第2頁（共13頁）簡單隨機事件的概率（練習題）1．下列事件中，隨機事件是（）．A．物體在重力的作用下自由下落B.3為實數，C．在某一天內電話收到呼叫次數為0D．今天下雨或不下雨2．下列事件中，必然事件是（）．A．擲一枚硬幣出現正面B．擲一枚硬幣出現反面C．擲一枚硬幣或者出現正面或者出現反面D．擲一枚硬幣，出現正面和反面3．向區間（0，2）內投點，點落入區間（0，1）內屬于（）．A．必然事件B．不可能事件C．隨機事件D．無法確定4．下列事件是隨機事件的個數是________（1）在常溫下，焊錫熔化；（2）明天天晴；（3）自由下落的物體作勻加速直線運動；（4）函數y=3x+2在定義域上是增函數．5.接連三次拋擲一枚硬幣，則正反面輪番出現的概率是________．6．從1，2，…，9共九個數字中任取一個數字，取出數字為偶數的概率為________．7.若A，B為互斥事件，則（）A.P(A)+P(B)＜1B.P(A)+P(B)＞1C.P(A)+P(B)＝1D.P(A)+P(B)18.下列說法正確的是（）A.事件A，B中至少一個發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率大B.事件A,B同時發生的概率一定比A,B中恰有一個發生的概率小C.互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件9.從一批產品中取出三件，設A=“三件產品都不是次品”，B=“三件產品都是次品”，C=“三件產品不都是次品”，則下列結論真確的是()A.A與C互斥B.B與C互斥C.任兩個都互斥D.任兩個均不互斥10.同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則出現兩個正面的的概率是()A.B.C.D.11.投擲兩枚骰子，出現點數之和為3的概率為________12.某小組有三名女生，兩名男生，現從這個小組任意選一名組長，則其中一名女生小李當選為組長的概率________13.某盒中有一個紅色球，兩個白色球，這3個球除了顏色外都相同，有放回的連續抽取2個，每次從中任意取出一個，用列表的方法列出所有可能結果，計算下列事件的概率。（1）取出的兩個球都是白球，（2）取出的兩球中至少有一是白球。14.某射手在一次射擊中命中9環的概率是0.28，8環的概率是0.19，不夠8換得概率是0.29，計算這個射手在一次射擊中命中9環或10環的概率。高中數學概率大題（經典一）一．解答題（共10小題）1．在一次運動會上，某單位派出了有6名主力隊員和5名替補隊員組成的代表隊參加比賽．（1）如果隨機抽派5名隊員上場比賽，將主力隊員參加比賽的人數記為X，求隨機變量X的數學期望；（2）若主力隊員中有2名隊員在練習比賽中受輕傷，不宜同時上場；替補隊員中有2名隊員身材相對矮小，也不宜同時上場；那么為了場上參加比賽的5名隊員中至少有3名主力隊員，教練員有多少種組隊方案？2．某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業務所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘，對以往顧客辦理業務所需的時間統計結果如表：辦理業務所需的時間（分）12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開始辦理業務時計時．（1）估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業務的概率；（2）X表示至第2分鐘末已辦理完業務的顧客人數，求X的分布列及數學期望．3．某單位舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動，進行現場抽獎．盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案；抽獎規則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續重復進行．（1）有三人參加抽獎，要使至少一人獲獎的概率不低于，則“海寶”卡至少多少張？（2）現有甲乙丙丁四人依次抽獎，用ξ表示獲獎的人數，求ξ的分布列及Eξ的值．4．一袋中有m（m∈N*）個紅球，3個黑球和2個白球，現從中任取2個球．（1）當m=4時，求取出的2個球顏色相同的概率；（2）當m=3時，設ξ表示取出的2個球中黑球的個數，求ξ的概率分布及數學期望；（3）如果取出的2個球顏色不相同的概率小于，求m的最小值．5．某商場為促銷設計了一個抽獎模型，一定數額的消費可以獲得一張抽獎券，每張抽獎券可以從一個裝有大小相同的4個白球和2個紅球的口袋中一次性摸出3個球，至少摸到一個紅球則中獎．（Ⅰ）求一次抽獎中獎的概率；（Ⅱ）若每次中獎可獲得10元的獎金，一位顧客獲得兩張抽獎券，求兩次抽獎所得的獎金額之和X（元）的概率分布和期望E（X）．6．將一枚硬幣連續拋擲15次，每次拋擲互不影響．記正面向上的次數為奇數的概率為P1，正面向上的次數為偶數的概率為P2．（Ⅰ）若該硬幣均勻，試求P1與P2；（Ⅱ）若該硬幣有暇疵，且每次正面向上的概率為，試比較P1與P2的大小．7．某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據統計資料預測，今年汛期甲河流發生洪水的概率為0.25，乙河流發生洪水的概率為0.18（假設兩河流發生洪水與否互不影響）．現有一臺大型設備正在該地工作，為了保護設備，施工部門提出以下三種方案：方案1：運走設備，此時需花費4000元；方案2：建一保護圍墻，需花費1000元，但圍墻只能抵御一個河流發生的洪水，當兩河流同時發生洪水時，設備仍將受損，損失約56000元；方案3：不采取措施，此時，當兩河流都發生洪水時損失達60000元，只有一條河流發生洪水時，損失為10000元．（1）試求方案3中損失費ξ（隨機變量）的分布列；（2）試比較哪一種方案好．8．2009年10月1日，為慶祝中華人們共和國成立60周年，來自北京大學和清華大學的共計6名大學生志愿服務者被隨機平均分配到天安門廣場運送礦泉水、清掃衛生、維持秩序這三個崗位服務，且運送礦泉水崗位至少有一名北京大學志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中來自北京大學、清華大學的各幾人；（2）求清掃衛生崗位恰好北京大學、清華大學人各一人的概率；（3）設隨機變量ζ為在維持秩序崗位服務的北京大學志愿者的人數，求ζ分布列及期望．9．在1，2，3，…9這9個自然數中，任取3個不同的數．（1）求這3個數中至少有1個是偶數的概率；（2）求這3個數和為18的概率；（3）設ξ為這3個數中兩數相鄰的組數（例如：若取出的數為1，2，3，則有兩組相鄰的數1，2和2，3，此時ξ的值是2）．求隨機變量ξ的分布列及其數學期望Eξ．10．某單位組織4個部門的職工旅游，規定每個部門只能在韶山、衡山、張家界3個景區中任選一個，假設各部門選擇每個景區是等可能的．（Ⅰ）求3個景區都有部門選擇的概率；（Ⅱ）求恰有2個景區有部門選擇的概率．

參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2016?南通模擬）在一次運動會上，某單位派出了有6名主力隊員和5名替補隊員組成的代表隊參加比賽．（1）如果隨機抽派5名隊員上場比賽，將主力隊員參加比賽的人數記為X，求隨機變量X的數學期望；（2）若主力隊員中有2名隊員在練習比賽中受輕傷，不宜同時上場；替補隊員中有2名隊員身材相對矮小，也不宜同時上場；那么為了場上參加比賽的5名隊員中至少有3名主力隊員，教練員有多少種組隊方案？【解答】解：（1）由題意知隨機變量X的取值是0、1、2、3、4、5，∵當X=0時，表示主力隊員參加比賽的人數為0，以此類推，∴P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=．∴隨機變量X的概率分布如下表：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=≈2.73（2）由題意知①上場隊員有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（種）②上場隊員有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（種）③上場隊員有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（種）教練員組隊方案共有144+45+2=191種．2．（2012?陜西）某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業務所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘，對以往顧客辦理業務所需的時間統計結果如表：辦理業務所需的時間（分）12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開始辦理業務時計時．（1）估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業務的概率；（2）X表示至第2分鐘末已辦理完業務的顧客人數，求X的分布列及數學期望．【解答】解：設Y表示顧客辦理業務所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1（1）A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業務”，則時間A對應三種情形：①第一個顧客辦理業務所需時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業務所需的時間均為2分鐘．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值為：0，1，2．X=0對應第一個顧客辦理業務所需的時間超過2分鐘，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1對應第一個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業務所需時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業務所需的時間為2分鐘，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2對應兩個顧客辦理業務所需的時間均為1分鐘，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列為X012P0.50.490.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．3．（2012?海安縣校級模擬）某單位舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動，進行現場抽獎．盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案；抽獎規則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續重復進行．（1）有三人參加抽獎，要使至少一人獲獎的概率不低于，則“海寶”卡至少多少張？（2）現有甲乙丙丁四人依次抽獎，用ξ表示獲獎的人數，求ξ的分布列及Eξ的值．【解答】解：（1）記至少一人獲獎事件為A，則都不獲獎的事件，設“海寶”卡n張，則任一人獲獎的概率，∴，由題意：，∴n≥7．至少7張“海寶”卡，（2）ξ～的分布列為；，．4．（2011?江蘇模擬）一袋中有m（m∈N*）個紅球，3個黑球和2個白球，現從中任取2個球．（1）當m=4時，求取出的2個球顏色相同的概率；（2）當m=3時，設ξ表示取出的2個球中黑球的個數，求ξ的概率分布及數學期望；（3）如果取出的2個球顏色不相同的概率小于，求m的最小值．【解答】解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，∵試驗發生包含的事件是從9個球中任取2個，共有C92=36種結果，滿足條件的事件是取出的2個球的顏色相同，包括三種情況，共有C42+C32+C22=10設“取出的2個球顏色相同”為事件A，∴P（A）==．（2）由題意知黑球的個數可能是0，1，2P（ξ=0）=P（ξ=1）=，P（ξ=2）=∴ξ的分布列是∴Eξ=0×+1×+2×=．（3）由題意知本題是一個等可能事件的概率，事件發生所包含的事件數Cx+52，滿足條件的事件是Cx1C31+Cx1C21+C31C21，設“取出的2個球中顏色不相同”為事件B，則P（B）=＜，∴x2﹣6x+2＞0，∴x＞3+或x＜3﹣，x的最小值為6．5．（2010?鼓樓區校級模擬）某商場為促銷設計了一個抽獎模型，一定數額的消費可以獲得一張抽獎券，每張抽獎券可以從一個裝有大小相同的4個白球和2個紅球的口袋中一次性摸出3個球，至少摸到一個紅球則中獎．（Ⅰ）求一次抽獎中獎的概率；（Ⅱ）若每次中獎可獲得10元的獎金，一位顧客獲得兩張抽獎券，求兩次抽獎所得的獎金額之和X（元）的概率分布和期望E（X）．【解答】解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發生的所有事件是從6個球中取三個，共有C63種結果，而滿足條件的事件是摸到一個紅球或摸到兩個紅球，共有C21C42+C22C41設“一次抽獎中獎”為事件A，∴即一次抽獎中獎的概率為；（2）X可取0，10，20，P（X=0）=（0.2）2=0.04，P（X=10）=C21×0.8×0.2=0.32，P（X=20）=（0.8）2=0.64，∴X的概率分布列為∴E（X）=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．6．（2010?鹽城三模）將一枚硬幣連續拋擲15次，每次拋擲互不影響．記正面向上的次數為奇數的概率為P1，正面向上的次數為偶數的概率為P2．（Ⅰ）若該硬幣均勻，試求P1與P2；（Ⅱ）若該硬幣有暇疵，且每次正面向上的概率為，試比較P1與P2的大小．【解答】解：（Ⅰ）拋硬幣一次正面向上的概率為，∴正面向上的次數為奇數次的概率為P1=P15（1）+P15（3）+…+P15（15）=∴（Ⅱ）∵P1=C151p1（1﹣p）14+C153p3（1﹣p）12+…+C1515p15，P2=C150p0（1﹣p）15+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1則P2﹣P1=C150p0（1﹣p）15﹣C151p1（1﹣p）14+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1﹣C1515p15=[（1﹣p）﹣p]15=（1﹣2p）15，而，∴1﹣2p＞0，∴P2＞P17．（2010?南通模擬）某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據統計資料預測，今年汛期甲河流發生洪水的概率為0.25，乙河流發生洪水的概率為0.18（假設兩河流發生洪水與否互不影響）．現有一臺大型設備正在該地工作，為了保護設備，施工部門提出以下三種方案：方案1：運走設備，此時需花費4000元；方案2：建一保護圍墻，需花費1000元，但圍墻只能抵御一個河流發生的洪水，當兩河流同時發生洪水時，設備仍將受損，損失約56000元；方案3：不采取措施，此時，當兩河流都發生洪水時損失達60000元，只有一條河流發生洪水時，損失為10000元．（1）試求方案3中損失費ξ（隨機變量）的分布列；（2）試比較哪一種方案好．【解答】解：（1）在方案3中，記“甲河流發生洪水”為事件A，“乙河流發生洪水”為事件B，則P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一條河流發生洪水的概率為P（A?+?B）=P（A）?P（）+P（）?P（B）=0.34，兩河流同時發生洪水的概率為P（A?B）=0.045，都不發生洪水的概率為P（?）=0.75×0.82=0.615，設損失費為隨機變量ξ，則ξ的分布列為：ξ10000600000P0.340.0450.615（2）對方案1來說，花費4000元；對方案2來說，建圍墻需花費1000元，它只能抵御一條河流的洪水，但當兩河流都發生洪水時，損失約56000元，而兩河流同時發生洪水的概率為P=0.25×0.18=0.045．所以，該方案中可能的花費為：1000+56000×0.045=3520（元）．對于方案來說，損失費的數學期望為：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），比較可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．8．（2010?海安縣校級模擬）2009年10月1日，為慶祝中華人們共和國成立60周年，來自北京大學和清華大學的共計6名大學生志愿服務者被隨機平均分配到天安門廣場運送礦泉水、清掃衛生、維持秩序這三個崗位服務，且運送礦泉水崗位至少有一名北京大學志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中來自北京大學、清華大學的各幾人；（2）求清掃衛生崗位恰好北京大學、清華大學人各一人的概率；（3）設隨機變量ζ為在維持秩序崗位服務的北京大學志愿者的人數，求ζ分布列及期望．【解答】解：（1）記“至少一名北京大學志愿者被分到運送礦泉水崗位”為事件A，則A的對立事件為“沒有北京大學志愿者被分到運送礦泉水崗位”設有北京大學志愿者x個，1≤x＜6，那么P（A）=，解得x=2，即來自北京大學的志愿者有2人，來自清華大學志愿者4人；（2）記“清掃衛生崗位恰好北京大學、清華大學志愿者各有一人”為事件E，那么P（E）=，所以清掃衛生崗位恰好北京大學、清華大學志愿者各一人的概率是；（3）ξ的所有可能值為0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，所以ξ的分布列為Eξ=9．（2010?蘇州模擬）在1，2，3，…9這9個自然數中，任取3個不同的數．（1）求這3個數中至少有1個是偶數的概率；（2）求這3個數和為18的概率；（3）設ξ為這3個數中兩數相鄰的組數（例如：若取出的數為1，2，3，則有兩組相鄰的