2023-2024學年河南省鄭州市桐柏一中學九年級數學第一學期期末監測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，正方形ABCD的邊長是4，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值（）A．2B．4C．2D．42．如圖，中，點、分別在、上，，，則與四邊形的面積的比為（）A． B． C． D．3．把拋物線向右平移l個單位，然后向下平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（）A． B．C． D．4．已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，則這個三角形的周長為（）A．21 B．20 C．19 D．185．拋物線y=x2+2x﹣3的最小值是（）A．3B．﹣3C．4D．﹣46．由二次函數可知（）A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線C．其頂點坐標為 D．當時，隨的增大而增大7．如圖，水平地面上有一面積為30cm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面.將這個扇形向右滾動(無滑動)至點B剛好接觸地面為止，則在這個滾動過程中，點O移動的距離是()A．cm B．cm C．cm D．30cm8．如圖，以原點O為圓心的圓交x軸于點A、B兩點，交y軸的正半軸于點C，D為第一象限內上的一點，若，則的度數是A．B．C．D．9．小華同學某體育項目7次測試成績如下（單位：分）：9，7，1，8，1，9，1．這組數據的中位數和眾數分別為（）A．8，1 B．1，9 C．8，9 D．9，110．（湖南省婁底市九年級中考一模數學試卷）將數字“6”旋轉180°，得到數字“9”，將數字“9”旋轉180°，得到數字“6”，現將數字“69”旋轉180°，得到的數字是（）A．96B．69C．66D．99二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，過上一點作的切線，與直徑的延長線交于點，若，則的度數為__________．12．如圖，拋物線與直線的兩個交點坐標分別為，則關于x的方程的解為________．13．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝60°，BC＝6，則⊙O的半徑是_____．14．一只螞蟻在如圖所示的方格地板上隨機爬行，每個小方格形狀大小完全相同，當螞蟻停下時，停在地板中陰影部分的概率為________．15．若拋物線與軸兩個交點間的距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線，已知某定弦拋物線的對稱軸為直線，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線的解析式是______．16．在中，已知cm，cm，P是BC的中點，以點P為圓心，3cm為半徑畫☉P，則點A與☉P的位置關系是____________.17．如圖，在平面直角坐標系中，為線段上任一點，作交線段于，當的長最大時，點的坐標為_________．18．如圖，⊙O與矩形ABCD的邊AB、CD分別相交于點E、F、G、H，若AE+CH=6，則BG+DF為_________．三、解答題(共66分)19．（10分）在日常生活中我們經常會使用到訂書機，如圖MN是裝訂機的底座，AB是裝訂機的托板AB始終與底座平行，連接桿DE的D點固定，點E從A向B處滑動，壓柄BC繞著轉軸B旋轉．已知連接桿BC的長度為20cm，BD＝cm，壓柄與托板的長度相等．（1）當托板與壓柄的夾角∠ABC＝30°時，如圖①點E從A點滑動了2cm，求連接桿DE的長度．（2）當壓柄BC從（1）中的位置旋轉到與底座垂直，如圖②．求這個過程中，點E滑動的距離．（結果保留根號）20．（6分）如圖，拋物線經過點，與軸相交于，兩點，（1）拋物線的函數表達式；（2）點在拋物線的對稱軸上，且位于軸的上方，將沿沿直線翻折得到，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求點和點的坐標；（3）設是拋物線上位于對稱軸右側的一點，點在拋物線的對稱軸上，當為等邊三角形時，求直線的函數表達式.21．（6分）已知如圖AB∥EF∥CD，（1）△CFG∽△CBA嗎？為什么？（2）求的值．22．（8分）已知二次函數的圖象頂點是，且經過，求這個二次函數的表達式．23．（8分）如圖，中，，是的中點，于.（1）求證：；（2）當時，求的度數.24．（8分）數學概念若點在的內部，且、和中有兩個角相等，則稱是的“等角點”，特別地，若這三個角都相等，則稱是的“強等角點”.理解概念（1）若點是的等角點，且，則的度數是.（2）已知點在的外部，且與點在的異側，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點.當的邊滿足下面的條件時，求證：是的等角點.（要求：只選擇其中一道題進行證明！）①如圖①，②如圖②，深入思考（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規作它的強等角點.（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）下列關于“等角點”、“強等角點”的說法：①直角三角形的內心是它的等角點；②等腰三角形的內心和外心都是它的等角點；③正三角形的中心是它的強等角點；④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內部到三個頂點距離之和最小的點，其中正確的有.（填序號）25．（10分）已知關于x的方程x2-（m+3）x+m+1＝1．（1）求證：不論m為何值，方程都有兩個不相等的實數根；（2）若方程一根為4，以此時方程兩根為等腰三角形兩邊長，求此三角形的周長．26．（10分）2019年11月26日，魯南高鐵正式開通運營．魯南高鐵臨沂段修建過程中需要經過一座小山．如圖，施工方計劃沿AC方向挖隧道，為了加快施工速度，要在小山的另一側D（A、C、D共線）處同時施工．測得∠CAB＝30°，，∠ABD＝105°，求AD的長．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】過D作AE的垂線交AE于F，交AC于D′，再過D′作AP′⊥AD，由角平分線的性質可得出D′是D關于AE的對稱點，進而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值．【詳解】作D關于AE的對稱點D′，再過D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D關于AE的對稱點，AD′=AD=4，∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=22，即DQ+PQ的最小值為22，故答案為C．【點睛】本題考查了正方形的性質以及角平分線的性質和全等三角形的判定和性質和軸對稱-最短路線問題，根據題意作出輔助線是解答此題的2、C【分析】因為DE∥BC，所以可得△ADE∽△ABC，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可．【詳解】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵AD：DB=1：2，

∴AD：AB=1：3，

∴，

∴△ADE的面積與四邊形DBCE的面積之比=1：8，

故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．3、D【分析】根據題意原拋物線的頂點坐標為（0，0），根據平移規律得平移后拋物線頂點坐標為（1，-3），根據拋物線的頂點式求解析式．【詳解】解：拋物線形平移不改變解析式的二次項系數，平移后頂點坐標為（1，-3），∴平移后拋物線解析式為．故選：D．【點睛】本題考查拋物線的平移與拋物線解析式的聯系，關鍵是把拋物線的平移轉化為頂點的平移，利用頂點式求解析式．4、A【解析】試題分析：由于等腰三角形的兩腰相等，題目給出了腰和底，根據周長的定義即可求解：∵8+8+5=1．∴這個三角形的周長為1．故選A．考點：等腰三角形的性質．5、D【解析】把y=x2+2x﹣3配方變成頂點式，求出頂點坐標即可得拋物線的最小值.【詳解】∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣1，∴頂點坐標為（﹣1，﹣1），∵a=1＞0，∴開口向上，有最低點，有最小值為﹣1．故選：D．【點睛】本題考查二次函數最值的求法：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，熟練掌握并靈活運用適當方法是解題關鍵.6、B【分析】根據二次函數的圖像與性質即可得出答案.【詳解】A：a=3，所以開口向上，故A錯誤；B：對稱軸=4，故B正確；C：頂點坐標為(4，-2)，故C錯誤；D：當x<4時，y隨x的增大而減小，故D錯誤；故答案選擇D.【點睛】本題考查的是二次函數，比較簡單，需要熟練掌握二次函數的圖像與性質.7、A【解析】如下圖，在灰色扇形OAB向右無滑動滾動過程中，點O移動的距離等于線段A1B1的長度，而A1B1的長度等于灰色扇形OAB中弧的長度，∵S扇形=，OA=6，∴（cm），即點O移動的距離等于：cm.故選A.點睛：在扇形沿直線無滑動滾動的過程中，由于圓心到圓上各點的距離都等于半徑，所以此時圓心作的是平移運動，其平移的距離就等于扇形沿直線滾動的路程.8、D【分析】根據圓周角定理求出，根據互余求出∠COD的度數，再根據等腰三角形性質即可求出答案．【詳解】解：連接OD，，，，，.故選D．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形性質等知識.熟練應用圓周角定理是解題的關鍵．9、D【解析】試題分析：把這組數據從小到大排列：7，8，9，9，1，1，1，最中間的數是9，則中位數是9；1出現了3次，出現的次數最多，則眾數是1；故選D．考點：眾數；中位數．10、B【解析】現將數字“69”旋轉180°，得到的數字是：69，故選B．二、填空題(每小題3分,共24分)11、26°【分析】連接OC，利用切線的性質可求得∠COD的度數，然后利用圓周角定理可得出答案．【詳解】解：連接OC，

∵CD與⊙O相切于點D，與直徑AB的延長線交于點D，

∴∠DCO=90°，

∵∠D=38°，

∴∠COD=52°，

∴∠E=∠COD=26°，

故答案為：26°．【點睛】此題考查切線的性質以及圓周角定理，關鍵是通過連接半徑構造直角三角形求出∠COD的度數．12、【詳解】∵拋物線與直線的兩個交點坐標分別為，∴方程組的解為，，即關于x的方程的解為．13、1【分析】作直徑CD，如圖，連接BD，根據圓周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝10°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關系求出CD，從而得到⊙O的半徑．【詳解】解：作直徑CD，如圖，連接BD，∵CD為⊙O直徑，∴∠CBD＝90°，∵∠D＝∠A＝10°，∴BD＝BC＝×1＝1，∴CD＝2BD＝12，∴OC＝1，即⊙O的半徑是1．故答案為1．【點睛】本題主要考查圓周角的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握圓周角的性質.14、【解析】分析：首先確定陰影的面積在整個面積中占的比例，根據這個比例即可求出螞蟻停在陰影部分的概率．詳解：∵正方形被等分成9份，其中陰影方格占4份，

∴當螞蟻停下時，停在地板中陰影部分的概率為，

故答案為．點睛：此題主要考查了幾何概率，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．15、【分析】先根據定弦拋物線的定義求出定弦拋物線的表達式，再按圖象的平移規律平移即可．【詳解】∵某定弦拋物線的對稱軸為直線∴某定弦拋物線過點∴該定弦拋物線的解析式為將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線的解析式是即故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數圖象的平移，能夠求出定弦拋物線的表達式并掌握平移規律是解題的關鍵．16、點A在圓P內【分析】求出AP的長，然后根據點與圓的位置關系判斷即可.【詳解】∵AB=AC，P是BC的中點，∴AP⊥BC，BP=3cm，∴AP=cm，∵，∴點A在圓P內.故答案為：點A在圓P內.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，點與圓的位置關系，關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d>r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d<r時，點在圓內.17、（3，）【分析】根據勾股定理求出AB，由DE⊥BD，取BE的中點F，以點F為圓心，BF長為半徑作半圓，與x軸相切于點D，連接FD，設AE=x，利用相似三角形求出x，再根據三角形相似求出點E的橫縱坐標即可.【詳解】∵A(4,0)，B（0,3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，取BE的中點F，以點F為圓心，BF長為半徑作半圓，與x軸相切于點D，連接FD，設AE=x，則BF=EF=DF=，∵∠ADF=∠AOB=90°，∴DF∥OB∴△ADF∽△AOB∴∴，解得x=，過點E作EG⊥x軸，∴EG∥OB，∴△AEG∽△ABO，∴，∴,∴EG=，AG=1，∴OG=OA-AG=4-1=3，∴E（3，）,故答案為：（3，）.【點睛】此題考查圓周角定理，相似三角形的判定及性質，勾股定理，本題借助半圓解題使題中的DE⊥BD所成的角確定為圓周角，更容易理解，是解此題的關鍵.18、6【分析】作EM⊥BC，HN⊥AD，易證得，繼而證得，利用等量代換即可求得答案.【詳解】過E作EM⊥BC于M，過H作HN⊥AD于N，如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴，∴，∵四邊形ABCD為矩形，且EM⊥BC，HN⊥AD，∴四邊形ABME、EMHN、NHCD均為矩形，∴，AE=BM，EN=MH，ND=HC，在和中，∴(HL)，∴，∴，故答案為：【點睛】本題考查了矩形的判定和性質、直角三角形的判定和性質、平行弦所夾的弧相等、等弧對等弦等知識，靈活運用等量代換是解題的關鍵.三、解答題(共66分)19、（1）DE=2cm；（2）這個過程中，點E滑動的距離（18-6）cm．【解析】（1）如圖1中，作DH⊥BE于H．求出DH，BH即可解決問題．（2）解直角三角形求出BE即可解決問題．【詳解】（1）如圖1中，作DH⊥BE于H．在Rt△BDH中，∵∠DHB=90°，BD=4cm，∠ABC=30°，∴DH=BD=2（cm），BH=DH=6（cm），∵AB=CB=20cm，AE=2cm，∴EH=20-2-6=12（cm），∴DE===2（cm）．（2）在Rt△BDE中，∵DE=2，BD=4，∠DBE=90°，∴BE==6（cm），∴這個過程中，點E滑動的距離（18-6）cm．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．20、（1）；（2）點的坐標為；（3）直線的函數表達式為或.【分析】（1）根據待定系數法確定函數關系式即可求解；（2）設拋物線的對稱軸與軸交于點，則點的坐標為，.由翻折得，求出CH’的長，可得，求出DH的長，則可得D的坐標；（3）由題意可知為等邊三角形，分兩種討論①當點在軸上方時，點在軸上方，連接，，證出，可得垂直平分，點在直線上，可求出直線的函數表達式；②當點在軸下方時，點在軸下方，同理可求出另一條直線解析式.【詳解】（1）由題意，得解得拋物線的函數表達式為.（2）拋物線與軸的交點為，，拋物線的對稱軸為直線.設拋物線的對稱軸與軸交于點，則點的坐標為，.上翻折得.在中，由勾股定理，得.’點的坐標為，..由翻折得.在中，.點的坐標為.（3）取（2）中的點，，連接.，.為等邊三角形，分類討論如下：①當點在軸上方時，點在軸上方.連接，，為等邊三角形，，，.，.,點在拋物線的對稱軸上，，，又，垂直平分.由翻折可知垂直平分.點在直線上，設直線的函數表達式為，則解得直線的函數表達式為.②當點在軸下方時，點在軸下方.，為等邊三角形，，，....，..設與軸相交于點.在中，.點的坐標為，設直線的函數表達式為，則解得直線的函數表達式為.綜上所述，直線的函數表達式為或.【點睛】此題主要考查二次函數綜合，解題的關鍵是熟知二次函數的圖像與性質、三角函數、等邊三角形的性質.21、（1）△CFG∽△CBA，見解析；（2）【分析】（1）由題意利用相似三角形的判定定理-平行模型進行分析證明即可；（2）根據題意平行線分線段成比例定理進行分析求值.【詳解】解：（1）△CFG∽△CBA，理由如下，∵AB∥EF，∴FG∥AB，∴△CFG∽△CBA．（2）∵AB∥EF∥CD，∴,∴,∵△CFG∽△CBA，∴.【點睛】本題考查相似三角形的性質及平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練運用相似三角形的性質以及判定．22、【分析】根據二次函數解析式的頂點式以及待定系數法，即可得到答案．【詳解】把頂點代入得：，把代入得：，∴二次函數的表達式為：．【點睛】本題主要考查二次函數的待定系數法，掌握二次函數解析式的頂點式是解題的關鍵．23、（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）易證∽，再利用相似三角形的性質即可得出結論；（2）已有，然后利用（1）的結論進行代換，即可根據兩邊成比例且夾角相等證得∽，再利用相似三角形的性質即可得出結果.【詳解】解：（1）在和中，∵，，∴∽，∴，∴；（2）∵是中點，∴，∵，∴.∵，∴∽，∴.∵，∴.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，屬于常考題型，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題關鍵.24、（1）100、130或1；（2）選擇①或②，理由見解析；（3）見解析；（4）③⑤【分析】（1）根據“等角點”的定義，分類討論即可；（2）①根據在同圓中，弧和弦的關系和同弧所對的圓周角相等即可證明；②弧和弦的關系和圓的內接四邊形的性質即可得出結論；（3）根據垂直平分線的性質、等邊三角形的性質、弧和弦的關系和同弧所對的圓周角相等作圖即可；（4）根據“等角點”和“強等角點”的定義，逐一分析判斷即可．【詳解】（1）（i）若=時，∴==100°（ii）若時，∴（360°－）=130°；（iii）若=時，360°－－=1°，綜上所述：=100°、130°或1°故答案為：100、130或1．（2）選擇①：連接∵∴∴∵，∴∴是的等角點．選擇②連接∵∴∴∵四邊形是圓的內接四邊形，∴∵∴∴是的等角點（3）作BC的中垂線MN，以C為圓心，BC的長為半徑作弧交MN與點D，連接BD，根據垂直平分線的性質和作圖方法可得：BD=CD=BC∴△BCD為等邊三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分線交MN于點O以O為圓心OB為半徑作圓，交AD于點Q，圓O即為△BCD的外接圓∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如圖③，點即為所求．（4）③⑤．①如下圖所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內心假設∠BAC=60°，∠ACB=30°∵點O是△ABC的內心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°顯然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①錯誤；②對于鈍角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角點的定義，故②錯誤；③正三角形的每個中心角都為：360°÷3=