授課題目人教A版必修第一冊第三章函數的概念與性質3.1.1函數的概念授課類型新授課教學目標【知識與技能】掌握函數的概念，能判斷兩個變量之間的關系是否可以看作函數．會對一個具體實例進行概括抽象成為函數問題.能指出具體函數的定義域、對應法則、值域.【過程與方法】提高學生利用函數的觀點認識現實世界的意識和能力．經歷具體實例的抽象概括過程，進一步發展學生的抽象思維能力．【情感、態度與價值觀】經歷函數概念的抽象概括過程，體會函數的模型思想．能主動進行觀察、操作、交流、歸納等探索活動，形成自己對數學知識的理解和有效的學習模式.【學科素養】數學抽象：函數符號的含義；邏輯推理：函數的概念；數學運算：求函數的定義域；數學建模：通過從實際問題中抽象概括出函數概念的活動，培養學生從“特殊到一般”的分析問題的能力，提高學生的抽象概括能力;直觀想象：由具體例子概括函數的概念.教學重難點【教學重點】理解函數概念，能根據實際例子用集合語言與對應關系抽象函數概念.【教學難點】函數概念形成中的抽象與概括，能從具體實例中抽象出函數概念.教材分析本節課是《普通高中課程標準數學教科書-必修第一冊》（2019人教A版）第三章第一節《函數的概念與性質》，本節課是第1課時。函數的基本知識是高中數學的核心內容之一，它揭示了現實世界中數量關系之間相互依存和變化的實質，是刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型。本節是學生在學習集合的概念之后，進一步運用集合與對應的觀點探究變量之間的關系，通過抽象、歸納出變量間關系的共同特征，概括出函數的概念，揭示函數核心是“變量間的一種依存關系”，體會抽象、推理、模型這三個數學基本思想，有利于學生基礎知識和基本技能的初步掌握，體現“實踐—理論—再實踐”的認知規律，為全章的學習打下基礎。學情分析對高一學生來說，函數不是一個陌生的概念。學生在初中的學習中已經學習過“符號化”“分類”“類比”“歸納”“建模”等數學思想方法，也具備了一定的主動參與、合作意識和初步的觀察、分析、抽象概括的能力。但是，局限于初中階段學生的認知水平，初中只是通過對正比例函數、反比例函數、一次和二次函數的學習來理解函數的意義，對于函數的概念理解并不深刻，相比于初中，高中函數概念具有高度的抽象性，所以在教學中教師應該將重點放在概念的形成過程中，利用教材提供的案例來進行分析講解，讓學生在思考、交流中感受函數的數學模型。教學過程復習回顧在初中，函數的概念是怎樣表述的？一般地，設在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數.其中x叫自變量，y叫因變量.師生活動：學生口述回答教師問題；教師通過投影展示，引導學生回顧函數初中的概念(“變量說")設計意圖：數學概念往往具有系統性，復習初中函數的定義，強調初中函數的概念是從運動變化的觀點描述了變量之間的依賴關系，即“變量說"，為形成高中函數定義做好鋪墊，由具體到抽象，符合學生的認知能力.引例1正方形的周長l與邊長x的對應關系是l=4x，而且對于每一個確定的x都有唯一的l與之對應，所以l是x的函數．這個函數與正比例函數引例2你能用已有的函數知識判斷y=x與師生活動：學生口述回答教師問題，初步認識初中函數定義的局限性，嘗試尋找解決方法通過問題導向，構造認知沖突，為新知作好鋪墊設計意圖：在原有知識基礎上無法圓滿地解決新問題，引起認知沖突，從而激發學生的學習興趣.探索新知問題1 某高速列車以350km/h后保持勻速運行半小時.這段時間內，列車行進的路程S（km）與運行時間t（h）的關系？S是t的函數嗎？根據對應關系S＝350t，這趟列車加速到350km/h如何用更精確的語言表示問題１中S與t的對應關系？教師活動：教師引導學生利用原有概念的定義自主探究后回答.，由教師作適當點評和示范使用精確化語言描述函數.學生活動：自主思考并回答教師所提出的問題，感受舊概念的局限性.設計意圖：通過問題思考引導學生感受思維和認知沖突，發現原有概念的不足之處,嘗試用更為精確的語言來描述,為新概念的生成作鋪墊.問題2 某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天.如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么一個工人的工資w和他工作天數d有什么關系？一個工人的工資w是他工作天數d的函數嗎？如何用更精確的語言表示問題2中w與d的對應關系？（符號語言到文字語言）問題１和問題2中的函數有相同的對應關系，你認為它們是同一個函數嗎？影響函數的要素有哪些呢？教師活動：教師投影問題后指定學生口述回答關鍵點,突出函數的本質.學生活動：思考教師提出的問題,并口述回答,感悟領會函數的內涵.設計意圖：通過讓學生嘗試對函數作精確語言的描述，再次訓練他們抽象概括能力.通過思考4讓學生聚焦關注函數的定義域、值域問題.問題3 下圖是北京市某日的空氣質量指數I隨時間t的變化圖.思考：你能根據圖找到中午12：00的AQI的值嗎？這個值是否唯一存在？I是t的函數嗎？該函數有解析式嗎？如何用更精確的語言表示問題3中I與t的對應關系？顯然函數值的集合C?B教師活動：教師預留給學生一點時間自主探究思考，再小組合作交流.接著教師再指定小組或同學回答問題。學生活動：以小組為單位討論教師所提出的問題，并在全班展示,完善認知.設計意圖：引導學生認知函數的對應關系也可以用圖象來描述.本問題的難點是值域無法完全確定,這時通過引入一個較大范圍的集合,使得函數值均在其中,這時再引導學生思考是否符合函數定義,這樣函數的精確定義也就呼之欲出,即函數是兩個非空數集的一種對應關系.問題4 國際上常用恩格爾系數r（r＝食物支出金額總支出金額）反映一個地區人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高.下表是我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況，按表給出的對應關系，恩格爾系數r是年份y的函數嗎？有解析式嗎？（對應關系是什么呢？）如何用更精確的語言表示問題4中y與r的對應關系？B4教師活動：教師可先讓學生自主思考,再隨堂詢問了解學生對概念的理解程度，學生活動：學生自主練習用集合與對應的語言刻畫對應關系，并根據教師的指導規范表達.設計意圖：引導學生認知函數的對應關系也可以用圖表來描述.與問題3類似的，本問題的難點也是值域無法完全確定.對于教材中函數值所在的集合B的合理性,可從恩格爾系數的定義角度來解釋.歸納發現上述問題1~問題4中的函數有哪些共同特征？【答】共同特征有：（１）都包含兩個非空數集，用A，B來表示；（２）都有一個對應關系；（３）盡管對應關系的表示方法不同，但對于數集A中的任意一個數x，按照對應關系，在數集B中都有唯一確定的數y和它對應．對應關系能否統一用一個式子表示呢？事實上，除解析式、圖象、表格外，還有其他表示對應關系的方法．為了表示方便，我們引進符號f統一表示對應關系.師生活動：給學生充分思考的時間，借助表格引導學生重新回顧用集合與對應語言刻畫函數的過程.通過上述歸納概括,教師指出函數類型多樣,函數的表示方法也豐富多樣,有解析式法、圖象法和表格法等.數學追求一般化的、簡單的表達形式，因此有必要引進一個抽象符號f來表達一般的函數.設計意圖：讓學生通過歸納四個實例中函數的共同特征，體會數學抽象過程給出概念函數的概念：一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.追問：定義域就是集合A，為什么值域不是集合B呢？若函數的值域為C，則集合C與集合B有什么關系？（值域C是集合B的子集。）函數三要素：定義域，對應關系，值域.學生活動：通過上述對函數概念循序漸進地認知，學生自行感悟用集合與對應的語言刻畫函數，并積極在全班發言分享.教師活動：引導學生概括出函數的一般性概念，就地取材指出函數三要素.同時，通過上表中的實例讓學生感悟值域是集合B的子集.設計意圖：通過這個核心片段突出教學重點，突破教學難點.概念辨析（可舍）??與??是相乘嗎？如何理解函數抽象符號呢？函數符號y=f(x)是由德國數學家萊布尼茲在18世紀引入的．函數名稱由中國清代數學家李善蘭翻譯引入，取“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”之意；即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化，“函”是包含的意思，“函數”是指公式里含有變量的意思。y=f(x)為“y是x的函數”的數學表示，僅是一個函數符號，f(x)不是f與x相乘。“y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如：“y=g(x)”，“y=h(x)”；師生活動：教師適當介紹抽象符號y=f(x)的由來，利用生動形象的說法讓學生比較自然地接受這種表達.設計意圖：引導學生認識一般符號f(x)的意義，它表示一種對應規律，是一個數學運算符號，數x在y=f(x)的作用下得到一個數y,可以認為y=f(x)就是一個數的“生成器".學以致用用本節課所學函數的定義重新描述一次