PAGEPAGE1重慶市渝中區2024屆高三上學期期中數學試題一、選擇題1.設均為非空集合，且滿足∈，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合的韋恩圖，如圖所示，因為，所以，所以.故選：C.2.已知命題，命題q：復數為純虛數，則命題是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】是純虛數，，故命題是的充要條件故選：C.3.已知向量，的夾角為，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，即，則，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為，故選：B.4.《幾何原本》卷的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據．通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖形可知，，，由勾股定理可得，在中，由可得.故選：D.5.已知數列均為等差數列，且，設數列前項的和為，則（）A.84 B.540 C.780 D.920【答案】D【解析】根據題意可設數列的公差分別為；由可知，即可知數列是以為首項，公差為的等差數列，所以可得，即可得，所以.故選：D.6.函數的最大值為（）A.2 B. C.0 D.【答案】A【解析】，令，則，故，則，所以當時，，所以函數的最大值為.故選：A.7.為落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某學校開設三門勞動教育校本課程，現有甲、乙、丙、丁、戊五位同學報名參加該校勞動教育校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有（）A.60種 B.150種 C.180種 D.300種【答案】B【解析】根據題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學選三門德育校本課程，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數為1、1、3，此時有種；②三組人數為2、2、1，此時有種.所以不同的報名方法共有60＋90＝150種．故選：B．8.已知函數，若方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得有兩個不相等的實數根，令，當時，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，且，當時，恒成立，當時，，則，當時，，單調遞增，且，畫出的圖象如下：要想有兩個不相等的實數根，則，故有兩個不相等的實數根，則.故選：A.二、選擇題9.在某市高三年級舉行的一次模擬考試中，某學科共有20000人參加考試．為了了解本次考試學生成績情況，從中隨機抽取了100名學生的成績（成績均為正整數，滿分為100分）作為樣本進行統計，并按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．則下列說法正確的是（）A.樣本的眾數為70B.樣本的分位數為78.5C.估計該市全體學生成績的平均分為70.6D.該市參加測試的學生中低于60分的學生大約為320人【答案】BC【解析】對于選項A，樣本的眾數應是區間中點75，故選項A錯誤.對于選項B，設樣本的分位數為t，因為左邊兩個矩形面積和為，左邊三個矩形面積和為.因此t在區間內，所以，解得，故選項B正確.對于選項C，用樣本平均分估計總體平均分，而樣本的平均分為，故選項C正確.對于選項D，樣本中低于60分的學生的頻率為，估計總體中低于60分的學生的人數約為，故選項D錯誤.故答案為：BC.10.已知函數，下列說法正確的是（）A.在上單調遞增B.的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關于軸對稱C.若對任意實數都成立，則D.方程有3個不同的實數根【答案】BC【解析】對于A，由，得，所以在上不具有單調性，故A錯誤；對于B，的圖象向右平移個單位長度得，因為，所以函數是偶函數，其圖象關于軸對稱，故B正確；對于C，若對任意實數都成立，則，所以，即，故C正確；對于D，方程根的個數，即為函數交點的個數，作出函數的圖象，如圖所示：由圖可知的根多于個，故D錯誤.故選：BC.11.甲、乙、丙三人玩傳球游戲，持球人把球傳給另外兩人中的任意一人是等可能的．從一個人傳球到另一個人稱傳球一次．若傳球開始時甲持球，記傳球次后球仍回到甲手里的概率為，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】A選項，第一次傳球后到乙或丙手里，故，第二次傳球，乙或丙有的概率回到甲手里，故，A正確；C選項，為傳球次后球仍回到甲手里的概率，要想傳球次后球仍回到甲手里，則第次傳球后球不在甲手里，在乙，丙手里，且下一次傳球有的概率回到甲手里，故，C正確；D選項，由C選項知，即，設，故，所以，解得，故，又，所以是首項為，公比為的等比數列，故，故，D正確，B選項，由D選項可知，B錯誤.故選：ACD.12.已知，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由可得，，對于A，易知，則，所以，易知，即，所以，所以，且即可得，可知A錯誤；對于B，，由A可知，則，，所以；可知，所以，即B正確；對于C，，則，即可得，即C錯誤；對于D，構造函數，其中，則，當時，，即在上單調遞增，因為，所以，即，可得，即，所以，又，因此，即D正確.故選：BD.三、填空題13.的展開式中，的系數為__________（用數字作答）．【答案】【解析】要得到項需分別與展開式中的項相乘，展開式中通項為，所以項的系數為，故答案為：10.14.曲線在處的切線的傾斜角為，則______．【答案】【解析】因為，可得，由題意可知：，所以，即.故答案為：.15.定義：在數列中，，其中為常數，則稱數列為“等比差”數列，已知“等比差”數列中，，，則______．【答案】【解析】由數列為“等比差”數列，則，所以，即數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，，則，所以，故答案為:.16.若是定義在上的函數，且為奇函數，為偶函數．則在區間上的最小值為______．【答案】【解析】因為為奇函數，為偶函數，所以，解得：，因為在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞減，所以上單調遞減，所以.故答案為：.四、解答題17.在中，內角的對邊分別為．（1）求；（2）若，點在邊上，且，求面積的最大值．解：（1）根據，由正弦定理可得，由二倍角公式可得，又因為，所以，即可得，即，所以，即；（2）如下圖所示：由（1）可知，即，可得又，解得，當且僅當時，等號成立；所以，由可得，所以面積的最大值為.18.2023年9月23日第19屆亞運會在中國杭州舉行，其中電子競技第一次列為正式比賽項目．某中學對該校男女學生是否喜歡電子競技進行了調查，隨機調查了男女生人數各200人，得到如下數據：男生女生合計喜歡120100220不喜歡80100180合計200200400（1）根據表中數據，采用小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校學生對電子競技的喜歡情況與性別有關？（2）為弄清學生不喜歡電子競技原因，采用分層抽樣的方法從調查的不喜歡電子競技的學生中隨機抽取9人，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；（3）將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學生中隨機抽取10人，記其中對電子競技喜歡的人數為，求的數學期望．參考公式及數據：，其中．0.150.100.050.0250.012.0722.7063.8415.0246635解：（1）列聯表如下表所示：

男生女生合計喜歡不喜歡合計零假設該校學生對電子競技的喜歡情況與性別無關，，，采用小概率值的獨立性檢驗，可推斷不成立，即能認為該校學生對電子競技的喜歡情況與性別有關，（2）采用分層抽樣的方法從抽取的不喜歡電子競技的學生中隨機抽取9人，這9人中男生的人數為4，女生的人數為5，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，“至少抽到一名男生”的概率為．（3）由題意可知喜歡電子競技的概率為，所以，故．19.已知數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設，若對任意都有成立，求實數的取值范圍．解：（1）由，得，則當時，，所以，當時，上式成立，所以；（2）由（1）知，，，，．因此，，當，即，當時，，即，最大項，．20.當前，新一輪科技革命和產業變革蓬勃興起，以區塊鏈為代表的新一代信息技術迅猛發展，現收集某地近6年區塊鏈企業總數量相關數據，如下表：年份201720182019202020212022編號123456企業總數量（單位：百個）5078124121137352（1）若用模型擬合與的關系，根據提供的數據，求出與的經驗回歸方程；（2）為了促進公司間的合作與發展，區塊鏈聯合總部決定進行一次信息化技術比賽，邀請甲、乙、丙三家區塊鏈公司參賽．比賽規則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結束，該公司獲得此次信息化比賽的“優勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優勝公司”的概率．參考數據：，其中，參考公式：對于一組數據，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為解：（1）令，，則，，所以，所以；（2）設甲公司獲得“優勝公司”為事件，則，所以甲公司獲得“優勝公司”的概率為．21.已知函數．（1）若，求在處的切線方程；（2）若函數在上恰有一個極小值點，求實數的取值范圍；（3）若對于任意恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）若時，，則，，可得在點處的切線方程為，即．（2）函數，則，令得，①若，則在上恒成立，此時在上單調遞增，無極值，不符合題意，②若，則與情況如下：00單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增若在上恰有一個極小值點，則需滿足，解得，即實數的取值范圍為．（3）易知，所以可化為，又，所以可得，即對于任意恒成立，令，