）已知數列中，且，則為（

）A． B． C． D．24．（2022春·甘肅天水·高二天水市第一中學校考階段練習）已知數列滿足，則數列的前項和為______．25．（2022春·山西太原·高二太原師范學院附屬中學校考階段練習）已知數列滿足，，則______.26．（2022春·江蘇揚州·高二揚州中學校考階段練習）已知數列滿足，且，則（

）A． B． C． D．27．【多選】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考期中）已知數列滿足：，當時，，則關于數列的說法正確的是(

)A． B．是遞增數列C． D．數列為周期數列題型三數列的單調性與最值28．（2022秋·北京西城·高二統考期末）在等比數列{}中，．記，則數列{}（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項29．（2022春·安徽宿州·高二校聯考期末）已知數列滿足，，設，且數列是單調遞增數列，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．30．（2022秋·廣東潮州·高二統考期末）已知數列的通項公式為，則該數列中的數值最大的項是第___________項.31．（2022春·河南·高二校聯考期末）若數列滿足，且數列單調遞減，則的取值范圍是______．題型四數列的周期性32．（2022春·陜西西安·高二統考期末）已知數列滿足，，則___________．33．（2022春·安徽黃山·高二屯溪一中統考期末）已知數列滿足，，則（

）A． B． C． D．334．（2022秋·北京石景山·高二統考期末）在數列中，，，，則_________．35．（2022春·湖南·高二校聯考期末）已知數列滿足，且，則__________.36．（2022春·湖北荊州·高二沙市中學統考期末）已知數列滿足，則_____________．題型五等差數列基本量的計算37．（2022春·山東菏澤·高二校考期末）設為等差數列的前項和，已知，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．1038．（2022秋·湖南衡陽·高二統考期末）已知等差數列的前項和為，，，則（

）A．19 B．22 C．25 D．2739．（2022秋·河北邯鄲·高二大名縣第一中學校考期末）記為等差數列的前n項和.若，，則（

）A．-54 B．-18 C．18 D．3640．（2022秋·福建廈門·高二廈門外國語學校校考期末）《九章算術》是我國秦漢時期一部杰出的數學著作，書中第三章“衰分”有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數成遞增等差數列，這5個人各出多少錢?”在這個問題中，若不更出17錢，則公士出的錢數為（

）A．10 B．14 C．23 D．2641．（2022春·黑龍江雙鴨山·高二統考期末）我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：“現有一根金杖，長5尺，頭部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若該金杖從頭到尾每一尺重量構成等差數列，其中重量為，則的值為（

）A．4 B．12 C．15 D．18題型六等差數列的判定與證明42．（2022春·山東濟寧·高二濟寧一中校考期末）已知數列的前n項和為．(1)記，證明：是等差數列，并求的通項公式；(2)記數列的前n項和為，求，并求使不等式成立的最大正整數n．43．（2022春·安徽六安·高二校考期末）已知數列滿足：．(1)證明數列是等差數列，并求數列的通項公式；(2)若數列是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的前n項和．44．（2022秋·云南玉溪·高二統考期末）已知數列滿足，．(1)證明是等差數列；(2)若，求數列的前項和．45．（2022秋·江西上饒·高二校聯考期末）已知數列滿足，（）.(1)求證數列為等差數列；(2)設，求數列的前項和.題型七等差數列的性質與項有關的性質46．（2022春·陜西渭南·高二統考期末）在等差數列中，若，，則（

）A．14 B．15 C．16 D．847．（2022春·西藏拉薩·高二拉薩中學校考期末）已知等差數列滿足，則的值為（

）A．－3 B．3 C．－12 D．1248．（2022秋·四川甘孜·高二統考期末）等差數列?的前?項和為?，則（

）A．42 B．56 C．63 D．7049．（2022秋·河北石家莊·高二校考期末）設等差數列的前項和為，若，則（）A．28 B．148 C．168 D．24850．（2022秋·湖北武漢·高二統考期末）已知數列為等差數列，且，則的值為（

）A． B． C． D．與和有關的性質51．（2022春·湖南永州·高二統考期末）若為等差數列，其前n項和為，，，則（

）A．10 B．12 C．14 D．1652．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學校校考期末）在等差數列中，其前項和為，若，則（

）A． B． C． D．53．（2022春·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學校考期末）設等差數列，的前n項和分別是，，若，則（

）A． B． C． D．54．（2022·全國·高二假期作業）已知兩個等差數列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則的值為（

）A． B． C． D．單調性與最值55．（2022春·山西大同·高二統考期末）設等差數列的公差為d，前n項和為，若，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．d＜0C． D．與為的最大值56．（2022春·河南許昌·高二統考期末）設是等差數列，是其公差，是其前n項的和．若，，則下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值57．（2022春·天津南開·高二南開中學校考期末）在等差數列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（

）A．15 B．16 C．17． D．1858．（2022春·福建福州·高二福建省福州屏東中學校考期末）已知等差數列前項和為，且，，則此數列中絕對值最小的項為A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項題型八等比數列基本量的計算59．（2022春·山西太原·高二校考階段練習）設正項等比數列的前n項和為，若，則公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或60．（2022春·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學校考階段練習）設是等比數列，且，則（

）A．4 B．8 C．16 D．3261．（2022春·福建福州·高二校考期中）已知等比數列單調遞增，且，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．962．（2022春·寧夏銀川·高二校考階段練習）設等比數列的前項和為，，則的值為（

）A． B． C． D．題型九等比數列的判定與證明63．（2022春·安徽黃山·高二屯溪一中統考期末）已知數列中，，且滿足.(1)證明：數列為等比數列，并求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和.64．（2022春·黑龍江·高二黑龍江實驗中學校考期中）在數列中，，，．(1)設，求證：數列是等比數列；(2)求數列的前項和．65．（2022春·河南·高二校聯考期末）已知數列滿足，，．(1)證明：數列是等比數列；(2)證明：．66．（2022·全國·高二假期作業）已知數列滿足，且．(1)證明：數列是等比數列；(2)記的前項和為，若，均有，求實數的最小值．題型十等比數列的性質與項有關的性質67．（2022春·山西晉城·高二晉城市第二中學校校考階段練習）在各項均為正數的等比數列中，，則___________.68．（2022·全國·高二假期作業）已知數列、滿足.其中是等差數列，若，則_____________.69．（2022·全國·高二專題練習）已知各項均為正數的等比數列，，，則______．70．（2022春·陜西咸陽·高二校考階段練習）在等比數列中，，是方程的兩個實數根，則的值為________與和有關的性質71．（2022春·甘肅慶陽·高二校考階段練習）設等比數列的前項和為，若，，則_______．72．（2022春·甘肅酒泉·高二敦煌中學校考階段練習）設是等比數列的前n項和，若，則______.73．（2022春·陜西咸陽·高二校考期中）已知為等比數列的前項和，，，則的值為______．74．（2022·高二單元測試）已知等比數列的前項中，所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，則的值為______．最值（范圍）問題75．（2022·全國·高二假期作業）設等比數列滿足，，則的最大值為（

）A．32 B．16 C．128 D．6476．（2022春·吉林通化·高二校考期中）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（

）A．

B．C．是數列中的最大值

D．數列無最大值77．（2022·高二課時練習）等比數列{an}的公比為q，其前n項的積為Tn，并且滿足條件a1>1，a99a100－1>0，<0．給出下列結論：①0<q<1；②a99a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然數n等于198．其中正確的結論是________．題型十一等差數列與等比數列的綜合應用78．（2022·高二課時練習）已知單調遞減的等比數列中，，則該數列的公比的取值范圍是（

）A． B． C． D．79．（2022·高二單元測試）對于無窮數列，給出下列命題：①若既是等差數列，又是等比數列，則是常數列；②若等差數列滿足，則是常數列；③若等比數列滿足，則是常數列；④若各項為正數的等比數列滿足，則是常數列．其中正確的命題個數是（

）．A．1 B．2 C．3 D．480．（2022春·陜西西安·高二西安市西光中學校考階段練習）等差數列中，公差，而且是等比數列的連續項，則時_______81．（202