第三章包裝中的振動基本理論第一節振動的基本概念第二節單自由度線性系統的振動第三節考慮易損部件的強迫振動第四節隨機振動第一節振動的基本概念一、概念二、包裝件的力學模型三、緩沖材料的一些力學特性四、機械振動的分類一、概念

振動是由振源向振動系統輸入信號，系統所作的響應。激勵（振源）：促使物體振動的各種外因阻尼：阻礙物體振動的因素，如空氣的阻力，材料的內阻，物體之間的摩擦等一、概念與運輸包裝動力學相關的一些物理定律：牛頓第一定律（慣性定律）：一個物體如果不受力或作用于物體上的力是平衡力，則其運動狀態不變。牛頓第二定律：在慣性系中，質點受力作用將獲得加速度。牛頓第三定律（作用力與反作用力定律）：兩個物體間的作用力與反作用力大小相等，方向相反。胡克定律：在彈性限度內，若彈簧在外力的作用下產生位移，則二、包裝件的力學模型外包裝箱產品緩沖襯墊(a)部分緩沖結構產品(b)有易損部件的全面緩沖結構k阻尼器mm1cm3c2c1k2k1m1m2產品

簡化的力學模型三、緩沖材料的一些力學特性材料的彈性ε

x

緩沖襯墊P

h

σo

材料的粘性

緩沖材料，特別是泡沫塑料等高分子材料，在受到振動與沖擊時，其內部會產生與運動方向相反的阻力，這種阻力稱為材料的內阻，用R表示。設變化的載荷使得緩沖材料以運動。則通過試驗可知粘性阻力為：式中R為粘性阻尼力。c為阻力系數，也稱為阻尼，其單位是三、緩沖材料的一些力學特性緩沖材料的等效彈性剛度

緩沖襯墊P

P

h

緩沖襯墊的等效彈性剛度就可用彈簧的剛度來表示即：

三、緩沖材料的一些力學特性緩沖墊的串聯緩沖墊的并聯四、機械振動的分類按系統自由度分——單自由度系統振動多自由度系統振動

連續介質系統振動按微分方程分——線性振動非線性振動按系統輸入類型分——自由振動強迫振動自激振動(結構系統受到自身控制的激勵作用時所引起的振動)按輸出規律分——周期振動隨機振動第二節單自由度線性系統的振動一、無阻尼單自由度系統的自由振動二、有阻尼單自由度系統的自由振動三、無阻尼單自由度系統的強迫振動四、有阻尼單自由度系統的強迫振動一、無阻尼單自由度系統的自由振動作用在質量塊上的彈性力總是指向平衡位置(恢復力)。若沒有能量損耗，振動時離開平衡位置的最大位移不變，稱之為振幅。自由振動具有周期性。從某一位置開始運動，總是在一個固定的時間性內回到開始位置，這一時間叫做振動的周期，單位為秒。為了描述振動的快慢程度，引入振動的頻率f，它定義為單位時間內振動的次數，單位為赫茲（Hz）。頻率f和周期互為倒數，即：一、無阻尼單自由度系統的自由振動力學模型設彈簧的原長為L0，彈簧靜變形一、無阻尼單自由度系統的自由振動運動方程的建立考慮到得：由圖（d）可知，質量塊受到的合力為：由牛頓第二定理得：即：，式中整理為：一、無阻尼單自由度系統的自由振動根據因為k，m

均大于0，令得假設時，質量塊的初始位移和速度分別是：那么于是得到位移方程為：式中一、無阻尼單自由度系統的自由振動無阻尼單自由度振動的固有頻率和固有圓頻率物塊振動一次經歷的時間Τ稱為周期。根據正弦函數的性質，時間每經歷一個周期，正弦函數的相位角增加2π，故：因為所以，周期為頻率為一、無阻尼單自由度系統的自由振動例：已知一包裝件的產品質量m=10kg，緩沖墊等效彈性系數為k=10000N/m，將其簡化為無阻尼單自由度模型，給緩沖墊一個初始位移x0=-0.01m，使之從靜止開始振動，求固有頻率和位移方程。解：由公式得系統固有圓頻率為：

固有頻率為：（Hz）又已知初始條件為：x0=-0.01m，v0=0。得：因此運動方程為：一、無阻尼單自由度系統的自由振動二、有阻尼單自由度系統的自由振動由于包裝緩沖系統都是有阻尼的，所以，分析有阻尼單自由度系統的自由振動具有十分重要的作用。圖有阻尼單自由度振動的受力分析物塊m作自由振動，在任一瞬時t，作用在物塊上的力有：重力

mg彈性力

阻力

根據牛頓第二定律，物塊的運動微分方程為：將方程簡化后得：令上式中，，就得到有阻尼自由振動的運動微分方程的標準形式式中：——是物塊彈簧系統的固有圓頻率；

n

——是阻尼系數，其單位為s-1

二、有阻尼單自由度系統的自由振動設特解為代入上式得：根據微分方程解方程得

n

＞ω，稱為大阻尼。物塊受初干擾離開平衡位置后又緩慢地回到平衡位置，不可能振動；

n

=ω，稱為臨界阻尼。

n＜ω，稱為小阻尼。物塊系統受干擾產生振動。因此我們只討論這種情況二、有阻尼單自由度系統的自由振動當n＜ω時，設，故將上式代入中得：將它按歐拉公式展開，得到兩個特解：將這兩個特解線性組合，即得通解為二、有阻尼單自由度系統的自由振動由上式可以看出：小阻尼n＜ω時包裝件的運動規律為正弦波形；因為-1≤≤1，所以包裝件的位移被限制在兩條曲線和之間；包裝件的振動隨時間的增加而逐漸衰減，是衰減振動。二、有阻尼單自由度系統的自由振動設初始條件為：，由此可確定常數A和

計算公式為：，得：衰減振動雖然不是真正地周期性運動，但它仍具有等時性，因此物塊來回往復一次所經歷的時間仍然稱為周期，用表示二、有阻尼單自由度系統的自由振動阻尼對自由振動的影響主要表現在振幅。設相鄰兩次振動的振幅分別為和，則前后兩次的振幅比為：d

稱為振幅系數，由上式得：因為d＞1，所以小阻尼自由振動的振幅按幾何級數的規律迅速衰減。……二、有阻尼單自由度系統的自由振動例：已知一包裝件產品質量m=10kg，緩沖墊等效彈性系數為k=10000N/m，將其簡化為有阻尼單自由度模型，設阻尼比為。給緩沖墊一個初始位移x0=－0.01m，使之從靜止開始振動，求振動周期、位移方程，并計算振動多少次后的振幅小于初始振幅的5%。解：系統的固有圓頻率為：得無阻尼固有圓頻率為：阻尼系數為：振動周期為：

二、有阻尼單自由度系統的自由振動又已知初始條件為：x0=－0.01，v0=0得得由公式得位移方程為：因為，，所以振幅系數為：有即要求二、有阻尼單自由度系統的自由振動作業一已知一包裝件的產品質量m=6kg，緩沖墊等效彈性系數為k=600N/m，當其作無阻尼自由振動時振幅為A=0.04m，使之從靜止開始振動，求其固有頻率、位移方程。已知一包裝件產品質量m=8kg，緩沖墊等效彈性系數為k=500N/m，將其簡化為有阻尼單自由度模型，設阻尼比為。當其作有阻尼自由振動時振幅為A=0.02m，使之從靜止開始振動，求振動周期、位移方程，并計算振動多少次后的振幅小于初始振幅的10%。三、無阻尼單自由度系統的強迫振動強迫振動：有周期性變化的外力（激振力）在振動過程中一直作用在系統上，則系統會產生響應。這種由激振力引起的振動就是強迫振動。建立力學模型：運動方程：設支座作持續的簡諧運動：式中：——為振動臺的最大振幅；

p

——是振動臺的振動圓頻率。在系統振動的任一瞬時，物塊所受的彈性力為：根據牛頓第二定律，物塊的運動微分方程為：令化簡得運動方程為：上式的解是由兩部分組成的：式中：

x1

——為與運動方程對應的齊次方程的通解；

x2——為運動方程的特解。運動方程的齊次方程是：若加上初始條件，就成為無阻尼單自由度振動方程，它的通解就是，其中三、無阻尼單自由度系統的強迫振動將上式代入物塊運動微分方程得化簡得所以運動微分方程的特解為：根據實驗知道，系統的響應頻率與激振頻率相等。因此設三、無阻尼單自由度系統的強迫振動因此，運動微分方程的解（也就是位移方程）為：由于x1

是自由振動，在實際情況中會很快衰減，故穩態強迫振動的位移方程可寫為：上式表明，系統在外部持續激勵作用下的穩態強迫振動也是簡諧運動，其頻率與激勵頻率相同。振幅與系統本身及外部激勵的性質有關，與運動的初始條件無關。三、無阻尼單自由度系統的強迫振動強迫振動的振幅放大系數振幅反映強迫振動的強弱，因此要推導振幅放大系數，從而通過已知的外部激勵振幅求出系統響應的振幅。將改寫成令響應振幅與輸入振幅之比為：系統響應圓頻率與系統固有圓頻率之比為：則上式可寫成如下形式：取λ為橫坐標，β為縱坐標，畫出一條曲線，稱為幅頻函數。三、無阻尼單自由度系統的強迫振動通過β—λ曲線可以看出以下規律：強迫振動系統的響應頻率等于激振頻率，都是；式為放大系數，也叫幅頻函數；3.放大系數中表示激振頻率與系統固有頻率之比。當時，，這種現象叫共振，這時響應加速度也趨于無窮大，從而振動產生的動態力也趨于無窮大，所以一般振動破壞都發生在產生共振的時刻。三、無阻尼單自由度系統的強迫振動由運動學而知，有了位移方程，我們可以通過對時間求導，從而得到速度與加速度值。由外部激振方程可得激振輸入的最大加速度為：響應的最大加速度為：因此得于是由輸入最大加速度和放大系數可求得系統響應最大加速度：同樣可求出響應速度與輸入速度的關系：三、無阻尼單自由度系統的強迫振動例：有一包裝件，產品質量為m=1kg，襯墊的彈性系數為k=200N/m。將其放置在振動臺上做實驗，振動臺輸入的激振頻率為2.5Hz，最大輸入加速度為0.01g，求產品響應的最大位移和最大加速度值。解：包裝件的固有頻率為：已知f=2.5Hz，所以放大系數為：式中負號表示輸入與輸出方向相反三、無阻尼單自由度系統的強迫振動最大響應加速度為：因為，，所以最大位移為：三、無阻尼單自由度系統的強迫振動四、有阻尼單自由度系統的強迫振動建立力學模型：運動方程：設支座作持續的簡諧運動：式中：——為振動臺的最大振幅；

——是振動臺的振動圓頻率。在系統振動的任一瞬時，物塊所受的彈性力為：物塊所受的阻尼力為：根據牛頓第二定律，物塊的運動微分方程為：化簡得：為將上式等到號的右邊化簡成一個正弦函數的形式，令運動微分方程就化成：四、有阻尼單自由度系統的強迫振動再令運動微分方程又可化成：上式的解是由兩部分組成的：

x1相對應的齊次方程的通解是：由于阻尼的影響，上式很快衰減。x2是穩態的強迫振動的特解，設其為將其代入式，得四、有阻尼單自由度系統的強迫振動因為可表示為將其代入X2

式中化簡得：四、有阻尼單自由度系統的強迫振動因為在振動的任一瞬時τ，上式都成立。所以前的系數都應為0。即：從而求得：四、有阻尼單自由度系統的強迫振動令，再將代入得

將式代入式，就得到物塊穩態強迫振動的振幅公式：四、有阻尼單自由度系統的強迫振動同理將式代入可得到物塊穩態強迫振動的相位差的正切為：四、有阻尼單自由度系統的強迫振動強迫振動的放大系數與幅頻函數令響應振幅與輸入振幅之比為：系統響應圓頻率與系統固有圓頻率之比為：阻尼比為：于是系統的幅頻函數為：為了便于分析，取為參變量，取λ為橫坐標，β為縱坐標，繪出一系列不同的β—λ曲線，就是幅頻特性曲線。四、有阻尼單自由度系統的強迫振動強迫振動的幅頻特性曲線四、有阻尼單自由度系統的強迫振動由上圖可看出如下規律：當λ=0時，β=1，即各條β—λ曲線有共同的起點；當λ=時，又有β=1，即各條β—λ曲線相交于這個公共點。當0＜λ＜時，β＞1，且β—λ曲線有最大值；當較小而λ又接近于1時，系統會產生強烈的振動，這種現象稱為共振。當λ＞時，放大系數小于1，并逐漸趨于0，即激振頻率越高系統響應振幅越小。所以對包裝件來說，損壞基本都發生在低頻區域。四、有阻尼單自由度系統的強迫振動為求共振時的放大系數，令，求導得：共振時的頻率比為：將上式代入幅頻函數中，就可求得βmax

。當不是很大時當很小時（＜0.15）時，可近似取λ0

=1

，四、有阻尼單自由度系統的強迫振動相頻曲線將，代入得：根據上式繪出φ—λ曲線，稱為相頻特性曲線。在較小的情況下，φ—λ曲線在λ=1時初有突變，這一特征可用于測試系統的共振頻率。四、有阻尼單自由度系統的強迫振動例：設有一個包裝件系統，其固有頻率f=30Hz，阻尼比

，試求這個系統發生共振時的激振頻率；已知外部激勵振幅為0.8