專題11等腰三角形與其他知識的綜合（原卷版）類型一等腰三角形與平行線、角平分線的綜合1．（2022秋?洛江區期末）在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，過點I作DE∥BC交BA于點D，交AC于點E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，則下列說法錯誤的是（）A．△DBI和△EIC是等腰三角形 B．DI＝1.5IE C．△ADE的周長是8 D．∠BIC＝115?2．（2023秋?南宮市期末）已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點E，EF∥AB交AC于點F．求證：△FEC是等腰三角形．3．（2020秋?延邊州期末）如圖，等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）如圖①，點E為AB的中點，求證：AE＝DB．（2）如圖②，點E在邊AB上時，AEDB（填：“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：過點E作EF∥BC，交AC于點F（請你完成以下解答過程）．（3）在等邊△ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若AB＝1，AE＝2時，直接寫出CD的長．類型二等腰三角形與垂直平分線的綜合4．如圖，線段AB，DE的垂直平分線交于點C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，則∠EBD的度數為（）A．168° B．158° C．128° D．118°5．（2024秋?湛江期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是邊AB垂直平分線交AB于E，交AC于D，連接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數．（2）若△BCD的周長為12cm，△ABC的周長為18cm，求BE的長．6．（2020秋?休寧縣期中）如圖，△ABC中，AB＝11，AC＝5，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線DG相交于點D，過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，求BE的長度．

7．（2022秋?亳州期末）如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內部的一條射線，點A關于CN的對稱點為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點E，P．（1）求證：△BCD是等腰三角形；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（3）求證：PB＝PC+2PE．類型三等腰三角形與幾何變換的綜合8．（2011秋?鼓樓區校級期中）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．（1）求證：CE＝CF；（2）將圖1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其他條件不變，如圖2，求證：A′E′是∠CE′D′的角平分線；（3）試猜想：BE′與CF有怎樣的數量關系？請證明你的結論．

9．（2015?趙縣一模）如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．（1）求證：△COD是等邊三角形；（2）當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形？10．（2021春?漳州期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內作等邊三角形AOB，點C為x軸正半軸上一動點（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內作等邊三角形CBD，直