1、1. 機械波的形成和傳播2. 平面簡諧波3. 惠更斯原理4. 波的干涉5. 駐波6. 多普勒效應第八章 機械波目 錄1 機械波的形成和傳播 如果在空間某處發生的擾動以一定的速度由近及遠向四處傳播，則稱這種傳播的擾動為波. 機械擾動在彈性介質中的傳播形成機械波.一、機械波產生條件 產生機械振動的振源(波源); 傳播機械振動的彈性介質. 介質可以看成是大量質元的集合，每個質元具有一定的質量，各質元間存在著相互作用。質元間的相互作用使波得以傳播，質元的慣性使波以有限的速度傳播。二、橫波和縱波1. 橫波: 介質中質點振動方向與波的傳播方向垂直.2xxxxxxt = T/4t = 3T/4t = 004

2、81620 12 t = T/2 t = Ty3波的傳播不是媒質質元的傳播, 而是振動狀態的傳播, 某時刻某質元的振動狀態將在較晚時刻于“下游”某處出現；“上游”的質元依次帶動“下游”的質元振動；沿波的傳播方向, 各質元的相位依次落后；同相位點質元的振動狀態相同, 相鄰同相位點, 相位差2；波是指媒質整體所表現的運動狀態。 波的傳播特征可歸納為：2. 縱波: 介質中質點振動方向與波的傳播方向平行. 固體中的振源可以產生橫波和縱波. 水面波既不是縱波, 又不是橫波. 橫波傳播的條件為媒質具有切變彈性。在氣體和液體內不產生切向彈性力, 故氣、液體中不能傳播橫波.41. 波面: 振動相位相同的各點連

3、成的面.2. 波前: 波源最初振動狀態傳播到各點所連成的面. 根據波前的形狀可以把波分為平面波、球面波、柱 面波等。 3. 波線: 沿波的傳播方向畫一些帶箭頭的線; 各向同性介質 中波線與波面垂直。三、波面與波線球面波平面波波線 波面5 橫波: 相鄰的波峰或波谷間距離; 縱波: 相鄰的密集或稀疏部分中心間距離.3. 波速（u）:單位時間內, 波動所傳播的距離稱為波速 （相速）. 波速決定于介質的特性.2. 周期（T）: 波前進一個波長的距離所需的時間叫周期頻率（ ）: 周期的倒數稱為頻率波長反映波的空間周期性；周期反映波的時間周期性；四、描述波的幾個物理量1. 波長: 波傳播時, 在同一波線上

4、兩個相鄰的相位差為2 的 質點之間的距離.61) 彈性繩上的橫波T繩中的張力, 繩的線密度幾種介質中的波速：2) 固體棒中的縱波Y楊氏彈性模量 體密度l0l0 + l FF拉伸其中：73) 固體中的橫波4) 流體中的縱波 = Cp/Cv , 摩爾質量pV0+ V容變ppp理想氣體:B容變模量, 流體密度G 切變模量F切切變8若波源作簡諧振動，介質中各質點也將相繼作同頻率的簡諧振動, 這種波稱之為簡諧波.如果波面為平面，則這樣的波稱為平面簡諧波。一、平面簡諧波的波函數設有一平面簡諧波, 在無吸收、均勻、無限大的介質中傳播.設波的位相速度，即波速為u,則對P 點： 平面簡諧波設原點0處振動位移的表

5、達式為：oxxuyP1. 沿x 軸正方向傳播(右行波)9定義角波數 得： 2. 沿x 軸負向傳播(左行波)xPxuyo對P 點：簡諧波函數10二、波函數的物理意義1. x 確定時，為該處質點的振動方程, 對應曲線為該處質點振動曲線x 確定時tyotpxxuyopt 確定時2. t 確定時，為該時刻各質點位移分布, 對應曲線為該時刻波形圖不同時刻對應有不同的波形曲線 簡諧波函數是一個二元函數。位移y是時間t和位置x的函數。113. t, x 都變化時, 表示波線上所有質點在各個時刻的位移情況 行波。t + tx=u txuyot波函數的物理意義描述了波形的傳播.12三、波動中質點振動的速度和加速

6、度四、平面波的波動方程 u: 波形傳播速度, 對確定的介質是常數 v: 質點振動速度, 是時間的函數注意：把平面簡諧波的波函數分別對t和x求二階偏導數，得13比較上列兩式，即得普遍意義：在三維空間中傳播的一切波動過程，只要介質 是無吸收的各向同性均勻介質，都適合下式： 任何物質運動，只要它的運動規律符合上式，就可以肯定它是以u為傳播速度的波動過程.14例題8.1 有一平面簡諧波沿Ox軸正方向傳播,已知振幅A=1.0m, 周期T=2.0s, 波長=2.0m. 在t=0時, 坐標原點處質點位于平衡位置，且沿oy 軸的正方向運動. 求： 1) 波函數; 2) t=1.0s時各質點的位移分布, 并畫出

7、該時刻的波形圖; 3) x=0.5m處質點的振動規律, 并畫出該質點位移與時間的關系曲線.解: 1) 按所給條件, 取波函數為式中為坐標原點振動的初相15代入所給數據, 得波動方程2) 將t=1.0s代入式(1), 得此時刻各質點的位移分別為(2)(1)16 按照式(2)可畫出t=1.0s時的波形圖(3) 將x=0.5m代入式(1), 得該處質點的振動規律為 由上式可知該質點振動的初相為-. 由此作出其y-t曲線y/mx/m1.02.00t/sy/m1.02.00-1.017例題8.2 一平面簡諧波以速度u=20m.s-1沿直線傳播, 已知在傳播路徑上某點A的簡諧運動方程為y=(310-2m)

8、cos(4s-1)t. 求: 1) 以點A為坐標原點, 寫出波動方程; 2) 以距點A為5m處的點B為坐標原點, 寫出波動方程; 3) 寫出傳播方向上點C, 點D的簡諧運動方程; 4) 分別求出BC和CD兩點間的相位差.9m5m8muxDABC 解: 由點A的簡諧運動方程可知頻率波長182) 由于波由左向右行進, 故點B的相位比A點超前, 其簡諧運動方程為1) 以A為原點的波動方程為故以點B為原點的波動運動方程為193) 由于點C的相位比A點超前，故而點D的相位落后于A點, 故4) BC和CD間的距離分別為xBC=8m, xCD=22m. 20例題為8.3 一橫波沿一弦線傳播, 設已知t=0時

9、的波形曲線如圖所示, 弦上張力為3.6N , 線密度為25gm-1. 求: 1) 振幅; 2) 波長; 3) 波速; 4) 波的周期; 5) 弦上任一質點的最大速率; 6) 圖中a , b兩點的相位差; 7) 3T/4 時的波形曲線。 x/cmy/cm1020304050607080ab0-0.2-0.4-0.50.20.40.5M1M2213) 由波速公式可得4) 波的周期為2) =40cm 解: 由波形曲線可看出1) A=0.5cm;5) 質點的最大速率為226) a, b兩點相隔半個波長，b點處質點比a點處質點的相位落后7) 3T/4時的波形如圖中實線所示, 波峰M1和M2已分別右移3/

10、4而到達M1和M2處。t=0 時的波形x/cmy/cm1020304050607080abt=3T/4 時的波形0-0.2-0.4-0.50.20.40.5M1M1M2M223一、惠更斯原理介質中波動傳播到的各點, 都可以視為發射子波的波源, 在其后任一時刻, 這些子波的包絡就是新的波前. （三） 惠更斯原理意義： 只要已知某時刻的波面和波速，可以確定下時刻的波面和波的傳播速度。 適用于各種波, 機械波、電磁波等 適用于非均勻的、各向異性的介質24應用：解釋波的衍射(繞射), 波的散射, 波的反射, 波的折 射等現象.局限性：沒有說明子波的強度分布沒有說明子波只向前傳播, 而不向后傳播的問題二

11、、波的衍射波在傳播過程中遇到障礙時, 能夠繞過障礙物的邊緣繼續向前傳播 波動的特征之一。衍射現象顯著與否, 與障礙物的大小與波長之比有關。a25三、用惠更斯原理推導折射定律和反射定律 波的折射和折射定律 用作圖法求出折射波的傳播方向i1-入射角, i2-折射角CAi1i2n1t1t2BEn2 需要注意的是，波在被反射或折射后，由于波的傳播方向發生了改變，波的傳播方向與振動方向的夾角會隨之改變，于是縱波可能變成橫波或部分縱波,部分橫波。反之亦然。練習：應用惠更斯原理，用作圖法證明波的反射定律。26無論是否相遇, 各列波仍保持原有的特性(頻率, 波長和振動方向等)不變, 按照原來的方向繼續前進,

12、就象沒有遇到其他的波一樣（波傳播的獨立性）。在其相遇區域內, 任一點的振動為各個波單獨存在時在該點引起的振動的矢量和.一、波的疊加原理（四） 波的干涉幾列波在同一介質中傳播:波的疊加原理的基礎是波的方程為線性微分方程.若 分別滿足波動方程27二、波的干涉相干波: 兩個頻率相同, 振動方向相 同, 相位差恒定的波源發出的波。s2s1Pr1r2 波的疊加原理僅在弱波條件時成立，強沖擊波則不成立。則 顯然也滿足波動方程 兩個相干波源發出的波的疊加。兩束相干波在空間形成穩定的強度分布, 合振幅或強度取決于兩束相干波的相位差.相干疊加：28波源的振動：由疊加原理P點合振動：P點的振動：s2s1Pr1r2

13、29c) 其他情況合振幅在最大值與最小值之間。3. 非相干疊加振幅疊加情況復雜，但強度分布簡單a) 干涉加強b) 干涉減弱30例題8.4 A, B兩點為同一介質兩相干波源, 其頻率皆為100Hz, 當點A為波峰時點B為波谷. 設波速為10m.s-1, 試寫出A, B發出的兩列波傳到點P時干涉的結果. 15m20mPAB 解: 由圖可知, AP=15m, AB=20m, 故又已知v=100Hz, u=10m.s-1 得31設A的相位較B超前, 則A-B=. 根據相位差和波程差的關系有 這樣的值符合合振幅的最小的條件, 如若介質不吸收波的能量, 則兩波振幅相同, 因而合振幅 故在點P處, 因兩波干

14、涉減弱而不發生振動. 32一、駐波的形成 實驗弦線上的駐波（五） 駐 波 弦線長度等于半波長的整數倍時才能形成駐波. 兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方向傳播時疊加而成,而產生特殊的干涉現象。波節：始終不動的點波腹：振蕩最強的點33二、駐波方程 各點作頻率相同、振幅不同的簡諧振動 振幅為34三、駐波的特征1. 波節和波腹振幅為0，這種位置稱為波節.兩相鄰波節間的距離/2.波節：當 即波腹：當 ， 即振幅為2A，這種位置稱為波腹.兩相鄰波腹間的距離/2.兩相鄰波節與波腹間的距離/4.35相位為 波節之間相位相同, 波節兩邊相位反相。相位為2. 相位3.沒有能量的定向傳移 駐波中，節點為始

15、終不動的點，原則上沒有能量從節點處通過.兩波節間能量應當守恒,動能與勢能之間不斷相互轉換，在波節和波腹之間轉移.364、半波損失相位突變，半波反射有半波損失 均勻介質中傳播的波在遇到兩種介質的分界面處，究竟出現波節還是波腹，取決于波的種類和兩種介質性質及入射角的大小。定義介質的特性阻抗 .分析表明，在入射波波線近似于垂直界面時無半波損失相位突變0，全波反射 由于半波損失，入射波和反射波在反射點是相消干涉，形成駐波的節點.半波反射波疏介質波密介質全波反射波疏介質波密介質37例題8.5 兩人各執長為l 的繩的一端, 以相同的角頻率和振幅在繩上激起振動, 右端的人的振動比左端的人的振動相位超前 .

16、試以繩的中點為坐標原點描寫合成駐波. 由于繩很長, 不考慮反射. 繩上的波速設為u.解: 設左端的振動為則右端的振動為設右行波的波動表式為左行波的波動表式為38根據題意, 當 時， ,即當 時， ,即39于是當=0時, x=0處為波腹; 當=時, x=0處為波節.40對彈性波來說，所謂波源和觀察者的運動或靜止，都是相對于在其中傳播的連續介質而言的. （六） 多普勒效應如果波源與觀察者之間有相對運動, 則觀察者接受到的波頻率不同于波源的頻率，這種現象稱為多普勒（C.J.Doppier，1803-1853）效應.多普勒效應為簡單起見，假定波源、觀察者的運動發生在二者的連線上。設波源的頻率為, 波長

17、為, 在介質中的傳播速度為u.若波源和觀察者相對于介質靜止時，測得的頻率 則為41一、波源不動, 觀察者相對于介質以速度v0 相向運動2. P 以速度v0離開S下面分三種情況討論：1. P 以速度v0 接近S單位時間內通過P 的波段長度:表明: P 接收到的頻率提高P接收到的頻率:v0PS42二、觀察者不動, 波源相對于介質以速度vs相向運動表明: P接收到的頻率也提高P接收到的頻率：2. 若S以速度vs 離開P, 則1. 若S以速度vs 接近PvsPS43三、波源和觀察者同時相對介質運動波的波長為單位時間內通過P的波段長度為vsPSv01. 若S 以速度vs 接近P, 而P 以速度v0 接近

18、S P接受到的波頻率：表明: P接收到的頻率也提高。442. 若S和P的運動不在二者連線上vsPSv0s0sSvsu3. 若波源速度超過波速vsu. 上述計算結果將沒有意義，這時波源將位于波前的前方,各波前的切面形成一個圓錐面，稱為馬赫錐,其頂角滿足有縱向多普勒效應; 無橫向多普勒效應45 飛機、炮彈等以超音速飛行時，在空氣中激起沖擊波. 飛行速度與聲速的比值vS/u決定角, 比值vS/u稱馬赫數. 沖擊波帶多普勒效應在科學技術上有著廣泛的應用1. 譜線紅移.測定星球相對于地球的運動速度.;2. 利用基于反射波多普勒效應原理的雷達系統，測定流體 的流動、振動體的振動、車輛導彈等運動目標速度.3

19、. 醫學上的“D超”，利用超聲波的多普勒效應檢查人體 內臟、血管的運動和血液的流速和流量.46本章基本要求1.理解描述波動的物理量的物理意義及相互關系.2.掌握平面諧波的波函數及波動方程的物理意義，根據 給定條件求解波函數.3.掌握平均能量密度與平均能流密度的概念和計算.4.理解惠更斯原理及其意義，掌握惠更斯原理應用.5.理解波的迭加原理,掌握波的干涉原理和干涉加強、減 弱的條件.6.掌握駐波的形成條件和特點，建立半波損失的概念， 掌握其形成的特點.7.掌握多普勒效應及其產生原因，求解具體問題.2005年“國際物理年”徽標47例題8.6 利用多普勒效應監測汽車行駛的速度. 一固定波源發出頻率為

20、100kHz的超聲波. 當汽車迎著波源駛來時. 與波源安裝在一起的接受器接收到從汽車反射回來的超聲波的頻率為110kHz. 已知空氣中聲速為330m.s-1, 求汽車行駛的速率. 解: 分兩步分析. 第一步: 波向著汽車傳播并被汽車接收, 此時波源是靜止的. 汽車作為觀察者迎著波源運動。設汽車的行駛速度為, 則接收到的頻率為48由此解得汽車行駛的速度為 第二步: 波從汽車表面反射回來, 此時汽車作為波源向著接受器運動, 汽車發出的波的頻率即是它接收到的頻率, 而接受器此時是觀察者, 它接收到的頻率為49例題8.7 A, B為兩個汽笛, 其頻率均為500Hz. A是靜止的, B以60m.s-1的速率向右運動. 在兩個汽笛之間有一觀察者O，以3