2023-2024學年北京朝陽區數學九上期末監測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖,線段,點是線段的黃金分割點(),點是線段的黃金分割點(),點是線段的黃金分割點(),..,依此類推,則線段的長度是（）A． B． C． D．2．平面直角坐標系中，點P，Q在同一反比例函數圖象上的是()A．P(－2，－3)，Q(3，－2) B．P(2，－3)，Q(3，2)C．P(2，3)，Q(－4，－) D．P(－2，3)，Q(－3，－2)3．某商場舉行投資促銷活動，對于“抽到一等獎的概率為”，下列說法正確的是（）A．抽一次不可能抽到一等獎B．抽次也可能沒有抽到一等獎C．抽次獎必有一次抽到一等獎D．抽了次如果沒有抽到一等獎，那么再抽一次肯定抽到一等獎4．如圖直角三角板∠ABO＝30°，直角項點O位于坐標原點，斜邊AB垂直于x軸，頂點A在函數的y1＝圖象上，頂點B在函數y2＝的圖象上，則＝（）A． B． C． D．5．若關于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的一個根是x＝1，則m的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，、、是的切線，、、是切點，分別交、于、兩點.如，則的度數為（）A． B． C． D．7．如圖，將繞點按逆時針方向旋轉后得到，若，則的度數為()A． B． C． D．8．二次函數y=-2(x+1)2+5的頂點坐標是()A．-1 B．5 C．(1,5) D．(-1,5)9．從一個不透明的口袋中摸出紅球的概率為，已知口袋中的紅球是3個，則袋中共有球的個數是（）A．5 B．8 C．10 D．1510．如圖，DE是的中位線，則與的面積的比是A．1：2B．1：3C．1：4D．1：911．某路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當小明到達該路口時，遇到綠燈的概率是（）A． B． C． D．12．拋物線與坐標軸的交點個數為（）A．個 B．個或個 C．個 D．不確定二、填空題（每題4分，共24分）13．繞著A點旋轉后得到，若，，則旋轉角等于_____．14．如圖，一路燈B距地面高BA＝7m，身高1.4m的小紅從路燈下的點D出發，沿A→H的方向行走至點G，若AD＝6m，DG＝4m，則小紅在點G處的影長相對于點D處的影長變長了_____m．15．如圖，△ABC中，AB＝6，BC＝1．如果動點D以每秒2個單位長度的速度，從點B出發沿邊BA向點A運動，此時直線DE∥BC，交AC于點E．記x秒時DE的長度為y，寫出y關于x的函數解析式_____（不用寫自變量取值范圍）．16．如圖,邊長為2的正方形ABCD中心與半徑為2的⊙O的圓心重合,E、F分別是AD、BA的延長與⊙O的交點,則圖中陰影部分的面積是______.(結果保留)17．某水果公司以1．1元/千克的成本價購進蘋果．公司想知道蘋果的損壞率，從所有蘋果中隨機抽取若干進行統計，部分數據如下：蘋果損壞的頻率0.1060.0970.1010.0980.0990.101估計這批蘋果損壞的概率為______精確到0.1），據此，若公司希望這批蘋果能獲得利潤13000元，則銷售時（去掉損壞的蘋果）售價應至少定為______元/千克．18．反比例函數y=的圖象分布在第一、三象限內，則k的取值范圍是______．三、解答題（共78分）19．（8分）已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，點D、E分別在邊AB、BC上，且AD∶DB=2∶3，DE⊥BC．（1）求∠DCE的正切值；（2）如果設，，試用、表示.20．（8分）如圖，內接于，直徑交于點，延長至點，使，且，連接并延長交過點的切線于點，且滿足，連接．(1)求證：；(2)求證：是的切線．21．（8分）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上(不與點C，D重合)，連接AE，BD交于點F.（1）若點E為CD中點，AB＝2，求AF的長.（2）若∠AFB＝2，求的值.（3）若點G在線段BF上，且GF＝2BG，連接AG，CG，設＝x，四邊形AGCE的面積為，ABG的面積為，求的最大值.22．（10分）全國第二屆青年運動會是山西省歷史上第一次舉辦的大型綜合性運動會，太原作為主賽區，新建了很多場館，其中在汾河東岸落成了太原水上運動中心，它的終點塔及媒體中心是一個以“大帆船”造型（如圖1），外觀極具創新，這里主要承辦賽艇、皮劃艇、龍舟等項目的比賽.“青春”數學興趣小組為了測量“大帆船”AB的長度，他們站在汾河西岸，在與AB平行的直線l上取了兩個點C、D，測得CD=40m，∠CDA=110°，∠ACB=18.5°，∠BCD=16.5°，如圖1．請根據測量結果計算“大帆船”AB的長度．（結果精確到0.1m,參考數據：sin16.5°≈0.45，tan16.5°≈0.50，≈1.41，≈1.73）23．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，點的坐標分別是，與軸交于點．點在第一、二象限的拋物線上，過點作軸的平行線分別交軸和直線于點、．設點的橫坐標為，線段的長度為．⑴求這條拋物線對應的函數表達式；⑵當點在第一象限的拋物線上時，求與之間的函數關系式；⑶在⑵的條件下，當時，求的值．24．（10分）計算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣tan45°25．（12分）計算：（1）；（2）.26．(1)(x－5)2－9＝0(2)x2＋4x－2＝0

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【解析】根據黃金分割的定義得到，則，同理得到，，根據此規律得到．據此可得答案．【詳解】解：線段，點是線段的黃金分割點，，，點是線段的黃金分割點，，，．所以線段的長度是，故選：．【點睛】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項（即，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點；其中，并且線段的黃金分割點有兩個．2、C【解析】根據反比函數的解析式y=（k≠0），可得k=xy，然后分別代入P、Q點的坐標，可得：-2×（-3）=6≠3×（-2），故不在同一反比例函數的圖像上；2×（-3）=-6≠2×3，故不正確同一反比例函數的圖像上；2×3=6=（-4）×（－），在同一反比函數的圖像上；-2×3≠（-3）×（-2），故不正確同一反比例函數的圖像上.故選C.點睛：此題主要考查了反比例函數的圖像與性質，解題關鍵是求出函數的系數k，比較k的值是否相同來得出是否在同一函數的圖像上.3、B【解析】根據大量反復試驗時，某事件發生的頻率會穩定在某個常數的附近，這個常數就叫做事件概率的估計值，而不是一種必然的結果，可得答案．【詳解】A.“抽到一等獎的概率為”，抽一次也可能抽到一等獎，故錯誤；B.“抽到一等獎的概率為”，抽10次也可能抽不到一等獎，故正確；C.“抽到一等獎的概率為”，抽10次也可能抽不到一等獎，故錯誤；D.“抽到一等獎的概率為”，抽第10次的結果跟前面的結果沒有關系，再抽一次也不一定抽到一等獎，故錯誤；故選B.【點睛】關鍵是理解概率是反映事件的可能性大小的量.概率小的有可能發生,概率大的有可能不發生.概率等于所求情況數與總情況數之比.4、D【分析】設AC＝a，則OA＝2a，OC＝a，根據直角三角形30°角的性質和勾股定理分別計算點A和B的坐標，寫出A和B兩點的坐標，代入解析式求出k1和k2的值，即可求的值．【詳解】設AB與x軸交點為點C，Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，∴∠OAC＝60°，∵AB⊥OC，∴∠ACO＝90°，∴∠AOC＝30°，設AC＝a，則OA＝2a，OC＝a，∴A（a，a），∵A在函數y1＝的圖象上，∴k1＝a×a＝a2，Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a，∴BC＝＝3a，∴B（a，﹣3a），∵B在函數y2＝的圖象上，∴k2＝﹣3a×a＝﹣3a2，∴＝，故選：D．【點睛】此題考查反比例函數的性質，勾股定理，直角三角形的性質，設AC＝a是解題的關鍵，由此表示出其他的線段求出k1與k2的值，才能求出結果.5、C【分析】根據一元二次方程的解的定義，把x＝1代入方程得1+2﹣m＝0，然后解關于m的一次方程即可．【詳解】解：把x＝1代入x2+2x﹣m＝0得1+2﹣m＝0，解得m＝1．故選：C．【點睛】本題考查一元二次的代入求參數,關鍵在于掌握基本運算方法.6、C【分析】連接OA、OB、OE，由切線的性質可求出∠AOB，再由切線長定理可得出∠COD=∠AOB，可求得答案．【詳解】解：連接OA、OE、OB，所得圖形如下：由切線性質得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=∠AOB，∵∠APB=40°，∴∠AOB=140°，∴∠COD=70°．【點睛】本題考查了切線的性質及切線長定理，解答本題的關鍵是熟練掌握：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．7、A【分析】根據旋轉的性質即可得到結論．【詳解】解：∵將繞點按逆時針方向旋轉后得到，

∴，

∴，

故選：A．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，旋轉的性質的應用，能求出∠ACD的度數是解此題的關鍵．8、D【解析】直接利用頂點式的特點寫出頂點坐標．【詳解】因為y=2（x+1）2-5是拋物線的頂點式，根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為（-1，5）．故選：D．【點睛】主要考查了求拋物線的頂點坐標的方法，熟練掌握頂點式的特點是解題的關鍵.9、D【分析】根據概率公式，即可求解.【詳解】3÷=15（個），答：袋中共有球的個數是15個.故選D.【點睛】本題主要考查概率公式，掌握概率公式，是解題的關鍵.10、C【分析】由中位線可知DE∥BC，且DE=BC；可得△ADE∽△ABC，相似比為1:2；根據相似三角形的面積比是相似比的平方，即得結果．【詳解】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，相似比為1:2，∵相似三角形的面積比是相似比的平方，∴△ADE與△ABC的面積的比為1:4.故選C.【點睛】本題要熟悉中位線的性質及相似三角形的判定及性質，牢記相似三角形的面積比是相似比的平方．11、D【分析】隨機事件A的概率事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數．【詳解】解：每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當小明到達該路口時，遇到綠燈的概率，故選D．【點睛】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．12、C【分析】根據題意，與y軸有一個交點，令y=0，利用根的判別式進行判斷一元二次方程的根的情況，得到與x軸的交點個數，即可得到答案.【詳解】解：拋物線與y軸肯定有一個交點；令y=0，則，∴==；∴拋物線與x軸有2個交點；∴拋物線與坐標軸的交點個數有3個；故選：C.【點睛】本題考查了二次函數與坐標軸的交點情況，以及一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握二次函數的性質，正確得到與坐標軸的交點.二、填空題（每題4分，共24分）13、50°或210°【分析】首先根據題意作圖，然后由∠BAC′=130°，∠BAC=80°，即可求得答案．【詳解】解：∵∠BAC′=130°，∠BAC=80°，

∴如圖1，∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=50°，

如圖2，∠CAC′=∠BAC′+∠BAC=210°．

∴旋轉角等于50°或210°．

故答案為：50°或210°．【點睛】本題考查了旋轉的性質．注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．14、1．【分析】根據由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，即、，據此求得DE、HG的值，從而得出答案．【詳解】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，∴、，即、，解得：DE＝1.5、HG＝2.5，∵HG﹣DE＝2.5﹣1.5＝1，∴影長變長1m．故答案為：1．【點睛】本題考查了相似三角形的應用：利用影長測量物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．15、y＝﹣3x+1【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性質，可得出y關于x的函數解析式．【詳解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴y＝﹣3x+1．故答案為：y＝﹣3x+1．【點睛】本題考查根據實際問題列函數關系式，利用相似三角形的性質得出是關鍵.16、－1【分析】延長DC，CB交⊙O于M，N，根據圓和正方形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：延長DC，CB交⊙O于M，N，則圖中陰影部分的面積＝×（S圓O?S正方形ABCD）＝×（4π?4）＝π?1，故答案為π?1．【點睛】本題考查了圓中陰影部分面積的計算，正方形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．17、0.23【分析】根據利用頻率估計概率得到隨實驗次數的增多，發芽的頻率越來越穩定在0.2左右，由此可估計蘋果的損壞概率為0.2；根據概率計算出完好蘋果的質量為20000×0.9=9000千克，設每千克蘋果的銷售價為x元，然后根據“售價=進價+利潤”列方程解答．【詳解】解：根據表中的損壞的頻率，當實驗次數的增多時，蘋果損壞的頻率越來越穩定在0.2左右，

所以蘋果的損壞概率為0.2．

根據估計的概率可以知道，在20000千克蘋果中完好蘋果的質量為20000×0.9=9000千克．

設每千克蘋果的銷售價為x元，則應有9000x=2.2×20000+23000，

解得x=3．

答：出售蘋果時每千克大約定價為3元可獲利潤23000元．

故答案為：0.2，3．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：用到的知識點為：頻率=所求情況數與總情況數之比．得到售價的等量關系是解決（2）的關鍵．18、k＞0【詳解】∵反比例函數的圖象在一、三象限，∴k＞0，三、解答題（共78分）19、（1）；（2）．【解析】試題分析：在中，根據，設則根據得出：根據平行線分線段成比例定理，用表示出即可求得.先把用表示出來，根據向量加法的三角形法則即可求出.試題解析：（1），∴，∴設則即又，∴AC//DE．∴，，∴，．∴，．∴．（2）∵，，∴．．∵，∴．20、（1）詳見解析；（2）詳見解析．【分析】（1）根據切線的性質得到∠GAF=90°，根據平行線的性質得到AE⊥BC，根據圓周角定理即可得到結論；

（2）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，由得到OC=OD=3OE，推出△COE∽△FOC，根據相似三角形的性質得到∠OCF=∠OEC=90°，于是得到CF是⊙O的切線．【詳解】解：(1)是的切線，是的直徑，，，，，，，；(2)，，，，，，是的切線．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，根據切線的判定和性質去分析所缺條件是解題的關鍵．21、（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由可得DE的長，利用勾股定理可得AE的長，又易證，由相似三角形的性質可得，求解即可得；（2）如圖（見解析），連接AC與BD交于點O，由正方形的性質可知，，，設，在中，可求出，從而可得DF和BF的長，即可得出答案；（3）設正方形的邊長，可得DE、AO、BO、BD的長，由可得BF的長，又根據可得BG的長，從而可得的面積，用正方形的面積減去三個三角形的面積可得四邊形AGCE的面積，再利用二次函數的性質求解的最大值.【詳解】（1）為CD中點，，，即又；（2）如圖，連接AC與BD交于點O由正方形的性質得，設在中，，；（3）設正方形的邊長，則由（1）知，又又又由二次函數圖象的性質得：當時，有最大值，最大值為.【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理和性質、正切三角函數、二次函數圖象的性質，難度較大的是題（3），利用相似三角形的性質求出BG的長是解題關鍵.22、“大帆船”AB的長度約為94.8m【分析】分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點E、F，設DE=xm，得BF=AE=CE=(x+40)m，AE=x，列出方程，求出x的值，進而即可求解．【詳解】分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點E、F，設DE=xm，易知四邊形ABFE是矩形，∴AB=EF，AE=BF．∵∠DCA=∠ACB+∠BCD=18.5°+16.5°=45°，∴BF=AE=CE=(x+40)m．∵∠CDA=110°，∴∠ADE=60°．∴AE=x·tan60°=x，∴x=x+40，解得：x≈54.79（m）．∴BF=CE=54.79+40=94.79（m）．∴CF=≈189.58（m）．∴EF=CF-CE=189.58-94.79≈94.8（m）．∴AB=94.8（m）．答：“大帆船”AB的長度約為94.8m．【點睛】本題主要考查三角函數的實際應用，添加輔助線，構造直角三角形，熟練掌握三角函數的定義，是解題的關鍵．23、（1）；（2）當時，，當時，；（3）或．【分析】（1）由題意直接根據待定系數法，進行分析計算即可得出函數解析式；（2）根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標，根據待定系數法，可得BC的解析式，根據E點的縱坐標，可得E點的橫坐標，根據兩點間的距離，可得答案；（3）由題意根據PE與DE的關系，可得關于