高三數(shù)學(xué)期末試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.i B. C. D.13.已知p：，q：，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.4.蓋碗是由茶碗、茶蓋、茶船三件套組成，蓋碗又稱“三才碗”，蘊含了古代哲人講的“天蓋之，地栽之，人育之”的道理.如圖是乾隆時期的山水人物方蓋碗的茶蓋和茶碗，近似看作兩個正四棱臺的組合體，其中茶碗上底面的邊長為，下底面邊長為，高為，則茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（）A.7碗 B.8碗 C.9碗 D.10碗5.實數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.06.為了激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某學(xué)校開展利用數(shù)學(xué)知識設(shè)計的比賽，其中某位同學(xué)利用函數(shù)圖象設(shè)計了如圖的，那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是（）A. B.C. D.7.設(shè)隨機變量，且，，則（）A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.758.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全得得2分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.展開式中項的系數(shù)為1120B.樣本相關(guān)系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱C.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷零假設(shè)不成立，即可認為X與Y獨立D.在回歸分析中，用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零10.已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上，且，過點P作軸于點Q，則（）A. B.拋物線的準線為直線C. D.的面積為11.已知函數(shù)在處取得最大值2，的最小正周期為π，將圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度得到的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A.是圖象的一條對稱軸 B.C.是奇函數(shù) D.方程有3個實數(shù)解12.如圖，在棱長為1的正方體中，點P滿足，其中，，則（）A.當時， B.當時，點P到平面的距離為C.當時，平面 D.當時，三棱錐的體積恒為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題目橫線上）13.己知等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則______.14.設(shè)函數(shù)，關(guān)于x的方程有三個不等實根，，，則的取值范圍是________________.15.已知中，M為邊上一個動點，若，則的最小值為_____.16.已知橢圓與雙曲線具有相同的左、右焦點、，點P為它們在第一象限的交點，動點Q在曲線上，若記曲線，的離心率分別為，，滿足，且直線與y軸的交點的坐標為，則的最大值為__________.四、解答題（本大題共5小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）設(shè)為數(shù)列的前n項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，證明：.18.（12分）在中，角A、B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）D為邊上一點，，且，求的值.19.（12分）把矩形以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，得到幾何體如圖所示.其中等腰梯形為下底面的內(nèi)接四邊形，且，點G為上底面一點，且，.（1）若P為的中點，求證：平面；（2）設(shè)，，試確定λ的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.20.（12分）已知點為橢圓的左焦點，在C上.（1）求C的方程；（2）已知兩點與，過點A的直線l與C交于P，Q兩點，且，試判斷是否為定值?若是，求出該值，若不是，說明理由.21.（12分）輕食是餐飲的一種形態(tài)，輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡約，保留食材本來的營養(yǎng)和味道，近年來隨著消費者健康意識的提升及美顏經(jīng)濟的火熱，輕食行業(yè)迎來快速發(fā)展.某傳媒公司為了獲得輕食行業(yè)消費者行為數(shù)據(jù)，對中國輕食消費者進行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計其中400名中國輕食消費者（表中4個年齡段的人數(shù)各100人）食用輕食的頻率與年齡得到如下的頻數(shù)分布表.使用頻率偶爾1次3015510每周次40403050每周次25404530每天1次及以上552010（1）若把年齡在的消費者稱為青少年，年齡在的消費者稱為中老年，每周食用輕食的頻率不超過3次的稱為食用輕食頻率低，不低于4次的稱為食用輕食頻率高，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷食用輕食頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；（2）從每天食用輕食1次及以上的樣本消費者中按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，從中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為X，Y，，求ξ的分布列與期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選擇一種，已知小李在某天早餐隨機選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選擇低卡甜品的概率分別為，，，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率.參考公式：，.附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82822.（12分）已知函數(shù).（1）當時，討論函數(shù)零點的個數(shù)；（2）當時，恒成立，求a的取值范圍.數(shù)學(xué)試題參考答案1.B2.A3.C4.C5.A6.A7.A8.C9.ACD10.ACD11.AD12.ACD13.14.15.1616.16.【詳解】由題設(shè)，又，直線與y軸的交點的坐標為，則，中，綜上，，整理得，可得或（舍），由，則，由橢圓性質(zhì)知：當Q為短軸頂點時取到最大，此時，由，則，即，故.17.解：（1）當時，，當時，，兩式相減得，則，當時，，又當時，，當時，，則，顯然，符合，所以數(shù)列的通項公式是（2）由（1）知，.所以.18.解：（1）因為，所以，由正弦定理可得，又，所以，整理得，因為，，所以，又，，所以，即.（2）由（1）知，因為，所以，記，則，在中，由正弦定理得，得，在中，有，因為，所以，得，在中，由余弦定理可得，即，所以.19.解：（1）證明：因為為直徑，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，P為的中點，所以，因為，平面，平面，所以平面.（2）因為等腰梯形為底面半圓的內(nèi)接四邊形，，所以，所以，如圖，以為坐標原點，在底面半圓過點垂直于平面作直線為x軸，分別以，為y，z軸建立空間直角坐標系，由于，，由（1）可知，故，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即.令，則，由，，，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為θ，，則，即得，解得或，符合，故或.20.解：（1）由已知可得，且C的另一焦點坐標為，設(shè)為，所以有，所以，所以，所以C的方程為.（2）設(shè)l：，代入C整理可得：，設(shè)，，則①，②，由，可得，③，由①②③可得：，恒成立，所以，為定值.21.解：（1）補全的列聯(lián)表如下：1青少年中老年合計食用輕食頻率低12595220食用輕食頻率高75105180合計200200400所以，所以有99%的把握認為食用輕食頻率的高低與年齡有關(guān)（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在，內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，依題意，ξ的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以ξ的分布列為：ξ012P所以ξ的數(shù)學(xué)期望為.（3）記小李在某天早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，分別為事件A，B，C，晚餐選擇低卡甜品為事件D，則，，，，，，所以，，所以小李晚餐選擇低卡甜品的概率為.22.解：（1）由得，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且x無限趨近于0時，，又，故只有1個零點；當時，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以當時，取得最小值，當時，，所以函數(shù)無零點，當時