計算之公式應用及技巧計算之公式應用及技巧第一講教學目標教學目標重點中學選拔考試的試卷，考察學生的計算能力是必不可少的，近幾年來又以考察：1.速算巧算；2.分數的計算技巧為明顯趨勢。本講我們將系統地歸納和總結這一局部的技巧和方法。1.回憶提取公因數〔式〕和湊整的應用；2.精講公式應用、循環小數化分數、分數的拆分。專題回憶專題回憶原式=，〔此題學生容易做成，雖然答案對,但是老師要強調錯誤原因。〕【拓展】〔首師大附中入學選拔試題〕【分析】原式=。求3333333×6666666乘積的各位數字之和。原式=9999999×2222222=〔10000000-1〕×22222222所以，各位數字之和為8×7=56。經典精講經典精講常用公式常用公式下面這些公式是小學奧數中常見的計算公式，同學們一定要熟練掌握，這可是小升初考試中計算的好幫手。同時也希望同學們在做題時能夠對一些規律性比擬強的數字的計算自己進行歸納。常用公式：常用公式：；；；；；等比數列求和公式：。平方差公式:：；完全平方公式：，；用文字表述為：兩數和〔或差〕的平方，等于這兩個數的平方和，加上〔或者減去〕這兩個數的積的倍，兩條公式也可以合寫在一起：。為便于記憶，可形象的表達為：“首平方、尾平方，倍乘積在中央〞。常用技巧常用技巧：；；，，，，，；，其中。計算【分析】原式=注：這條算式與的值相等。【拓展】計算【分析】原式計算【分析】原式。公元前1世紀古希臘數學家尼科梅切斯(公元前1世紀古希臘數學家尼科梅切斯(Nichomachus)就是采用數形結合的方法——圖解法，得出了三次方冪求和的公式：尼科梅切斯給出的解法是這樣的：把求和式中任意一項。寫成“〞的形式，那么就可以理解成個“邊長為〞的正方形面積之和。那么，可以構造一個圖形，如圖：一方面，圖中大正方形的邊長為“1+2+3+4”。另一方面它又等于全部小正方形的面積之和。但是注意在放置兩個2×2及4×4的正方形時，兩個正方形有重疊局部——圖中淺色陰影正方形，再把重疊局部補到它的右上方的小正方塊——圖中深色陰影正方形中去，這樣一來這些小正方形的面積和正好等于邊長為“1+2+3+4”【前鋪】(浙江省小學數學活動課夏令營)=。【分析】原式==。【點評】對公比為2的等比數列求和，可以運用“借來還去〞的技巧。此題對于后面的等比數列局部，可以“借來〞，那么有最后兩個數的和等于前面一個數，依此前推，那么總得數為兩個，即為1,但這不是最終結果，因為要“還去〞，即。一般地，。〔06年希望杯〕計算：原式===。(法一)設 那么，整理可得。〔法二〕由題設，，那么運用REF_Ref198635646\r\h【例5】的方法，將等式化為，整理得到。(浙江省小學數學活動課夏令營)⑴______；⑵______。⑴設原式⑵原式【點評】這里介紹平方差公式與完全平方公式的變形應用：原式=====原式=====【點評】此題利用性質：對各個分數進行計算、比擬。循環小數化分數循環小數化分數【前鋪】推導以下算式【分析】以此題為例，推導，設：為,那么=,=，所以：,。循環小數化分數公式循環小數化分數公式：；；；，注：循環小數化分數分母中9的個數與其循環節的位數對應，0的個數與小數點后不循環的位數對應。分子是不循環局部與第一個循環節組成的多位數與不循環局部組成的多位數的差。⑴⑵⑶⑷⑴原式=。⑵原式。⑶原式=。⑷原式。計算【分析】原式=。分數的拆分分數的拆分〔江蘇省吳江市小學數學聯賽〕在下面的括號里填上不同的自然數，使等式成立。=====分數單位的拆分，主要方法是：從分母的約數中任意找出兩個數和,有：=，此題的約數有：,,,。例如：選和，有：；此題具體的解共有：。【拓展1】在下面的括號里填上不同的自然數，使等式成立。=【分析】從分母的約數中任意找出兩個和〔〕,有：=所以，例如選5和2，有：=另外的解讓學生去嘗試練習。【拓展2】在下面的括號里填上不同的自然數，使等式成立。=-=【分析】先選10的三個約數，比方5、2和1，表示成連減式5-2-1和連加式5+2+1.如果選10、5、2，那么有：。【點評】分子是1，分母是非零自然數的分數叫單位分數。人類對分數的認識就是從單位分數開始的。大約在公元前2000年，古埃及人就把分子大于1的分數表示成單位分數之和，如=，也有人把單位分數叫做埃及分數。101中學根據這一知識點，出過一道入學考試題：幼兒園阿姨要把7個蘋果平均分給12個小朋友，每個蘋果不能超過5份。請幫阿姨設計一種分法。〔分發如下圖〕〔美國長島小學數學競賽〕【分析】原式。注：通過對算式各項拆分，使算式得到化簡的計算技巧稱之為裂項，裂項法的要義在于等量代換思想，并在后續的作業中實現抵消。【拓展】〔《小數報》數學競賽決賽題〕【分析】歸納總結的歸納總結的裂項公式如下：【分析】原式===附加題目附加題目計算【分析】設算式的值為，那么，，==。原式【分析】原式【分析】面對長分式計算題時，往往是利用先裂項再相消的方法來解決。原式穩固精練穩固精練〔北京二中入學選拔試題〕計算12-22+32-42+…+20052-20062+20072原式=20072-20062+20052-……+52-42+32-22+12=〔2007+2006〕〔2007-2006〕+〔2005+2004〕〔2005-2004〕+……+〔3+2〕〔3-2〕+1=2007+2006+2005+2004+……+3+2+1==2023028計算【分析】原式=計算【分析】原式====【分析】原式足球運動最早起源于中國，其淵源可追溯至五千年前的黃帝時代。２００４年７月１５日，在紀念國際足聯百年華誕的特別活動上，國際足聯主席布拉特正式向全世界宣布：足球最初起源于中國，并由亞足聯秘書長維拉潘頒發確認紀念證書。奧運會足球比賽始于１９９０年法國巴黎奧運會，在１９０８年的倫敦奧運會上成為正式比賽工程。１９８４年國際足聯做出了在歐洲和南美洲參加過世界杯決賽的職業球員不得參加奧運會足球賽的決定。１９８８年國際足聯在此根底上又做了如下規定：奧運會足球運發動年齡限制在２３歲以下，每隊允許有３名超齡球員。北京奧運會男子足球決賽階段共有１６支隊伍；女子足球決賽階段共有１２支隊伍。新中國成立后，中國男子足球隊已參加了７屆奧運會預選賽。１９８０年和１９８４年分別輸給了新加坡和泰國，在亞洲區預選賽中沒有出線。１９９２年、１９９６年、２０００年和２００４年連續４屆奧運會預選賽中，負于韓國隊沒有進入決賽階段；只有在１９８８年的漢城奧運會進入了決賽階段賽，但在小組賽中沒有出線。１９９６年亞特蘭大奧運會一個國王聽說有一位畫家擅長水彩畫，有一天，他專程去拜訪那位畫家。“請為我畫一只孔雀，〞國王要求說。一年后，他再次登門拜訪畫家。“我訂購的水彩畫在哪？我曾經要你為我畫一只孔雀。〞“你的孔雀就要畫好了，〞畫家說。“他拿出了畫紙，不一會兒工夫就畫出了一只美麗鮮艷的孔雀。國王很滿意，但是價錢卻使他吃驚：“就那么一會兒工夫，你毫不費力、輕而易舉地就畫成了，竟要這么高的價錢?〞國王問。于是畫家領著國王走遍他的房子，每個房間都放著一堆堆畫著孔雀的畫紙。畫家說：“這個價錢是十分公正的，看起來毫不費力而簡單的